专题01 不等式与不等式组解法50题强化训练（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题01 不等式与不等式组解法50题强化训练 题型一 解一元一次不等式 题型二 程序流程与不等式（组）的计算 题型三 不等式与不等式组的整数解 题型四 解一元一次不等式组 题型五 解不等式与不等式组错解复原问题 题型一：解一元一次不等式 1．， 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 在数轴上表示该解集略． 2．(1) (2) 【分析】（1）对不等式移项得到，合并同类项得，两边同时除以 2 求出解集． （2）不等式两边同时乘 2 去分母，化简得到，移项计算得到解集． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 4． 【详解】解： . 5．， 【详解】， 去分母，得， 去括号，得， 整理得， 解得． 其解集在数轴上表示略 6． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 把未知数系数化为得． 7． 【分析】利用解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，即可求解． 【详解】解：去分母，得，   去括号，得，   移项、合并同类项，得，   系数化为1，得． 8．(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项； （2）先去分母，再去括号，最后移项合并同类项． 【详解】（1）解： 解： ； （2）解： 9．(1) (2) 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得： ． （2）解：去分母得： ， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类项得： ， 系数化为1得：． 10．(1)； (2) 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可，含分母的不等式先去分母再求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 11．或 【分析】找出程序运行第，次的结果，由题意中程序运行了次停止，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的整数，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，程序运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为． 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴可以为或， 答：整数为或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 12．(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 13．(1)16 (2)6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，与程序流程图有关的计算： （1）把10代入计算，若结果大于10则输出，若结果不大于10则计算的结果当做输入的输重新计算直至结果大于10输出即可； （2）根据题意可得第一次输入计算的结果不大于10，把第一次计算的结果作为新输输入，计算的结果大于10，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：输入10时，计算的结果为， ∴输出的结果为16； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的最小整数值是6． 14．(1)5 (2)1（答案不唯一：即可） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和求不等式解的问题， （1）当输入的数是，时，依据程序进行计算即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：若；若，列不等式求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：若，则， 整理得， 解得：（舍去）； 若，则， 整理得， 解得：， ∵，， ∴， ∴x的取值范围为：， ∴符合条件的x的值可以是1； 15．(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法和乘法混合运算，一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式是解题的关键 ． （1）将代入程序框图求解判断即可； （2）根据第一次不停止列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）当时， ∴当输入的值为12时，该程序操作不是进行一次就停止了； （2）解：设输入的为x， 则， 解得：， ∴如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． 16．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 17．(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，解一元一次不等式： （1）根据流程图分别计算出①和②的结果，比较即可得到答案； （2）根据流程图分别计算出①和②的结果，再根据输出结果为①的计算结果列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，①的运算结果为； 由题意得，②的运算结果为； ∵， ∴输出的结果为4； （2）解：由题意得，①的运算结果为； ②的运算结果为， ∵输出的值恰好是运行①的计算结果， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （1）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （2）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设输入的为x， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． （2）解：设输入的为y， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是． 19．(1)三 (2)5 【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可； （2）根据所给程序运算法则列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 第1次：时，， 第2次：时，， 第3次：时，，输出结果， 故答案为：三； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 是整数， 最小整数的值为5． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算，解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键． 20．（1）2月份用水吨，则3月份用水吨；（2）9；或；（3）， 【分析】本题考查了电费和水费问题的一元一次方程的应用，程序流程图与有理数计算，解一元二次方程，解题关键是根据等量关系列出方程求解． （1）设2月份用水吨，则3月份用水吨，列出关于的不等式，求出的取值范围，再列出一元一次方程求解，然后求出3月份用水量； （2）当时，代入求出； 根据输出的值，得到关于的方程求解； （3）根据（1）分别列出当与时的代数式，再结合流程图求解． 【详解】（1）解：设2月份用水吨，则3月份用水吨， ∵3月份用水超过2月份， ∴，解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴3月份用水吨， 答：2月份用水吨，则3月份用水吨； （2）当时，，即输出结果为9， 故答案为：9． 当时，输出的值，则，解得：； 当时，输出的值，则，解得：，（舍去）， 综上所述，的值为或； （3）当时，水费为；当时，水费为，由此可得①入填，②处填． 故答案为：，． 题型三：不等式与不等式组的整数解 21．，正整数解为1，2，3 【详解】解： 解得，正整数解为1，2，3． 22．，正整数解为 ，，，， 【分析】先求得不等式的解集，然后再确定所有正整数解即可． 【详解】解：， 去分母得： ， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类项得：． 所以它的正整数解为 ，，，，． 23． 不等式组的解集为，所有整数解为 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 24．，所有整数解为， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，． 25．不等式组的解集为，所有整数解为，，数轴表示： 【分析】求出每一个不等式解集，利用 “同大取大，同小取小，大小小大中间找” 确定不等式组解集． 【详解】解：先分别求解两个不等式： ， 解不等式①： ， ， ， ， 解不等式②： ， ， ， ∴不等式组解集：，所有整数解为，，数轴表示略． 26．，最小整数解为 【分析】由不等式解法步骤：去括号、移项、合并同类项及系数化为求出不等式解集，再求满足解集的最小整数解即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 则满足解集要求的最小整数解为． 27．(1) (2)2，3 【分析】（1）根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出不等式组，求解的取值范围． （2）根据是整数以及（1）中求出的取值范围来确定的取值． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得 ． （2）∵是整数，且， ∴可取的值为2，3． 28．解集为， 数轴表示如图： 整数解之和为 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，在数轴上表示解集，再找出范围内的整数解，最后求和． 【详解】解：， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， 不等式组的解集为． 数轴画法：在数轴上，处画实心圆点，处画空心圆圈，两点之间连线． 该范围内的整数解为：， 整数解之和：， 不等式组整数解之和为． 29．不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，． 【分析】先求出不等式组的解集，再写出满足条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 满足条件的整数解为，，． 30．(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出不等式组的解集和方程的解，再判定即可； （2）用k表示方程的解，求不等式组的解集，根据“友好方程”定义列不等式组求解． （3）用m表示方程的解，求不等式组的解集，结合整数解个数和“友好方程”定义列不等式组求解． 【详解】（1）解：， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 解方程①得． ，不在解集范围内， ①不是“友好方程”． 解方程②得． ，不在解集范围内， ②不是“友好方程”． 解方程③得． ，在解集范围内， ③是“友好方程”． （2）解：解方程得． 解不等式组， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 方程是不等式组的“友好方程”， ， 解得． 故的取值范围是． （3）解：解方程得， 解不等式组， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 不等式组恰有个整数解， 整数解为7，6，5，4，3，2，1． ， 解得． 方程是不等式组的“友好方程”， ． 解得， 解得， 结合得， 故的取值范围是． 题型四：解一元一次不等式组 31．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 移项得 合并同类项得； （2）解： ， 去分母得， 去括号得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）略 （4）略 32． 【分析】先分别解两个不等式，再求公共解即可． 【详解】解：解①，得， 解②，得， 所以不等式组的解集为． 33． 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，   解得； 解不等式， 解得； 所以不等式组的解集为． 34． 【分析】按照不等式的基本性质解不等式①和②，不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分． 【详解】解：解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， ， 所以，不等式组的解集为：． 35．，在数轴上表示解集 【详解】解：解①得, 解②得, ∴不等式组的解集为． 图略． 36．(1) 将其表示在数轴上，如图所示 (2)． 解集在数轴上表示如图： 【分析】（1）解一元一次不等式组，可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： 不等式组的解集为； 把不等式的解集表示在数轴上见答案； （2）解： 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上见答案. 37． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 38． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 39．(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可． （2）需要分别求出每个不等式的解集，然后取交集． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项：， 合并同类项得：， 解得：. （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 40．(1)， (2)， (3)，，所有负整数解为，，， 【详解】（1）解： 移项合并得，， 系数化为1得， 解集表示在数轴上略； （2）解： 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得， 解集表示在数轴上略 （3）解： 解不等式①得， ， ， 解不等式②得， ， ， ； ∴不等式组的解集为， 所有负整数解为，，，． 解集表示在数轴上略 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 41．解从第一步去分母时常数项1漏乘了公分母12开始出现错误，正确解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】略 42．(1)三 (2)负数；改变 (3) 【分析】（1）第三步系数化为1时，不等号方向未改变，所以出现了错误； （2）根据不等式性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向必须改变即可求解； （3）解一元一次不等式，求出解集即可． 【详解】（1）解：解不等式，其中第一步移项、第二步合并同类项都正确，但是第三步把两边同时除以时，没有改变不等号的方向，所以出错； （2）解：本题中不等式系数化为1时，依据不等式的性质：在不等式左右两边同时除以一个负数时，不等号方向要改变； （3）解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 43．(1)不等式的性质； (2)一，不等式两边同时乘时漏乘； (3)正确求解过程为： ， ， ， ， ； 数轴上表示解集如图： (4)移项要变号；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向要改变；去分母时分子要加括号等 【分析】（1）根据不等式的性质1求解即可； （2）根据不等式的性质2求解即可； （3）先根据不等式的性质正确解不等式，再将解集表示在数轴上即可； （4）根据不等式的性质以及易错点提出建议即可． 【详解】（1）解：根据第三步求解过程，依据是不等式的性质； （2）解：根据不等式的性质2可知，开始出现错误是第一步，错误原因：不等式两边同时乘时漏乘； （3）略 （4）解：移项要变号；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向要改变；去分母时分子要加括号等． 44．(1)①；② (2)7 (3) 【分析】（1）根据等式和不等式的性质即可求解； （2）分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可； （3）先求出，然后求出的取值范围，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， 解①得 解②得 不等式组的解集为，所有整数解为，4 所有整数解之和为； （3）解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．(1)二；三 (2)解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组解集为： 【分析】（1）根据不等式的性质，即可判断； （2）根据解不等式组的步骤即可求解，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变， ∴从第二步开始出现错误； 解不等式②，第三步去分母，1漏乘了6， ∴从第三步开始出现错误． （2）略 46．(1) 四 (2) 原不等式组的解集为，见解析． 【详解】（1）解：由可得， ∴小贤的解答过程从第四步开始出现错误． （2）解：， 由得， 由得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示如下： 47．(1)五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)；； 不等式①和②的解集在同一数轴上表示为： 【分析】（）根据不等式的性质即可判断求解； （）根据解不等式组的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号， 故答案为：五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为， 故答案为：；；． 48．(1)①不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向；②一；任务二：；任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母；2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一） (2)；； 【分析】（1）任务一：①根据不等式的性质即可得出答案； ②根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出两条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向； ②以上求解过程中，从第一步开始出现错误； 任务二： ； 任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母； 2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一）； （2）解： 解①得； 解②得； 所以不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略； 它的非正整数解为． 49．(1)②；去括号时，常数项没有乘 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （）根据去括号时，常数项没乘即可求解； （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； 【详解】（1）解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘， 故答案为：②；去括号时，常数项没有乘； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 50．任务一：一去分母时，常数项1漏乘10， 任务二：， 解集在数轴上表示如图： ． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． 【详解】任务一：解：∵去分母所有项乘后结果为：， 故第一步错误，去分母时，常数项漏乘； 故答案为：一；去分母时，常数项漏乘； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 不等式与不等式组解法50题强化训练 题型一 解一元一次不等式 题型二 程序流程与不等式（组）的计算 题型三 不等式与不等式组的整数解 题型四 解一元一次不等式组 题型五 解不等式与不等式组错解复原问题 题型一：解一元一次不等式 1．（25-26七年级下·广东云浮·期末）解不等式：，并在数轴上表示解集． 【答案】， 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 在数轴上表示该解集略． 2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对不等式移项得到，合并同类项得，两边同时除以 2 求出解集． （2）不等式两边同时乘 2 去分母，化简得到，移项计算得到解集． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解： . 5．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）解不等式，并在数轴上表示其解集． 【答案】， 【详解】， 去分母，得， 去括号，得， 整理得， 解得． 其解集在数轴上表示略 6．（25-26七年级下·福建福州·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 把未知数系数化为得． 7．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】利用解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，即可求解． 【详解】解：去分母，得，   去括号，得，   移项、合并同类项，得，   系数化为1，得． 8．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项； （2）先去分母，再去括号，最后移项合并同类项． 【详解】（1）解： 解： ； （2）解： 9．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得： ， 合并同类项得：， 系数化为1得： ． （2）解：去分母得： ， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类项得： ， 系数化为1得：． 10．（25-26七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可，含分母的不等式先去分母再求解． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 题型二：程序流程与不等式（组）的计算 11．（22-23八年级下·福建宁德·期末）按下列程序进行运算（如图）    规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算若运行了次停止，问输入的整数为何值． 【答案】或 【分析】找出程序运行第，次的结果，由题意中程序运行了次停止，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其中的整数，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，程序运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为， 运行次的结果为． 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴可以为或， 答：整数为或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 12．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 13．（2024·河北邯郸·三模）按如图程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10） (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果； (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值． 【答案】(1)16 (2)6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，与程序流程图有关的计算： （1）把10代入计算，若结果大于10则输出，若结果不大于10则计算的结果当做输入的输重新计算直至结果大于10输出即可； （2）根据题意可得第一次输入计算的结果不大于10，把第一次计算的结果作为新输输入，计算的结果大于10，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：输入10时，计算的结果为， ∴输出的结果为16； （2）解：由题意得，， 解得， ∴x的最小整数值是6． 14．（23-24七年级上·江苏南通·期中）如图是一个运算程序：    (1)若，求m的值； (2)若，m的值大于，直接写出一个符合条件的x的值． 【答案】(1)5 (2)1（答案不唯一：即可） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和求不等式解的问题， （1）当输入的数是，时，依据程序进行计算即可； （2）根据题意，分两种情况讨论：若；若，列不等式求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：若，则， 整理得， 解得：（舍去）； 若，则， 整理得， 解得：， ∵，， ∴， ∴x的取值范围为：， ∴符合条件的x的值可以是1； 15．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于77”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于77，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)当输入的值为12时，该程序操作_____（填“是”或“不是”）进行一次就停止了． (2)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1)不是 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法和乘法混合运算，一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式是解题的关键 ． （1）将代入程序框图求解判断即可； （2）根据第一次不停止列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）当时， ∴当输入的值为12时，该程序操作不是进行一次就停止了； （2）解：设输入的为x， 则， 解得：， ∴如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． 16．（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到．如：输入，得到． (1)若输入，求m，n的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值； (3)若得到的的值比值小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，有理数的四则混合计算，正确理解流程图是解题的关键． （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出x的值，进而求出n的值即可； （3）分别用含x的式子表示出m、n，再根据题意建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：由题意得，，解得， ∴； （3）解：由题意得，， ； ∵得到的的值比值小， ∴， 解得． 17．（23-24七年级下·河北承德·期末）如图是一个电脑运算程序图，当输入x的一个值后，电脑会同时运行①和②两种计算方式，然后电脑会自动比较两种运行计算结果，最后输出较大的值（若相等，则不输出）． (1)若输入的x值为，求输出的值； (2)若输出的值恰好是运行①的计算结果，请求出输入值x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算，解一元一次不等式： （1）根据流程图分别计算出①和②的结果，比较即可得到答案； （2）根据流程图分别计算出①和②的结果，再根据输出结果为①的计算结果列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，①的运算结果为； 由题意得，②的运算结果为； ∵， ∴输出的结果为4； （2）解：由题意得，①的运算结果为； ②的运算结果为， ∵输出的值恰好是运行①的计算结果， ∴， ∴． 18．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某同学设计了如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)若程序操作进行一次就停止了，求输入的x的取值范围是多少？ (2)若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （1）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （2）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设输入的为x， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． （2）解：设输入的为y， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是． 19．（22-23七年级下·北京昌平·期末）在学校的校本课上，李宏同学设计了一个运算程序，如下图： 按照上述程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行． (1)若，则需要该运算程序运行______次才能输出结果； (2)若该程序运行了两次就输出了结果，求满足此条件的最小整数的值． 【答案】(1)三 (2)5 【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可； （2）根据所给程序运算法则列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 第1次：时，， 第2次：时，， 第3次：时，，输出结果， 故答案为：三； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 是整数， 最小整数的值为5． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数的运算，解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键． 20．（2025·广东深圳·三模）（1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表； 问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？ 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的部分 3元/吨 超15吨的部分 4元/吨 注：水费按月结算 （2）【观察与思考】： ①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为_____； ②根据图2所示的计算程序，若输出的值，则输入的值_____． 该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图 （3）问题：若该居民1月用水量为吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费；补全“计算框图”则①_____②_____； 【答案】（1）2月份用水吨，则3月份用水吨；（2）9；或；（3）， 【分析】本题考查了电费和水费问题的一元一次方程的应用，程序流程图与有理数计算，解一元二次方程，解题关键是根据等量关系列出方程求解． （1）设2月份用水吨，则3月份用水吨，列出关于的不等式，求出的取值范围，再列出一元一次方程求解，然后求出3月份用水量； （2）当时，代入求出； 根据输出的值，得到关于的方程求解； （3）根据（1）分别列出当与时的代数式，再结合流程图求解． 【详解】（1）解：设2月份用水吨，则3月份用水吨， ∵3月份用水超过2月份， ∴，解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴3月份用水吨， 答：2月份用水吨，则3月份用水吨； （2）当时，，即输出结果为9， 故答案为：9． 当时，输出的值，则，解得：； 当时，输出的值，则，解得：，（舍去）， 综上所述，的值为或； （3）当时，水费为；当时，水费为，由此可得①入填，②处填． 故答案为：，． 题型三：不等式与不等式组的整数解 21．（25-26七年级下·福建厦门·期末）解不等式，并写出其正整数解． 【答案】，正整数解为1，2，3 【详解】解： 解得，正整数解为1，2，3． 22．（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解不等式 ，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为 ，，，， 【分析】先求得不等式的解集，然后再确定所有正整数解即可． 【详解】解：， 去分母得： ， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类项得：． 所以它的正整数解为 ，，，，． 23．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）解不等式组：，并写出不等式组的所有整数解． 【答案】 不等式组的解集为，所有整数解为 【详解】解：由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为. 24．（25-26七年级下·吉林长春·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解为， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为，． 25．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来，写出它所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为，，数轴表示： 【分析】求出每一个不等式解集，利用 “同大取大，同小取小，大小小大中间找” 确定不等式组解集． 【详解】解：先分别求解两个不等式： ， 解不等式①： ， ， ， ， 解不等式②： ， ， ， ∴不等式组解集：，所有整数解为，，数轴表示略． 26．（23-24七年级上·上海·阶段检测）解不等式：，并求它的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】由不等式解法步骤：去括号、移项、合并同类项及系数化为求出不等式解集，再求满足解集的最小整数解即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 则满足解集要求的最小整数解为． 27．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为3，4，． (1)求的取值范围． (2)如果是整数，则可取哪些值？ 【答案】(1) (2)2，3 【分析】（1）根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列出不等式组，求解的取值范围． （2）根据是整数以及（1）中求出的取值范围来确定的取值． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得 ． （2）∵是整数，且， ∴可取的值为2，3． 28．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并求出它的整数解之和． 【答案】解集为， 数轴表示如图： 整数解之和为 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，在数轴上表示解集，再找出范围内的整数解，最后求和． 【详解】解：， 解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， 不等式组的解集为． 数轴画法：在数轴上，处画实心圆点，处画空心圆圈，两点之间连线． 该范围内的整数解为：， 整数解之和：， 不等式组整数解之和为． 29．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）解不等式组，并写出满足条件的整数解． 【答案】不等式组的解集为，满足条件的整数解为，，． 【分析】先求出不等式组的解集，再写出满足条件的整数解即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 满足条件的整数解为，，． 30．（26-27八年级上·四川泸州·开学考试）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”．请根据约定，解答下列问题． (1)在一元一次方程①；②；③中，不等式组的“友好方程”是 ； (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围； (3)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，且此时该不等式组恰有7个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出不等式组的解集和方程的解，再判定即可； （2）用k表示方程的解，求不等式组的解集，根据“友好方程”定义列不等式组求解． （3）用m表示方程的解，求不等式组的解集，结合整数解个数和“友好方程”定义列不等式组求解． 【详解】（1）解：， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 解方程①得． ，不在解集范围内， ①不是“友好方程”． 解方程②得． ，不在解集范围内， ②不是“友好方程”． 解方程③得． ，在解集范围内， ③是“友好方程”． （2）解：解方程得． 解不等式组， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 方程是不等式组的“友好方程”， ， 解得． 故的取值范围是． （3）解：解方程得， 解不等式组， 解得， 解得． 不等式组的解集为． 不等式组恰有个整数解， 整数解为7，6，5，4，3，2，1． ， 解得． 方程是不等式组的“友好方程”， ． 解得， 解得， 结合得， 故的取值范围是． 题型四：解一元一次不等式组 31．（2026八年级上·全国·专题练习）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 移项得 合并同类项得； （2）解： ， 去分母得， 去括号得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）略 （4）略 32．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，再求公共解即可． 【详解】解：解①，得， 解②，得， 所以不等式组的解集为． 33．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，   解得； 解不等式， 解得； 所以不等式组的解集为． 34．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）解不等式组：． 【答案】 【分析】按照不等式的基本性质解不等式①和②，不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分． 【详解】解：解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， ， 所以，不等式组的解集为：． 35．（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集 【详解】解：解①得, 解②得, ∴不等式组的解集为． 图略． 36．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) 将其表示在数轴上，如图所示 (2)． 解集在数轴上表示如图： 【分析】（1）解一元一次不等式组，可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： 不等式组的解集为； 把不等式的解集表示在数轴上见答案； （2）解： 解不等式①， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上见答案. 37．（2026九年级·四川·专题练习）求不等式组的解集． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 38．（2026九年级·四川·专题练习）解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 39．（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）解下列不等式（组） (1)解不等式：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可． （2）需要分别求出每个不等式的解集，然后取交集． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项：， 合并同类项得：， 解得：. （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 40．（25-26七年级下·河北沧州·期末）计算，解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上． (1)； (2)； (3)，并写出它的所有负整数解． 【答案】(1)， (2)， (3)，，所有负整数解为，，， 【详解】（1）解： 移项合并得，， 系数化为1得， 解集表示在数轴上略； （2）解： 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得， 解集表示在数轴上略 （3）解： 解不等式①得， ， ， 解不等式②得， ， ， ； ∴不等式组的解集为， 所有负整数解为，，，． 解集表示在数轴上略 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 41．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）下面是小梦同学解不等式的过程： 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，得．…第三步 合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 以上解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 【答案】解从第一步去分母时常数项1漏乘了公分母12开始出现错误，正确解答过程： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【详解】略 42．（26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）某同学解不等式出现了错误，解答过程如下： 解：移项，得：，（第一步） 合并同类项，得：，（第二步） 系数化为1，得：．（第三步） (1)该同学的解答过程在第______________步出现了错误； (2)该同学错误原因是，在不等式左右两边同时除以一个______________（选填“正数”或“负数”）时，不等号方向应该______________（选填“改变”或“不改变”）； (3)此不等式的正确解集为______________． 【答案】(1)三 (2)负数；改变 (3) 【分析】（1）第三步系数化为1时，不等号方向未改变，所以出现了错误； （2）根据不等式性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向必须改变即可求解； （3）解一元一次不等式，求出解集即可． 【详解】（1）解：解不等式，其中第一步移项、第二步合并同类项都正确，但是第三步把两边同时除以时，没有改变不等号的方向，所以出错； （2）解：本题中不等式系数化为1时，依据不等式的性质：在不等式左右两边同时除以一个负数时，不等号方向要改变； （3）解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 43．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下面是小彬同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：………第一步 ……………第二步 ……………第三步 …………………第四步 ……………………第五步 任务一： (1)上述解题过程中第三步的依据是___________________________； (2)上述解题过程开始出现错误是第________步，错误原因是________； (3)请写出正确的解题过程，并在数轴上表示解集． 任务二： (4)除了纠正上述错误外，请根据自己解不等式的经验，再提出一条解不等式过程中的合理化建议． 【答案】(1)不等式的性质； (2)一，不等式两边同时乘时漏乘； (3)正确求解过程为： ， ， ， ， ； 数轴上表示解集如图： (4)移项要变号；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向要改变；去分母时分子要加括号等 【分析】（1）根据不等式的性质1求解即可； （2）根据不等式的性质2求解即可； （3）先根据不等式的性质正确解不等式，再将解集表示在数轴上即可； （4）根据不等式的性质以及易错点提出建议即可． 【详解】（1）解：根据第三步求解过程，依据是不等式的性质； （2）解：根据不等式的性质2可知，开始出现错误是第一步，错误原因：不等式两边同时乘时漏乘； （3）略 （4）解：移项要变号；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向要改变；去分母时分子要加括号等． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【阅读材料】数学课上王老师提出如下问题： 已知：，且，，求的取值范围． 小明同学的解法的部分过程如下： 解：， ①，（用含的代数式来表示） ， ， ， 即②． 又， ， ， ， 的取值范围是． 根据材料解决下列问题 (1)请将小明同学解题过程的缺失部分补充出来：①________________②________________； (2)求不等式组的所有整数解之和________． (3)已知：，且，，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)7 (3) 【分析】（1）根据等式和不等式的性质即可求解； （2）分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可； （3）先求出，然后求出的取值范围，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得， 解①得 解②得 不等式组的解集为，所有整数解为，4 所有整数解之和为； （3）解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．（25-26七年级下·广东惠州·期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程． 解不等式①得，．第一步 ．第二步 解不等式②得， ．第三步 ．第四步 ．第五步 ．第六步 … (1)填空：乐乐解不等式①从第______步开始出现错误；解不等式②从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)二；三 (2)解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组解集为： 【分析】（1）根据不等式的性质，即可判断； （2）根据解不等式组的步骤即可求解，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变， ∴从第二步开始出现错误； 解不等式②，第三步去分母，1漏乘了6， ∴从第三步开始出现错误． （2）略 46．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，…………………………………第一步 所以，………………………………………………第二步 由②得，………………………………………第三步 所以，……………………………………………第四步 故原不等式组的解集是．……………………第五步 (1)小贤的解答过程从第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程，并在数轴上表示解集． 【答案】(1) 四 (2) 原不等式组的解集为，见解析． 【详解】（1）解：由可得， ∴小贤的解答过程从第四步开始出现错误． （2）解：， 由得， 由得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示如下： 47．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …第五步 (1)任务一： 该题第______步出现错误，错误的原因是______； (2)任务二： 张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； 原不等式组的解集为______． 【答案】(1)五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)；； 不等式①和②的解集在同一数轴上表示为： 【分析】（）根据不等式的性质即可判断求解； （）根据解不等式组的步骤解答即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号， 故答案为：五；不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴原不等式组的解集为， 故答案为：；；． 48．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式． 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是__________________________________________________； ②以上求解过程中，从第________步开始出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：__________； 任务三：请你根据平时学习经验，就在解不等式时需要注意的事项给其他同学提两条建议； __________________________________________________________________________________________ (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 【答案】(1)①不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向；②一；任务二：；任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母；2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一） (2)；； 【分析】（1）任务一：①根据不等式的性质即可得出答案； ②根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出两条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向； ②以上求解过程中，从第一步开始出现错误； 任务二： ； 任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母； 2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一）； （2）解： 解①得； 解②得； 所以不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略； 它的非正整数解为． 二、解答题 49．（24-25九年级下·江西景德镇·期中）下面是小友同学解不等式的运算过程： (1)以上解题过程中，从第________步骤开始出现错误，这一步错误的原因是_______； (2)请写出该不等式正确的求解过程． 【答案】(1)②；去括号时，常数项没有乘 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （）根据去括号时，常数项没乘即可求解； （）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； 【详解】（1）解：第②步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，常数项没乘， 故答案为：②；去括号时，常数项没有乘； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 50．（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 去分母，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 两边都除以7，得．        第五步 任务一：以上解题过程中，第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________． 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：一去分母时，常数项1漏乘10， 任务二：， 解集在数轴上表示如图： ． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 任务一：根据运算法则求解即可； 任务二：根据运算法则求解并在数轴上表示即可． 【详解】任务一：解：∵去分母所有项乘后结果为：， 故第一步错误，去分母时，常数项漏乘； 故答案为：一；去分母时，常数项漏乘； 任务二： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以7，得 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01不等式与不等式组解法50题强化训练 题型归纳 题型一解一元一次不等式 题型二程序流程与不等式（组）的计算 题型三不等式与不等式组的整数解 题型四解一元一次不等式组 题型五解不等式与不等式组错解复原问题 题型专练 题型一：解一元一次不等式 1.(25-26七年级下广东云浮·期末)解不等式：2x+7≥1-x,并在数轴上表示解集. 4-3-2-101234→ 2.(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)解下列不等式 (1)8x-1≥6x+3 3.(26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测)解下列不等式： (①)5x-2<3(x+): 2x-1_5x+1≤1 (2)3-6 4(2526年级下吉林长春期末)解不等式：分<x+1. 5.(2526八年级下江西萍乡期末)解不等式24 x3x2>1,并在数轴上表示其解集。 4321012345→ 6,（25-26七年级下福建福州期末)解不等式：41+日-1≤5+x 3 2 x-13x-2<1 7.(25-26七年级下安徽滁州期末)解不等式：2-4 1/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测)解下列不等式： (①)3(x-2)<2x+1: 2x+1_x-121」 (2)3-2 9.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)解不等式： (1)x-3(x-2)≥4 梦25 3 10.(25-26七年级下·上海宝山期末)解下列不等式 (①3(x+2)≥1-2(x-1): ②x-s2-+2 2 3· 题型二：程序流程与不等式（组)的计算 11. (22-23八年级下·福建宁德·期末)按下列程序进行运算（如图) 输入 整数x 乘以3 减去2 大于244 是停止 否 规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算·若运行了5次停止，问输入的整数x为何值. 12.(24-25八年级上：湖南岳阳期末)如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于 100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第 二次运算 输入m 乘2 减去3 是 大于100 输出结果 否 (1)当m=50时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 13.(2024河北邯郸三模)按如图程序进行运算.如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第 二次运算，直到符合要求（结果大于10） 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入 >10 是 输出 停止 (1)当输入的数是10时，请求出输出的结果： (2)当输入的数是x时，经过第二次运算，结果即符合要求，请求出x的最小整数值. 14.(23-24七年级上江苏南通期中)如图是一个运算程序： m=2x-y2 是 输入x,y x<-y 输出结果m 否 m=2y-x2 (1)若x=1,y=3,求的值： (2)若y=-2,的值大于4，直接写出一个符合条件的x的值. 15.(24-25七年级下·贵州遵义期末)按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于 77”为一次程序操作.如果结果得到的数小于或等于77，则用得到的这个数进行下一次操作。 输入， ×5 →+2 是 >77 停止 否 (1)当输入的值为12时，该程序操作 (填“是”或“不是”)进行一次就停止了 (②)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是多少？ 16.(2025·河北石家庄·二模)淇淇设计了一个运算程序，如图，输入x值，由上面的一条运算路线从左 至右进行运算得到m,由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到n.如：输入x=1,得到 m=1x(-3)+(-2)=-5n=0-4*(-2)-. m 4 n (1)若输入x=2,求，n的值； (2)若得到m=7,求输入的x的值及相应的n的值： (3)若得到的m的值比n值小，求x的取值范围。 17.(23-24七年级下·河北承德·期末)如图是一个电脑运算程序图，当输入x的一个值后，电脑会同时运 行①和②两种计算方式，然后电脑会自动比较两种运行计算结果，最后输出较大的值（若相等，则不输 3/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出). ① 比较大小， ×2 输出较大的值 ① ×(-3) (1)若输入的x值为-1，求输出的值： (②)若输出的值恰好是运行①的计算结果，请求出输入值x的取值范围， 18.(24-25七年级下·山东济宁·期末)某同学设计了如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值”到 “结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操 作. 输入 x 2 -4 是 >20 停止 (1)若程序操作进行一次就停止了，求输入的x的取值范围是多少？ (2)若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 19.(22-23七年级下·北京昌平·期末)在学校的校本课上，李宏同学设计了一个运算程序，如下图： 输入n的值 +5 ×3 大于100 是 输出结果 否 按照上述程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行. (I)若n=1,则需要该运算程序运行一次才能输出结果： (2)若该程序运行了两次就输出了结果，求满足此条件的最小整数n的值. 20.(2025·广东深圳三模)(1)【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯 价”，见价目表： 问题：若该居民2、3月份共用水30吨(3月份用水超过2月份)，共交水费97元，则该居民2、3月份各 用水多少吨？ 价目表 每月用水量 单价 不超出15吨的 3元 部分 吨 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4元 超15吨的部分 吨 注：水费按月结算 (2)【观察与思考】： ①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据x=-1时，输出结果y为一： 否 输入x 是 y=c+4)2 15 输出以 图1 ②根据图2所示的计算程序，若输出的值y=5,则输入的值x= 该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图 (3)问题：若该居民1月用水量为x吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量x,输出数为水费 y；补全“计算框图”则① ② 输入x /输入x 是 ① 否 ② -15 ×4 +45 输出) 输出 图2 图3 题型三：不等式与不等式组的整数解 21.(25-26七年级下福建厦门期末)解不等式22 x+1≥3x-1,并写出其正整数解。 3 22.(26-27八年级上黑龙江大庆阶段检测)解不等式4-3 3x+2x≤1，并写出它的所有正整数解。 5x+2≥4x① 23.(26-27九年级上重庆阶段检测)解不等式组： <x+1②，并写出不等式组的所有整数解. 3x-1 2 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1、x-2 24.(25-26七年级下吉林长春期末)解不等式组： 23，并写出它的所有整数解。 2x-5<-3x 2x-1<5 25.(25-26七年级下·湖南衡阳期末)解不等式组x+1≥1，并把它的解集在数轴上表示出来，写出它 2 所有整数解. 26.(23-24七年级上上海阶段检测)解不等式：2x(x-3)-(3x-2)x+2x<x+1,并求它的最小整数解. 27.(26-27八年级上·浙江杭州阶段检测)已知一个三角形的三边长分别为3,4,3x-4. (1)求x的取值范围. (2)如果x是整数，则x可取哪些值？ 5x-1<3(x+1) 28.(26-27九年级上重庆渝北阶段检测)解不等式组2x-1_5x+1≤1'在数轴上画出解集，并求出它 3 2 的整数解之和. 1-x<2(2x+3) 29.(26-27九年级上：广东深圳开学考试)解不等式组 5+x2x+3 1，并写出满足条件的整数解 3 3 30.(26-27八年级上四川泸州开学考试)我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范 围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”.例如：方程2x-4=2的解为x=3,而不等式 x+1>2 组x-2<3的解集为1<x<5”不难发现x-3在1<x<5的范围内，所以方程2x-4-2是不等式组 [x+1>2 x-2<3的“友好方程”.请根据约定，解答下列问题. 5x+2>3(x-1) (1)在一元一次方程① :② ；③3-x_3x-9中，不等式组1 6x-7=4x+52x+5=3x+1515 +1s7-的 “友好方程”是_： 5x-3x-2>1 (②若关于的方程x1-k=0是不等式组x+≥2x-5-1的“友好方程”，求k的取值范围： 2 6 4 2x+1>m-1 (3)若关于的方程x-5_m-1是不等式组 x-≥2x+1-2的“友好方程”，且此时该不等式组恰有7个 63 2 3 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整数解，求m的取值范围. 题型四：解一元一次不等式组 5x+2>4x+1① 31.(2026八年级上全国专题练习)解不等式组： 3己≤4-②并把解集在数轴上表示出来. (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： -4-3-2-101234 (④)原不等式组的解集为 ,1 ① 32.(26-27八年级上·福建厦门阶段检测)解不等式组： 2 2x+1≥5(x-1)② 1 2x-1、3x-1 ① 33.(26-27九年级上：重庆沙坪坝阶段检测)解不等式组： 2 4 2-3x≤8-x② 2(x+1)-3>x① 34.(26-27九年级上陕西西安阶段检测)解不等式组： 3x+3≥x-1① 35.(26-27九年级上重庆涪陵阶段检测)解不等式组： 3x-4>2x-3②，并将解集在数轴上表示出来. 3-2-1012345 36.(26-27九年级上·黑龙江大庆阶段检测)解不等式组，并把解集表示在数轴上. 4x-3≤5① 03+3到>2 32可10123→ 2x-1<7① (2②13x-l≥x+1@ 2 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -7-6-5-4-3-2-10123456→ 4x-5<3(x-1) 37.(2026九年级四川专题练习)求不等式组 3x+14x-1的解集. 2 23 「-2x+3≤-5① 38.(2026九年级四川专题练习)解不等式组： 39.(26-27八年级上·浙江宁波阶段检测)解下列不等式（组） (1)解不等式：5x+3<2(3+x). x-3+32x (2)解不等式组： 2 1-3(x-1)<7 40.(25-26七年级下·河北沧州期末)计算，解下列不等式（组），并把其解集表示在数轴上. (1)2-3x≥6-5x; 2-1 2x+1≥3(x-2) 3)x=_3x-1<2,并写出它的所有负整数解。 34 题型五：解不等式与不等式组错解复原问题 nx+1、2x- 41.(26-27九年级上：四川达州开学考试)下面是小梦同学解不等式6 4 2+1的过程： 解：去分母，得2(x+)≥3(2x-5)+1.…第一步 去括号，得2x+2≥6x-5+1.…第二步 移项，得2x-6x之-5+1+2.…第三步 合并同类项，得-4x之-2.…第四步 1 系数化为1，得x之2：…第五步 以上解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出正确的解答过程 42.(26-27八年级上·黑龙江绥化开学考试)某同学解不等式6+3x>4x-2出现了错误，解答过程如下： 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：移项，得：3x-4x>-2-6,(第一步) 合并同类项，得：-x>-8,(第二步) 系数化为1，得：x>8.(第三步) (1)该同学的解答过程在第。 步出现了错误； (2)该同学错误原因是，在不等式左右两边同时除以一个 (选填“正数”或“负数”)时， 不等号方向应该 (选填“改变”或“不改变”)： (3)此不等式的正确解集为 43.(25-26七年级下·山西吕梁·期末)下面是小彬同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务. +x≥2x-1-2 2 3 解：3(2+x≥2(2x-)-2…第-步 6+3x≥4x-2-2.…第二步 3x-4x≥-2-2-6.…第三步 -x之-10…第四步 x≤10…第五步 任务一： (1)上述解题过程中第三步的依据是 (②)上述解题过程开始出现错误是第」 步，错误原因是 (3)请写出正确的解题过程，并在数轴上表示解集。 任务二： (④)除了纠正上述错误外，请根据自己解不等式的经验，再提出一条解不等式过程中的合理化建议. 44.(25-26七年级下·吉林长春·期末)【阅读材料】数学课上王老师提出如下问题： 己知：x-y=2,且x>-1,y<2,求x+y的取值范围. 小明同学的解法的部分过程如下： 解：x-y=2, ∴x=①，（用含y的代数式来表示） .x+y=y+2+y=2y+2, x>-1, y+2>-1, 即y>②. 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又y<2, .-3<y<2. .-6<2y<4, ∴.6+2<2y+2<4+2」 x+y的取值范围是4<x+y<6」 根据材料解决下列问题 (1)请将小明同学解题过程的缺失部分补充出来：① ② (2)求不等式组2≤3x-7<8的所有整数解之和 (③)已知：x-y=-1,且x>1,y<3,求x+y的取值范围. x-2<2x① 45.(25-26七年级下广东惠州期末)以下是乐乐解不等式组 2x+2s+1@的部分过程。 32 解不等式①得， x-2x<2.第一步 x<-2.第二步 解不等式②得， 2(2x+2)≤3x+1.第 三步 4x+4≤3x+1.第四 步 4x-3x≤1-4.第五 步 x≤-3.第六步 (1)填空：乐乐解不等式①从第步开始出现错误；解不等式②从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来。 内432山012345→ x-2<3① 46.(25-26八年级下·宁夏银川期中)以下是小贤解不等式组 -x+2≥1②的解答过程。 3 10113 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：由①得x<3+2,…第一步 所以x<5,…第二步 由②得-X+2≥3，…第三步 所以x之l,…第四步 故原不等式组的解集是一1≤x<5.…第五步 (I)小贤的解答过程从第步开始出现错误： (2)请写出正确的解答过程，并在数轴上表示解集 47.(25-26八年级下·河南平顶山期中)下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请 认真阅读并帮助东东完成相应任务， 解不等式1-x+62x+1 2 3 解：6-3(x+6)<2(2x+1),…第一步 6-3x-18<4x+2,…第二步 -3x-4x<2+18-6,…第三步 -7x<14,…第四步 x<-2…第五步 (1)任务一： 该题第 步出现错误，错误的原因是 (2)任务二： 1-x+6<2x+10 张老师将以上不等式与不等式 组成不等式组 2 3 ，请你帮助东东同学完善下列解 2x≤1+x 2x≤1+x② 不等式组的过程， 解不等式①，得 解不等式②，得一； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； 原不等式组的解集为 -5-4-3-2-1012345→ 48.(25-26七年级下·河南驻马店·期末)解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务. 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题：解不等式1-x≤- 25 过程如下： 解：去分母，得1-5(x+)≤2(x-).第一步 去括号，得1-5x-5≤2x-2.第二步 移项，得-5x-2x≤-2-1+5.第三步 合并同类项得，-7x≤2.第四步 2 两边都除以7，得x≤一7，第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是 ②以上求解过程中，从第 步开始出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： 任务三：请你根据平时学习经验，就在解不等式时需要注意的事项给其他同学提两条建议： [5x<1+4x① (2)解不等式组 1-x≤x+4②并把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解. 3 二、解答题 49.(24-25九年级下·江西景德镇期中)下面是小友同学解不等式3 2x+1,3x-2-2的运算过程： 2 解：去分母，得22x+1)>3(3x-2)-12,① 去括号，得4x+2>9x-2-12,② 移项，得4x-9x>-2-12-2,③ 合并同类项，得-5x>-16,④ (1)以上解题过程中，从第 步骤开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)请写出该不等式正确的求解过程 50.(24-25八年级下·山西运城阶段检测)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务. x-3>1-+ 5 2 去分母，得2(x-3)>1-5(x+1). 第一步 去括号，得2x-6>1-5x-5 第二步 移项，得2x+5x>1-5+6 第三步 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 合并同类项，得7x>2, 第四步 两边都除以7，得>？ 7· 第五步 任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请正确解该不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来. 54321012345 13113