专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型一 与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二 利用面积公式求图形面积 题型三 利用补形或分割法求图形的面积 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1．B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 4．或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 5．或或或 【分析】本题主要考查轴对称及图形与坐标，熟练掌握轴对称及图形与坐标是解题的关键；由题意易得点B的坐标为，然后根据的面积等于4分类进行求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称，， ∴点B的坐标为， ∵在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4， ∴当点在x轴上时，则有，即， 此时点C的坐标为或； 当点在y轴上时，则有，即， 此时点C的坐标为或； 综上所述：当在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为或或或； 故答案为：或或或． 6．或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 7．或 【分析】设，线段上的点到x轴距离都相等，设为，则，，根据三角形是三角形面积的3倍，列方程求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵将线段平移到， ∴线段上的点到x轴距离都相等，设为， ∵三角形是三角形面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 8．(1)3 (2)画出如图所示． (3)或 【分析】（1）结合图像可看出边上的高的长度就是点A到y轴的距离，即可求解； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征确定点，的坐标，描点连线即可； （3）先设点P的坐标，再根据点的坐标特征以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，边上的高的长度就是点A到y轴的距离，即为个单位长度． （2）略 （3）根据题意，设点P的坐标为， 则． ． ，， ， ， 或， 则点P的坐标为或． 题型二：利用面积公式求图形面积 9．A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 10．B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】（1）根据点的坐标求出，根据可求出三角形的面积；（2）根据三角形与三角形的面积相等，推出，结合，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1），，， ， 三角形的面积为， （2）三角形与三角形的面积相等， ，即， ， 点到直线的距离是． 13．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 14．(1)或 (2) 【分析】（1）由点与轴的距离为9，可得，再结合绝对值的性质解题即可； （2）根据点在过点且与轴平行的直线上，即，解得的值，继而解得点的坐标，得的长，最后由三角形面积公式解题． 【详解】（1）解：∵点，点与轴的距离为， ，解得或； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ，解得， ， ， ， ． 15．(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）设，根据三角形的面积等于的面积和，进行求解即可； （3）根据平行于轴的点的横坐标相同，结合三角形的面积为三角形面积的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴三角形的面积． （2）解：设， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵平行于轴，， ∴设， ∴， ∵三角形的面积为三角形面积的2倍，， ∴， ∴或， ∴或. 16．(1) (2) (3)所作线段如图所示： 点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （2）由题意可设点，且，则有，然后根据割补法可进行求解； （3）由平移的性质可知：，，延长线段，交于点，连接，然后根据等积法可进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设点，且，则有， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴负半轴上），点的对应点为可知：线段先向右平移单位长度，再向下个单位长度得到点， ∴，， 延长线段，交于点，连接，如图所示： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 17．C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 18．4 【分析】根据点B，点C和点E的坐标可求出，可证明，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵三角形与三角形面积相等， ∴， ∴， 设点到直线的距离为h，则， ∵， ∴， ∴点到直线的距离为4． 19．5 【分析】本题考查了轴对称的性质，中线与面积等知识．熟练掌握轴对称的性质，中线与面积是解题的关键． 如图，连接，由对称的性质可知，是的中点，是的中点，则，，即，，同理：，，，则，进而可求的值． 【详解】解：如图，连接， 由对称的性质可知，是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理：，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 20．(1) (2)或 【分析】（1）用割补法进行计算即可； （2）根据题意求出四边形的面积，连接，割补法求出，分两种情况进行讨论：①当点P在x轴上时，②当点P在y轴上时，即可解答． 【详解】（1）解：四边形的面积． （2）解：∵、， ∴轴， ∴的面积， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴四边形的面积， 连接， ∵、、， ∴，， ∴， ①当点P在x轴上时 ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当点P在y轴上时， ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上：或． 21．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 22．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质和无理数的整数部分，求出的值，再代入计算； （2）先求出的面积，再根据面积关系求出的面积，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而确定的坐标； （3）一三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，设，根据平移性质得到，再利用坐标法求的面积，列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 又为的整数部分，且， ， ． （2）解：由（1）可知，，，， 、在轴上，的长度为： ， 以为底，到（轴）的距离为， 所以：， 因为， 所以：， 设点的坐标为，在轴上，到（轴）的距离为， 由三角形面积公式：， ， 解得：，即或， 因此，点的坐标为或． （3）解：因为点在一三象限角平分线上，所以的横、纵坐标相等，设， 将点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得， ①当点在第一象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得； ②当点在第三象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得， 因此，点的坐标为或． 23．(1) (2) 或 【分析】（1）根据第三象限点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离定义，求出和的值，再计算即可； （2）先根据线段平移后扫过的平行四边形面积求出的值，再利用割补法计算的面积，根据已知面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， ， ， ； （2）解：将线段沿轴正方向平移个单位后，，， ，， 线段扫过的图形是平行四边形，其面积为，端点在端点右边， ， ， 若，则有： ， 令，解得， 若，则有： ， 令，解得，不合题意，故舍去， 若，则有： ， 令，解得， 综上，的值为或． 24．(1)，； (2)①，②点的坐标为或． 【分析】（1）根据轴于点，可得，即可求出点的坐标，根据平移线段得到，得，即可求出点的坐标； （2）①连接，过点作轴于点，轴于点，求出各个线段的值，再运用，即可求出，之间的数量关系；②先根据①中，之间的数量关系，得，再过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接，根据坐标求出各个线段的值，然后根据，进行分类讨论：（i）当在的左侧，（ii）当在的右侧，求出的值，在代入中，建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵，轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴，， ∵由图可知，在轴的负半轴上， ∴； （2）①如图，连接，过点作轴于点，轴于点， ∵点是线段上的一动点， ∴，， ∴，， ∵由（1）得、， ∴，， ∴， ， ， ，即 ②∵由①得，即， ∴ 如图，过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴， 分类讨论： （i）当在的左侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴； （ii）当在的右侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 25．或 【分析】根据A、B、C三点的坐标求出三角形的面积，进而得到三角形的面积，再根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或． 26．(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下： ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 27．(1)， (2) 解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）略 28．(1)4，6， (2)或 (3)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答问题. （1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据长方形的性质可求得点B坐标； （2）由题意可得符合要求的共有两种情况，分类讨论两种情况下点P移动的时间即可； （3）分情况讨论点P在、上得到的点坐标即可. 【详解】【小题1】 ∵四边形是长方形， ∴点B坐标为 故答案为：． 【小题2】当点到轴的距离为个单位长度时，存在两种情况： ①当点在上时，点移动的时间是； ②当点在上时，点移动的时间是． 故在移动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，点移动的时间是或． 【小题3】存在．设点的纵坐标为． 依题意，得，即，解得． 易知点在线段或上，则点的坐标为或． 29．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据平方的性质及算术平方根的性质列得，即可求出答案； （2）过E作，证得，，再根据角平分线的定义求出 ， ，由此求出答案； （3）分两种情况作图：①当P在y轴正半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，然后利用割补法结合图形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过E作． ∵，，，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）得， ∴， ∴； ①当P在y轴正半轴上时，如图所示． 设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，则，，，． ∵， ∴， ∴， ∴，即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图所示， 同理可得，即点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的定义，坐标与图形，平行线的性质，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 30．(1)3，5 (2)， (3) 分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）略 31．(1)，，； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形，绝对值、算术平方根、偶次幂非负性，平移的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值、算术平方根、偶次幂非负性即可求解； （）根据点的对应点是点，即点先向右平移个单位，再向下平移个单位，则对应点，过点作轴于点，然后根据面积公式即可求解； （）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，，， 所以，，， 所以、、三点的坐标分别是，，； （2）解：∵点的对应点是点， ∴点先向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴点对应点坐标为， 过点作轴于点，则，， 所以三角形的面积， （3）解：设，三角形的面积为，则， 当时，如图所示，连接， ∵，， ∴， 这与矛盾，所以不成立； 当时，；   当时，如图所示，， ，， 所以， 所以，此时点的坐标为； 当时，， 综上可知，点的坐标为． 32．(1)，； (2)2 (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案； （3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作，交轴于点，   ， 又∵， ， ， ， ∴； （3）解：存在． ∵，，， ∴的面积， 当点在轴上时，设， ，， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型归纳 题型一与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二利用面积公式求图形面积 题型三利用补形或分割法求图形的面积 题型四与图形面积相关的点的存在性问题 题型专练 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1.(25-26七年级下福建福州期中)已知点A(-l,0),B(3,0),点C在y轴上，且△ABC的面积是8，点 C的坐标为() A.(4,0)或(-4,0) B.(0,4)或(0，-4) C.(0,3)或(0，-5) D.(3,0)或(-5,0) 2.(2425八年级上甘肃张掖期中)已知O为坐标原点，△4B0关于x轴对称，点A,-2)、点B(1,2), 若在x轴上有一个点P,满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为() A.(8,0)或(-8,0) B.(2,0)或(-2,0) C.(6,0)或(-6,0) D.(4,0)或(-4,0) 3.(25-26七年级下湖北武汉期中)己知点O0,0),B(L,2),点A在x轴上，且三角形0AB的面积是3， 则点A的坐标是 4.(2425七年级下·湖北黄石阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，长方形ABC0的长A0为4，宽 AB为3，动点P从点A出发沿AB→BC→C0运动，当APOA的面积等于四边形ABCO面积的石时，点 P的坐标为 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 5.(23-24八年级上江西上饶期末)已知△AB0关于x轴对称，A(3,2),若在坐标轴上有一点C(x,)( x,y均为整数)，且满足△BOC的面积等于4，则C点的坐标为 6(25-26八年级上湖南湘西开学考试)己知点0(0,0)，B(2,4),点A在坐标轴上，且三角形A0B的面 积等于4，则满足条件的点A的坐标为 7.(25-26七年级下四川南充期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(4,0),将线段OA平移到BC, D,E分别在x轴和线段BC上.当三角形ODB是三角形ADE面积的3倍时，点D的坐标为 珠 B 8.(25-26八年级上辽宁大连期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点坐标分别为 A(-3,2),B(0,3),0(0,0)」 B (I)在△ABO中，边B0上的高的长度为_个单位长度： (②)在图中画出△ABO关于x轴对称的△4BO,点A,B的对称点为点4，B: (3)P是y轴上一点，若△POA的面积等于△AB,O的面积的一半，求点P的坐标. 题型二：利用面积公式求图形面积 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26七年级下·福建福州期中)如图，在平面直角坐标系xO少中，将线段AB向右平移得到线段DC, 则线段AB在平移过程中扫过的面积是() 4 3 2 A ----2D B C -5-4-3-2-10 12345主 -1 4 -5 A.3 B.4 c.5 D.6 10.(24-25七年级下广东惠州期末)如图，在平面直角坐标系中，已知4(a,0）,B(么，0），其中a, b满足|a++(b-3)=0.点M的坐标(-2，H),在y轴的正半轴上有一点卫，使得三角形ABP的面积 与三角形ABM的面积相等，则点P的坐标为( y B A.(2,0) B.(0,) C.(0,-1) D.(0,2) 11.(24-25七年级下广东中山期末)己知点0(0,0)，A(2,2),点B在x轴正半轴上，且三角形A0B的 面积等于3，则点B的坐标是 12.(25-26七年级下湖北恩施期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,-2),B(0,),C(4,m), BD=3,线段AC与线段BD交于点E,三角形ABE与三角形CDE的面积相等. (I)三角形ABC的面积为一； 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点C到直线BD的距离是 13.(25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中)如图，在平面直角坐标系中点A,B的坐标分别为4(a,0), B(亿，0)，且a,b满足：a+2+Vb-4=0,点C的坐标为(0,3)： y C0,3) A (1)求a,b的值. (2)求三角形ABC的面积. (3)若A,B两点位置不变，C点在y轴的什么位置时，三角形ABC的面积是原三角形面积的2倍. 14.(25-26七年级下湖南长沙期末)在平面直角坐标系中，点P(5-m,4m+5) (1)若点P与x轴的距离为9，求m的值： (②)若点P在过点A(-5,3)且与y轴平行的直线上，求△AOP的面积. 15.(25-26七年级下·广东汕头期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，A(0,-4),B(5,2),AB交x轴 于点M. 4 3 2 B 1 M 12345 -1 -2 3 -4A -5i (1)求三角形ABO的面积； (2)求OM的长： (3)若BC平行于y轴，当三角形ABC的面积为三角形ABO面积的2倍时，求C点坐标 16.(25-26七年级下福建福州期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，A(-3,0),B(0,4),C(4,4)」 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以 2 D A 421234 -2 -3 -4 (I)求三角形ABC的面积： (2)AC交y轴于点D,求BD的长： (3)将线段AB沿某一方向平移，点A的对应点为M(M在轴负半轴上)，点B的对应点为N,当直线 MN经过点C时，画出线段MN并求点M的坐标. 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 17.(21-22七年级下·内蒙古兴安阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的面积是() yA A(2,2) D C -1 0 3 11 A.4 B.2 D.5 18.(25-26七年级下陕西渭南期中)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B(0,-), C(4,-4),E(0,4),BC=5,AB,CE相交于点D.若三角形EBD与三角形ACD面积相等，则点A到直 线BC的距离为. B 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(专题3.6图形的平移与旋转章末八大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三 系列（北师大版）)如图，有任意四边形ABCD,A八B队CD别是A、B、C、D关于B、C、D、A的 对称点，设S表示四边形ABCD的面积，S表示四边形4BC'D的面积，则s的值为 D 20.(25-26七年级下北京期中)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3,-2)、B(3,-2)、C(1,3)、 D(-2,1) yA 6 5 D 6-34-32-191.2.3.456x 2 +3 B *4 6 (I)求出四边形ABCD的面积： (2)若点P在坐标轴上，且四边形ABPD的面积是△ABD面积的2倍，直接写出点P的坐标. 21.(25-26七年级下广东广州期末)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，已知A(0,a),B(b,0), C(6,4),且a,b满足关系式：Va-2+(b-3)=0. B (1)填空：a=-,b=- (2)求三角形ABC的面积： (3)若点P为x轴上一点，且三角形PBC的面积等于三角形ABC的面积，求点P的坐标. 22.(25-26七年级下·云南昆明期中)请用我们学过的知识解决下列问题：如图1，平面直角坐标系中， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(a,0),B(0,b),C(0,c),Va+4+(c+3)=0,b为V万的整数部分. B B A O C 图1 备用图 (1)a+b+c= (②)点P为x轴上的一个动点，若SPc=2SMBC,求点P的坐标： 3)点D在一三象限角平分线上，将点D向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D 坐标 23,(25-26七年级下·重庆·阶段检测)在平面直角坐标系中，线段4B两个端点的坐标分别为4(a,0), B(b,2),端点A在端点B右边，点C(a+2,n)是平面内一点. (I)若点C在第三象限且点C到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，则a+n的值为一； (2)将线段AB沿y轴正方向平移4个单位长度得到线段'B',线段AB扫过的面积为20.连接CA',CB得 到△AB'C的面积是10，求n的值. 24.(25-26七年级下福建厦门期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,3列，AB1x轴于点 B,平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C D D 备用图 (1)点B的坐标为 一，点C的坐标为 (2)图中点D(m,n)是线段BC上的一动点， ①连接OD,利用三角形面积探究m,n之间的数量关系： ②过点A作直线I∥x轴，点M在直线I上，且MA=2,若三角形CDM的面积为4，求出点D的坐标 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 25.(25-26七年级下陕西西安期末)在平面直角坐标系中，己知点A(-1,2),B(-2,0),C(4,0),在y 轴上是否存在点D,使S三形4O0=S三角形Bc？若存在，请求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明 34 理由. 26. (21-22七年级下·贵州黔东南期中)△ABC在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为(3,5)， B 3 5-4-3-2-1012345 -2 -3 -4 -5 (1)请求出S,c: (②x轴上是否存在点P,使得S△=2S△C,若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标. 27.(25-26八年级上重庆阶段检测)如图1，在平面直角坐标系中，点C(0,6,点B在x轴正半轴上， 连接AC、BC,OB=40OA,AB=BC=10 B AO B B 图1 图2 备用图 (1)直接写出点A、点B的坐标： (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿C→B→O的方向运动.设运动时间为t,是否存在某一 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时刻SCOP= 心，若存在，请求出时间，并说明理由。 28.(25-26八年级上全国·周测)如图，在长方形OABC中，0O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为 (a,0),点C的坐标为(0，b),且a,b满足Va-4+b-6仁0，点B在第一象限内.点P从原点出发，以每 秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的路线移动. Y B 0 A x (1)a= b= 点B的坐标为」 (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间. (3)在点P的移动过程中，是否存在以A,O,P为顶点的三角形的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 29.(24-25七年级下湖北襄阳·期中)在平面直角坐标系中，点A,C的坐标分别是A(a,0),C(b,4),且 满足(a+2+Vb-4=0,过点C作CB⊥x轴于点B. E A B 图1 图2 (1)a= b= (2②)如图1，过点B作BDI‖AC,交y轴于点D,AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,若∠ABD=40°， ∠ODB=50°，求∠AED的度数： (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得△ACP的面积等于△ABC的面积，如果存在请求出点P的坐标，如 不存在请说明理由， 30.(24-25八年级上~陕西咸阳期中)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(a,0)、(a,b), 点C在y轴上，且BC‖x轴，a、b满足la-3+(b-5=0.一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的 速度沿着O-A-B-C-O的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒(1≠0). 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a=」 ,b= (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为一；当点P运动3秒时，点P的坐标为一· (3)点P在运动过程中，是否存在点P,使△OAP的面积为6？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出 求解过程 31.(24-25七年级下广东广州期中)己知点A(a,0),点B(0,b),点C(0,c),且 la+4+V2-b+(c+4)2=0 y个 B (I)求A、B、C三点的坐标； (2)将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点是点C,求三角形BCD的面积； (3)过点D作DE⊥x轴于点E,在射线EO上，是否存在点P,使得三角形PCD的面积等于三角形BCD面 积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由， 32.(24-25七年级下·云南昭通期中)在平面直角坐标系中，已知点点A(a,0),B(b,6),C(5,0),且满 足la+3+(a-b+6=0,线段AB交y轴于点F(0,3),点D是y轴正半轴上的一点. V B B 图1 图2 图3 ()如图1，求出点A,B的坐标： 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2∠DMA (②)如图2，若DBIIAC,且AM,DM分别平分LCAB,LODB,求∠BDM+∠CAM的值： (3)如图3，坐标轴上是否存在一点P,使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标： 若不存在，请说明理由， 11/11 专题01 平面直角坐标系中的图形面积问题的四种模型 题型一 与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二 利用面积公式求图形面积 题型三 利用补形或分割法求图形的面积 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 题型一：与面积有关的点的位置不定产生多解 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 5．（23-24八年级上·江西上饶·期末）已知关于轴对称，，若在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为________． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查轴对称及图形与坐标，熟练掌握轴对称及图形与坐标是解题的关键；由题意易得点B的坐标为，然后根据的面积等于4分类进行求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称，， ∴点B的坐标为， ∵在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4， ∴当点在x轴上时，则有，即， 此时点C的坐标为或； 当点在y轴上时，则有，即， 此时点C的坐标为或； 综上所述：当在坐标轴上有一点（，均为整数），且满足的面积等于4，则点的坐标为或或或； 故答案为：或或或． 6．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 7．（25-26七年级下·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移到，D，E分别在x轴和线段上．当三角形是三角形面积的3倍时，点D的坐标为__________． 【答案】或 【分析】设，线段上的点到x轴距离都相等，设为，则，，根据三角形是三角形面积的3倍，列方程求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵将线段平移到， ∴线段上的点到x轴距离都相等，设为， ∵三角形是三角形面积的3倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)在中，边上的高的长度为 个单位长度； (2)在图中画出关于x轴对称的，点 A，B的对称点为点，； (3)P是y轴上一点，若的面积等于的面积的一半，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)画出如图所示． (3)或 【分析】（1）结合图像可看出边上的高的长度就是点A到y轴的距离，即可求解； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征确定点，的坐标，描点连线即可； （3）先设点P的坐标，再根据点的坐标特征以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，边上的高的长度就是点A到y轴的距离，即为个单位长度． （2）略 （3）根据题意，设点P的坐标为， 则． ． ，， ， ， 或， 则点P的坐标为或． 题型二：利用面积公式求图形面积 9．（25-26七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段向右平移得到线段，则线段在平移过程中扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质，线段平移扫过的图形是平行四边形，其面积等于平移距离乘以线段在垂直于平移方向上的高度，由图读出关键点坐标计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵线段向右平移得到线段， ∴点平移到点，点平移到点， ∴平移距离为， ∴线段在平移过程中扫过的图形是平行四边形，其底边长为平移距离3，高为点到轴的距离1， ∴扫过的面积． 10．（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知， ， 其中a，b满足 ．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形 的面积与三角形的面积相等，则点 P 的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，由，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， ∴， 解得：， ∵P在y轴的正半轴上， ∴， 故选：B． 11．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，线段与线段交于点，三角形与三角形的面积相等． （1）三角形的面积为_______； （2）点到直线的距离是_______． 【答案】 【分析】（1）根据点的坐标求出，根据可求出三角形的面积；（2）根据三角形与三角形的面积相等，推出，结合，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1），，， ， 三角形的面积为， （2）三角形与三角形的面积相等， ，即， ， 点到直线的距离是． 13．（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）如图，在平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，且，满足：，点的坐标为． (1)求，的值． (2)求三角形的面积． (3)若，两点位置不变，点在轴的什么位置时，三角形的面积是原三角形面积的倍． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性，求出、； （2）先算出轴上的长，以为底，点纵坐标为高，用三角形面积公式求面积； （3）设，结合面积倍数列含绝对值的方程，求出点坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，． （2）解：据（1）可知点，的坐标分别为，， 则，， 故． （3）解：设， 当三角形的面积是原三角形面积的倍， 可得， 解得，即或， 故点坐标为或． 14．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点与轴的距离为，求的值； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由点与轴的距离为9，可得，再结合绝对值的性质解题即可； （2）根据点在过点且与轴平行的直线上，即，解得的值，继而解得点的坐标，得的长，最后由三角形面积公式解题． 【详解】（1）解：∵点，点与轴的距离为， ，解得或； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ，解得， ， ， ， ． 15．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点． (1)求三角形的面积； (2)求的长； (3)若平行于轴，当三角形的面积为三角形面积的2倍时，求点坐标． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）设，根据三角形的面积等于的面积和，进行求解即可； （3）根据平行于轴的点的横坐标相同，结合三角形的面积为三角形面积的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴三角形的面积． （2）解：设， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵平行于轴，， ∴设， ∴， ∵三角形的面积为三角形面积的2倍，， ∴， ∴或， ∴或. 16．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求三角形的面积； (2)交轴于点，求的长； (3)将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴负半轴上），点的对应点为，当直线经过点时，画出线段并求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)所作线段如图所示： 点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形面积公式进行求解即可； （2）由题意可设点，且，则有，然后根据割补法可进行求解； （3）由平移的性质可知：，，延长线段，交于点，连接，然后根据等积法可进行求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设点，且，则有， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由将线段沿某一方向平移，点的对应点为（在轴负半轴上），点的对应点为可知：线段先向右平移单位长度，再向下个单位长度得到点， ∴，， 延长线段，交于点，连接，如图所示： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型三：利用补形或分割法求图形的面积 17．（21-22七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的面积是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过作辅助线将不规则四边形分割为规则图形三角形和梯形求解即可． 【详解】解：过点作轴于点． ， ， ， ． 18．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点，，，，，相交于点．若三角形与三角形面积相等，则点到直线的距离为______． 【答案】4 【分析】根据点B，点C和点E的坐标可求出，可证明，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵三角形与三角形面积相等， ∴， ∴， 设点到直线的距离为h，则， ∵， ∴， ∴点到直线的距离为4． 19．（专题3.6 图形的平移与旋转章末八大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版））如图，有任意四边形，别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称的性质，中线与面积等知识．熟练掌握轴对称的性质，中线与面积是解题的关键． 如图，连接，由对称的性质可知，是的中点，是的中点，则，，即，，同理：，，，则，进而可求的值． 【详解】解：如图，连接， 由对称的性质可知，是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴， 同理：，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 20．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、、、． (1)求出四边形的面积； (2)若点P在坐标轴上，且四边形的面积是面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）用割补法进行计算即可； （2）根据题意求出四边形的面积，连接，割补法求出，分两种情况进行讨论：①当点P在x轴上时，②当点P在y轴上时，即可解答． 【详解】（1）解：四边形的面积． （2）解：∵、， ∴轴， ∴的面积， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴四边形的面积， 连接， ∵、、， ∴，， ∴， ①当点P在x轴上时 ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； ②当点P在y轴上时， ∵四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴； 综上：或． 21．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 22．（25-26七年级下·云南昆明·期中）请用我们学过的知识解决下列问题：如图1，平面直角坐标系中，，，，，为的整数部分． (1)________； (2)点为轴上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点在一三象限角平分线上，将点向右平移3个单位长度至点，若的面积等于14，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质和无理数的整数部分，求出的值，再代入计算； （2）先求出的面积，再根据面积关系求出的面积，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而确定的坐标； （3）一三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，设，根据平移性质得到，再利用坐标法求的面积，列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 又为的整数部分，且， ， ． （2）解：由（1）可知，，，， 、在轴上，的长度为： ， 以为底，到（轴）的距离为， 所以：， 因为， 所以：， 设点的坐标为，在轴上，到（轴）的距离为， 由三角形面积公式：， ， 解得：，即或， 因此，点的坐标为或． （3）解：因为点在一三象限角平分线上，所以的横、纵坐标相等，设， 将点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得， ①当点在第一象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得； ②当点在第三象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得， 因此，点的坐标为或． 23．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，端点在端点右边，点是平面内一点． (1)若点在第三象限且点到轴的距离为，到轴的距离为，则的值为______； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度得到线段，线段扫过的面积为．连接，得到的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据第三象限点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离定义，求出和的值，再计算即可； （2）先根据线段平移后扫过的平行四边形面积求出的值，再利用割补法计算的面积，根据已知面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， ， ， ； （2）解：将线段沿轴正方向平移个单位后，，， ，， 线段扫过的图形是平行四边形，其面积为，端点在端点右边， ， ， 若，则有： ， 令，解得， 若，则有： ， 令，解得，不合题意，故舍去， 若，则有： ， 令，解得， 综上，的值为或． 24．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)图中点是线段上的一动点， ①连接，利用三角形面积探究，之间的数量关系； ②过点作直线轴，点在直线上，且，若三角形的面积为4，求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)①，②点的坐标为或． 【分析】（1）根据轴于点，可得，即可求出点的坐标，根据平移线段得到，得，即可求出点的坐标； （2）①连接，过点作轴于点，轴于点，求出各个线段的值，再运用，即可求出，之间的数量关系；②先根据①中，之间的数量关系，得，再过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接，根据坐标求出各个线段的值，然后根据，进行分类讨论：（i）当在的左侧，（ii）当在的右侧，求出的值，在代入中，建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵，轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵平移线段使点与原点重合，点的对应点为点， ∴，， ∵由图可知，在轴的负半轴上， ∴； （2）①如图，连接，过点作轴于点，轴于点， ∵点是线段上的一动点， ∴，， ∴，， ∵由（1）得、， ∴，， ∴， ， ， ，即 ②∵由①得，即， ∴ 如图，过点作直线轴，与轴交于点，过点作轴于点，于点，连接， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴， 分类讨论： （i）当在的左侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴； （ii）当在的右侧，即为图中的位置， ∵，， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 题型四：与图形面积相关的点的存在性问题 25．（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，在y轴上是否存在点D，使？若存在，请求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【分析】根据A、B、C三点的坐标求出三角形的面积，进而得到三角形的面积，再根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或． 26．（21-22七年级下·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为． (1)请求出； (2)x轴上是否存在点P，使得，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标． 【答案】(1)6.5 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）由的面积=梯形的面积的面积的面积，即可计算； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：作轴于H， ∵的面积=梯形的面积的面积的面积， ∴的面积； （2）解：存在，理由如下： ∵的面积， ∴， 当P在C的右侧，， ∴此时P的坐标是， 当P在C的左侧，， ∴此时P的坐标是， ∴P的坐标是或． 27．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）略 28．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动． (1)_______，_______，点B的坐标为________． (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (3)在点P的移动过程中，是否存在以A，O，P为顶点的三角形的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，6， (2)或 (3)存在，或 【分析】本题是四边形综合题，考查矩形的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答问题. （1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据长方形的性质可求得点B坐标； （2）由题意可得符合要求的共有两种情况，分类讨论两种情况下点P移动的时间即可； （3）分情况讨论点P在、上得到的点坐标即可. 【详解】【小题1】 ∵四边形是长方形， ∴点B坐标为 故答案为：． 【小题2】当点到轴的距离为个单位长度时，存在两种情况： ①当点在上时，点移动的时间是； ②当点在上时，点移动的时间是． 故在移动过程中，当点到轴的距离为个单位长度时，点移动的时间是或． 【小题3】存在．设点的纵坐标为． 依题意，得，即，解得． 易知点在线段或上，则点的坐标为或． 29．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别是，，且满足，过点C作轴于点B． (1)________，________； (2)如图1，过点B作，交y轴于点D，，分别平分，，若，，求的度数； (3)如图2，在y轴上是否存在一点P使得的面积等于的面积，如果存在请求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据平方的性质及算术平方根的性质列得，即可求出答案； （2）过E作，证得，，再根据角平分线的定义求出 ， ，由此求出答案； （3）分两种情况作图：①当P在y轴正半轴上时，②当P在y轴负半轴上时，设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，然后利用割补法结合图形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过E作． ∵，，，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）得， ∴， ∴； ①当P在y轴正半轴上时，如图所示． 设点，分别过点P，A，B作轴，轴，轴，交于点M，N，则，，，． ∵， ∴， ∴， ∴，即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图所示， 同理可得，即点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的定义，坐标与图形，平行线的性质，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 30．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． (1)_______，_____． (2)当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． (3)点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】(1)3，5 (2)， (3) 分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； （2）解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； （3）略 31．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知点，点，点，且． (1)求、、三点的坐标； (2)将线段平移得到线段，点的对应点是点，求三角形的面积； (3)过点作轴于点，在射线上，是否存在点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形，绝对值、算术平方根、偶次幂非负性，平移的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值、算术平方根、偶次幂非负性即可求解； （）根据点的对应点是点，即点先向右平移个单位，再向下平移个单位，则对应点，过点作轴于点，然后根据面积公式即可求解； （）设，三角形的面积为，则，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，，， 所以，，， 所以、、三点的坐标分别是，，； （2）解：∵点的对应点是点， ∴点先向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴点对应点坐标为， 过点作轴于点，则，， 所以三角形的面积， （3）解：设，三角形的面积为，则， 当时，如图所示，连接， ∵，， ∴， 这与矛盾，所以不成立； 当时，；   当时，如图所示，， ，， 所以， 所以，此时点的坐标为； 当时，， 综上可知，点的坐标为． 32．（24-25七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知点点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点的坐标； (2)如图2，若，且分别平分，求的值； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2 (3)存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【分析】（1）根据非负数的性质可求出和，即可得到点和的坐标； （2）作，由知，从而得出、，进而得，代入可得答案； （3）先计算的面积，再分点在轴上和在轴上讨论．当点在轴上时，设，利用，可解得的值，可求得点坐标；当点在轴上时，设，根据三角形面积公式得，同理可得到关于的方程，可求得的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，； （2）解：如图，过点作，交轴于点，   ， 又∵， ， ， ， ∴； （3）解：存在． ∵，，， ∴的面积， 当点在轴上时，设， ，， ， 解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则， 解得或， 此时点坐标为或， 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $