专题02 求解一元一次不等式（组）中的参数（举一反三专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题02 求解一元一次不等式（组）中的参数（举一反三专项训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 由一元一次不等式的概念求参数】 1 【题型2 一元一次不等式（组）的解求参数】 1 【题型3 一元一次不等式（组）的解集求参数】 3 【题型4 由一元一次不等式（组）的整数解的值求参数】 6 【题型5 由一元一次不等式（组）的最小/大整数解的值求参数】 8 【题型6 由一元一次不等式（组）的整数解的个数求参数】 11 【题型7 由一元一次不等式（组）的整数解的和求参数】 13 【题型8 由一元一次不等式（组）的至少/多整数解的个数求参数】 15 【题型9 由一元一次不等式（组）的有解无解情况求参数】 18 【题型10 方程（组）与一元一次不等式（组）综合求参数】 20 【题型11 由两个一元一次不等式（组）解集之间的关系求参数】 22 【题型1 由一元一次不等式的概念求参数】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是______． 【答案】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值． 【详解】mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， (m＋2)x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答案为m≠－2． 【点睛】此题主要考查不等式的定义． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，可得未知数的次数为，且的系数不为，据此列关系式求解即可. 【详解】解：是关于的一元一次不等式， 且， ∵， ∴， 或， ∵， ∴， ， 故答案为 ：. 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案． 【详解】解： 是关于的一元一次不等式， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义列出方程与不等式求解是解决问题的关键． 【题型2 一元一次不等式（组）的解求参数】 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若关于x的方程的解是不等式的一个解，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程与一元一次不等式的综合应用，掌握先分别求解方程和不等式，再根据解的关系建立新不等式求参数范围是解题的关键． 先解方程得到 关于 的表达式，再解不等式得到 的取值范围，最后根据方程的解是不等式的一个解，建立关于 的不等式并求解． 【详解】解：解方程 ， 得 ； 解不等式 ， 得 ； 由题意，， 解得 ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的解集，解决本题的关键是求不等式组的解集． 根据是不等式的解，且不是这个不等式的解，列出不等式组，求出解集，即可解答． 【详解】解：∵是不等式的解，且不是这个不等式的解， ∴ 整理得 ∴ 解得 故选C 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解的定义，将已知的x值代入不等式，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵是不等式 的解， ∴将代入不等式得， 化简得：，即， 解得； 又∵不是该不等式的解， ∴不满足不等式， ∴，化简得，即， 解得； 综上，的取值范围是. 【变式2-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有___________；（填序号） (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为___________； (3)若方程都是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是___________． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题结合新定义考查一元一次方程与一元一次不等式组的求解，根据新定义，若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则该方程为不等式组的“子方程”．解题思路为：先求解方程的解，再求解不等式组的解集，再根据新定义判断或计算参数范围． （1）分别求解三个方程与不等式组，判断方程的解是否在不等式组解集内即可； （2）求解不等式组得到解集，找出解集中的整数即可； （3）先求解两个方程，再求解不等式组，根据两个方程的解都在不等式组解集内列不等式求解即可． 【详解】（1）解：对于①，移项系数化为1得； 对于②，解得； 对于③，整理得，解得； 求解不等式组： 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得，系数化为1得； 因此不等式组的解集为； 和都在解集内，不在， 因此不等式组的“子方程”是①②； （2）解：解不等式组： 解不等式得； 解不等式得，即； 因此不等式组的解集为， 该区间内的整数只有， 因此该“子方程”的解为； （3）解：解方程，整理得，解得； 解方程，两边同乘得，展开整理得，解得； 解不等式组， 解不等式，移项得，系数化为1得； 解不等式，移项得； 因此不等式组的解集为； 因为两个方程都是“子方程”， 所以和都在解集内，可得： ， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， 则． 【题型3 一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例3】（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）关于的不等式的解集满足，那么取值范围是______ ． 【答案】 【分析】根据原不等式的解集可得，则可得到，根据原不等式的解集是满足，得到，据此解两个不等式即可得到答案． 【详解】解：关于x的不等式的解集满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解出第二个不等式，再根据不等式组“同大取大”的原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 得：， 则原不等式组化为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 即的取值范围是． 【变式3-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 【题型4 由一元一次不等式（组）的整数解的值求参数】 【例4】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为______． 【答案】/2＞m≥0 【分析】先解一元一次不等式可得x＞，再根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，可得m＜2，最后进行计算即可解答． 【详解】解：2x﹣m＞4， 2x＞m+4， x＞， ∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解， ∴≥2， ∴m≥0， ∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解， ∴6﹣m＞4， ∴m＜2， ∴0≤m＜2， 故答案为：0≤m＜2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式4-1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）已知m、n是整数，如果关于x的不等式组仅有三个整数解：﹣1，0，1，则mn的值为_________． 【答案】-4，-6，-9 【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得． 【详解】解不等式组，得， 由已知条件可知，且， 解得且， ∵m、n是整数， ∴且， 所以mn＝－4，－6，－9． 故答案为：-4，-6，-9 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如果关于的不等式组的整数解仅为3，4，5，那么适合这个不等式组的整数对共有______对． 【答案】15 【分析】本题考查了不等式的整数解及解不等式组的能力，根据整数解确定，的值是关键． 首先解不等式组，用，表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解仅有3，4，5，即可确定，的值，从而求解． 【详解】解：解不等式组，得：， 整数解仅有3，4，5， ，， 解得：，， ，8，9，，27，28，29，30． 则整数，组成的有序数对共有15对． 故答案为：15． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．求出不等式组的解集，根据已知求出、，求出：、，即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的整数解仅有， 则、， 解得：、， 则时，、、； 当时，、、； 所以适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有个， 故选． 【题型5 由一元一次不等式（组）的最小/大整数解的值求参数】 【例5】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式得：， 不等式组最大整数解比最小整数解大3， 最小整数为， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 【变式5-1】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，先将a看作常数解关于x的不等式，得，根据最小整数解为，得，解出a即可． 【详解】解：移项， 移项，得， 解得， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， 解得． 【变式5-2】（2026·四川绵阳·二模）关于的不等式组的最小整数解是5，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据最小整数解为得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的最小整数解是5，大于2， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组的最小整数解为， 所以. 所以. 【变式5-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为_____________． 【答案】27 【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，， 由①得，；由②得，． 原不等式组的解集为． 这个不等式组的最大整数解为2． 又最大整数解与最小整数解的和为， 这个不等式组的最小整数解为． ． ． 满足题意的整数有13，14． 满足题意的整数的和为27． 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键． 【题型6 由一元一次不等式（组）的整数解的个数求参数】 【例6】（25-26七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键． 先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，求和即得． 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 【变式6-1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【详解】解：， ∴， 由关于的不等式的正整数解有4个， ∴关于的不等式的正整数解是1、2、3、4， ∴， ∴. 【变式6-2】（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组恰有个整数解，确定参数的取值范围. 【详解】解： 不等式①两边同乘去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解， 不等式组的整数解为，，， 可得：. 【变式6-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组恰有2个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查不等式组综合，涉及由不等式组解集求参数、由不等式整数解的个数求参数，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． （1）先解含参数的一元一次不等式组，再由不等式组解集为，列方程求解即可得到答案； （2）由题意可得，由不等式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为， 不等式组的解集为， 则， 解得； （2）解：不等式组的解集为，且不等式组恰有2个整数解， ， 解得． 【题型7 由一元一次不等式（组）的整数解的和求参数】 【例7】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次不等式组．正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定的取值范围是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解： ，由①得，， 不等式组有解， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的整数解为、、或、、、、0、1． 当不等式组的整数解为、、时，有，的取值范围为； 当不等式组的整数解为、、、、0、1时，有，的取值范围为． ∴m的取值范围是：或. 【变式7-1】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的不等式的所有整数解的和为，则整数的值为___________． 【答案】或 【分析】先求解连不等式得到的取值范围，再根据所有整数解的和为分情况讨论，确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：解不等式 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为得； 解不等式 移项，合并同类项得， 系数化为得， ∵原不等式有解， ∴原不等式的解集为， 当整数解为时，和为，符合题意， 此时满足，解得， ∵为整数， ∴； 当整数解为时，和为，符合题意， 此时满足，解得， ∵为整数， ∴； 综上所述，a的值为1或4． 【变式7-2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】根据不等式组所有整数解之和为﹣5可知，比2小的连续整数之和为﹣5的情况为，，最小整数为﹣3，故且，解出解集即可． 【详解】解：不等式，解集为：， 不等式 ，的解集为：， ∵不等式组所有整数解之和为﹣5，， ∴ 且， 解得：，， 综上所述， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组的解集，以及数形结合思想，能够熟练应用数形结合思想是解决本题的关键． 【变式7-3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据所有整数解的和为34确定整数解的范围，进而得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 若不等式组有整数解，需满足 ，即 已知所有整数解的和为，计算得， 若包含整数，和为 ，因此不等式组的整数解为 ∴ 解得 【题型8 由一元一次不等式（组）的至少/多整数解的个数求参数】 【例8】（25-26七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7，共5个， 故选：B． 【变式8-1】（2023·黑龙江绥化·一模）已知不等式组至少有两个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组至少有2个整数解，确定出a的范围． 【详解】解：不等式组的解集为， ∵不等式组至少有两个整数解，即至少有1，2，两个整数解， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键． 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组至多2个整数解，且关于y的方程8﹣2a＝（a﹣1）（y﹣2）的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．1 C．7 D．9 【答案】B 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中至多2个整数解，确定出a的范围，再由关于y的方程的解为整数，确定出整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组 解不等式① 得：， 解不等式② 得：， ∴不等式的解集为：． ∵不等式组至多2个整数解， ∴这两个整数解为2，3 ∴a≤4， ∵8﹣2a＝（a﹣1）（y﹣2）． 解得：． ∵这个方程的解为整数， ∴a＝﹣5，﹣2，﹣1，0，2，3，4，7， ∴整数a为﹣5，﹣2，﹣1，0，2，3，4， ∴符合条件的所有整数a的和为﹣5﹣2﹣1+0+2+3+4＝1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键在于能够确定a的取值范围． 【变式8-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）已知a为整数，关于x的方程有整数解，关于y的不等式组至少有6个整数解，则符合条件的a的和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，根据题意，得出关于a的不等式，再结合方程有整数解，求出a的整数值，并将它们相加即可． 【详解】解：由题知，由不等式组得， ， 因为此不等式组至少有6个整数解， 所以 解方程得， 因为此方程有整数解，且a为整数， 所以或， 所以符合条件的a的和为： 故答案为：． 【题型9 由一元一次不等式（组）的有解无解情况求参数】 【例9】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解各个不等式，再结合不等式组有解的条件，以及原不等式组所有解都是的解的要求，确定的取值范围. 【详解】解：∵ ，解得 ， ∵ ，解得 ， ∵ 不等式组有解，∴ ，此时原不等式组解集为. 再解不等式，解得， ∵ 原不等式组的所有解都是的解， ∴ ， 若，则存在解不满足. 综上可得的取值范围是. 【变式9-1】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）为实数，且不等式有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．先根据绝对值的意义求出的取值范围，然后根据不等式组解集的确定方法求解即可． 【详解】解：当时，， ∴此时， 当时，， ∴此时， 当时，， ∴此时， ∴， 不等式有解， ． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】解不等式①得，根据不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 该不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分， ， 解得． 【变式9-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵不等式组为 解不等式①，得 , 解不等式②，得， ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分 ∴ ， 解得 . 【题型10 方程（组）与一元一次不等式（组）综合求参数】 【例10】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据方程和方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，求不等式组的整数解，先解一元一次方程得到，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出，则可得到，解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案． 【详解】解： 去括号得， 解得， ∵关于x的方程的解为非负数， ∴， ∴； 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数a有，共5个， 故选：B． 【变式10-1】（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解方程得到x关于a的表达式，再根据根的取值范围列出不等式，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解： 若时，方程化为，无解，故； 当时， ∵ 方程的根在和之间 ∴ ∴， ∵为正数， ∴ ∴ ． 【变式10-2】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，根据恰好4个整数解确定a的初步取值范围，再根据y的方程解是非负数确定a满足的条件，找出所有符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：解不等式 ，得， 解不等式 ，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴这4个整数解为2，3，4，5， ∴ 解得 ， ∴整数a的可能取值为， 解方程 ，得， ∵方程的解是非负数， ∴，即， 解得 ∵， ∴， ∴符合条件的整数a为， ∴符合条件的所有整数a的和为． 【变式10-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程的解满足，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过方程组构造出 即 a的表达式．熟练掌握整体代换思想和不等式的变形规则，是快速求出 a 取值范围的关键． 【详解】解：， 将方程①与方程②相加： ， ， ∵， ∴， ∴a， ∵已知，在不等式两边同时加1， ， ∴， 在不等式两边同时除以3， 1， ∴． 【题型11 由两个一元一次不等式（组）解集之间的关系求参数】 【例11】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知不等式（组）M和不等式（组）N都有解，若不等式（组）M的解集中的任何一个值都是不等式（组）N的解，则称不等式（组）N“覆盖”不等式（组）M．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． (1)已知不等式Q：，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式Q的有_________．（填序号） ①；②；③；④． (2)已知不等式A：，不等式B：，若不等式B“覆盖”不等式A，求k的取值范围． 【答案】(1)②④； (2) 【分析】（1）先求出不等式Q的解集，再分别求出四个选项中不等式（组）的解集，根据“覆盖”定义判断符合要求的选项； （2）先分别解出不等式A和B的解集，再根据“覆盖”的定义列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得， ①解集为，中所有数都不满足，不符合定义； ②解集为，任意都满足，符合定义； ③， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组解集为， ∵中存在不满足该解集， ∴不符合定义； ④， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组解集为， ∵任意都满足， ∴符合定义， 综上所述，能“覆盖”不等式Q的是②④； （2）解：解不等式 解得， 解不等式 解得， 不等式B“覆盖”不等式A，即A的所有解都满足B， 解得． 【变式11-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 【变式11-2】（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与探究 定义：若两个不等式（组）的整数解完全相同，则称它们为“同整数解”关系．例如：不等式的解集为，其整数解为大于等于的全体整数，不等式组的解集为，其整数解也为大于等于的全体整数，所以不等式与不等式组为“同整数解”关系． (1)请判断不等式与不等式组是不是“同整数解”关系，并说明理由； (2)若关于的不等式组与是“同整数解”关系，请求出的取值范围． 【答案】(1) 解：是“同整数解”关系，理由如下： 解不等式得，其整数解为所有小于1的整数； 解不等式组得，其整数解也为所有小于1的整数； 故不等式与不等式组是“同整数解”关系； (2) 【分析】（1）分别求出不等式和不等式组的整数解，进行判断即可； （2）求出两个不等式组的解集，进而确定第二个不等式组的整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：解不等式组， 解不等式得； 解不等式得； ∴不等式组的解集为，其整数解为， 解含的不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∴该不等式组的解集为， ∵两个不等式组是“同整数解”关系， ∴不等式组的整数解为， ∴ 解得. 【变式11-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． (1)解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______ (2)在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是______；（填序号） (3)若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； (4)如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 【答案】(1)；；； 如图： (2)②④ (3) (4) 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式（组）、在数轴上表示不等式的解集，理解“母不等式”的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式组的求解步骤即可解答； （2）根据“母不等式”的定义即可得出答案； （3）分和两种情况讨论，解不等式得出的范围，再根据“母不等式”的定义即可得出答案； （4）解不等式组得，解不等式得，解不等式得，再根据“母不等式”的定义得出关于的不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为． 故答案为：；；； （2）解：不在的范围内，故①不符合题意； 在的范围内，故②符合题意； 不在的范围内，故③不符合题意； 在的范围内，故④符合题意； 是（1）中不等式组的“母不等式”的是②④． 故答案为：②④； （3）解：当，即， 解不等式，得， ∵不在的范围内， ∴不符合题意，舍去； 当，即， 解不等式，得， ∵在的范围内， ∴符合题意； ∴的取值范围是． 故答案为：； （4）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 解不等式，得， 解不等式，得， 由题意得，是的“母不等式”，不是的“母不等式”， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 求解一元一次不等式（组）中的参数（举一反三专项训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 由一元一次不等式的概念求参数】 1 【题型2 一元一次不等式（组）的解求参数】 1 【题型3 一元一次不等式（组）的解集求参数】 1 【题型4 由一元一次不等式（组）的整数解的值求参数】 2 【题型5 由一元一次不等式（组）的最小/大整数解的值求参数】 2 【题型6 由一元一次不等式（组）的整数解的个数求参数】 3 【题型7 由一元一次不等式（组）的整数解的和求参数】 3 【题型8 由一元一次不等式（组）的至少/多整数解的个数求参数】 4 【题型9 由一元一次不等式（组）的有解无解情况求参数】 4 【题型10 方程（组）与一元一次不等式（组）综合求参数】 4 【题型11 由两个一元一次不等式（组）解集之间的关系求参数】 5 【题型1 由一元一次不等式的概念求参数】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是______． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）已知是关于的一元一次不等式，则的值是____． 【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【题型2 一元一次不等式（组）的解求参数】 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若关于x的方程的解是不等式的一个解，则m的取值范围为________． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是不等式的解，且不是这个不等式的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”有___________；（填序号） (2)若不等式组的一个“子方程”的解是整数，则该“子方程”的解为___________； (3)若方程都是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是___________． 【题型3 一元一次不等式（组）的解集求参数】 【例3】（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）关于的不等式的解集满足，那么取值范围是______ ． 【变式3-2】（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【变式3-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【题型4 由一元一次不等式（组）的整数解的值求参数】 【例4】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为______． 【变式4-1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）已知m、n是整数，如果关于x的不等式组仅有三个整数解：﹣1，0，1，则mn的值为_________． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南周口·期末）如果关于的不等式组的整数解仅为3，4，5，那么适合这个不等式组的整数对共有______对． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【题型5 由一元一次不等式（组）的最小/大整数解的值求参数】 【例5】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）若关于的不等式组的最大整数解比最小整数解大3，则的取值范围是_________． 【变式5-1】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）若关于的不等式的最小整数解为，则的取值范围是______． 【变式5-2】（2026·四川绵阳·二模）关于的不等式组的最小整数解是5，则的取值范围是___________． 【变式5-3】（25-26七年级下·四川绵阳·期末）若关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的和为，则满足条件的整数m的和为_____________． 【题型6 由一元一次不等式（组）的整数解的个数求参数】 【例6】（25-26七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【变式6-1】（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 【变式6-2】（2026·四川泸州·一模）关于x的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是______． 【变式6-3】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组的解集为，求的值； (2)若该不等式组恰有2个整数解，求的取值范围． 【题型7 由一元一次不等式（组）的整数解的和求参数】 【例7】已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的不等式的所有整数解的和为，则整数的值为___________． 【变式7-2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则a的取值范围是 _____． 【变式7-3】（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 【题型8 由一元一次不等式（组）的至少/多整数解的个数求参数】 【例8】（25-26七年级下·重庆渝中·期中）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【变式8-1】（2023·黑龙江绥化·一模）已知不等式组至少有两个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组至多2个整数解，且关于y的方程8﹣2a＝（a﹣1）（y﹣2）的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．1 C．7 D．9 【变式8-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）已知a为整数，关于x的方程有整数解，关于y的不等式组至少有6个整数解，则符合条件的a的和为______． 【题型9 由一元一次不等式（组）的有解无解情况求参数】 【例9】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）为实数，且不等式有解，则实数的取值范围是______． 【变式9-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【变式9-3】（25-26七年级下·重庆·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型10 方程（组）与一元一次不等式（组）综合求参数】 【例10】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足，则满足条件的整数a有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式10-1】（2026·山东淄博·一模）已知关于x的方程的根在1和3之间，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组恰好有4个整数解，且关于的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数之和是_______． 【变式10-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x、y的方程的解满足，则a的取值范围是___________． 【题型11 由两个一元一次不等式（组）解集之间的关系求参数】 【例11】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知不等式（组）M和不等式（组）N都有解，若不等式（组）M的解集中的任何一个值都是不等式（组）N的解，则称不等式（组）N“覆盖”不等式（组）M．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． (1)已知不等式Q：，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式Q的有_________．（填序号） ①；②；③；④． (2)已知不等式A：，不等式B：，若不等式B“覆盖”不等式A，求k的取值范围． 【变式11-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【变式11-2】（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与探究 定义：若两个不等式（组）的整数解完全相同，则称它们为“同整数解”关系．例如：不等式的解集为，其整数解为大于等于的全体整数，不等式组的解集为，其整数解也为大于等于的全体整数，所以不等式与不等式组为“同整数解”关系． (1)请判断不等式与不等式组是不是“同整数解”关系，并说明理由； (2)若关于的不等式组与是“同整数解”关系，请求出的取值范围． 【变式11-3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式的解，那么称一元一次不等式为该一元一次不等式组的“母不等式”．例如：不等式组的解集为，不等式的解集为，可以发现在的范围内，则称不等式为不等式组的“母不等式”．特别的，不等式也是不等式的“母不等式”． (1)解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． 解不等式①，得______， 解不等式②，得____________； 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为______ (2)在下列不等式①，②，③，④中，是（1）中不等式组的“母不等式”的是______；（填序号） (3)若关于的不等式是（1）中不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______； (4)如果不等式是不等式组的“母不等式”，不等式不是不等式组的“母不等式”，则的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $