专题07 正弦、余弦、正切、锐角三角函数的计算十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题07 正弦、余弦、正切、锐角三角函数的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、正弦的定义与正弦值 题型二、已知正弦值求边长 题型三、余弦的定义与余弦值 题型四、已知余弦值求边长 题型五、正切的定义与正切值 题型六、已知正切值求边长 题型七、已知角度比较三角函数的大小 题型八、根据三角函数判断锐角的取值范围 题型九、特殊角三角函数值的计算 题型十、已知锐角三角函数值求角 题型十一、结合三角函数值，用计算器求锐角度数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识模块 核心知识点 常见易错点 正弦的定义与正弦值 在直角三角形中，若一个锐角为A，那么这个锐角的对边与斜边的比值就是它的正弦值，记作sinA，数学表达式为sinA = 锐角A的对边长度 ÷ 斜边长度。 1. 分不清锐角的对边和邻边；2. 错把非斜边的直角边当成斜边来计算；3. 忘记正弦的定义只适用于直角三角形。 已知正弦值求边长 已知直角三角形中某锐角的正弦值，结合已知的边长，通过正弦的定义公式建立等量关系，就能算出未知的边长。 1. 代入边长时，对边和斜边的位置放反；2. 解等量关系时计算出错；3. 没先确定直角，导致边长对应关系混乱。 余弦的定义与余弦值 在直角三角形里，锐角A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA，公式为cosA = 锐角A的邻边长度 ÷ 斜边长度。 1. 混淆锐角的邻边和对边；2. 和正弦的定义搞混，分子分母对应错误；3. 忽略必须在直角三角形中使用余弦定义。 已知余弦值求边长 利用余弦的定义公式，将已知的余弦值和边长代入，通过解方程的方式求出未知的边长。 1. 邻边和斜边的对应关系代入错误；2. 解方程时分数化简出错；3. 没确认是直角三角形就直接套用余弦公式。 正切的定义与正切值 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA = 锐角A的对边长度 ÷ 锐角A的邻边长度。 1. 对边和邻边的比例关系搞反；2. 错把斜边当作正切公式的分母；3. 忘记正切的定义仅适用于直角三角形。 已知正切值求边长 根据正切的定义，结合已知的正切值和边长建立方程，就能求出未知的对边或者邻边长度。 1. 对边和邻边的对应关系弄反；2. 比例式变形时交叉相乘出错；3. 没明确锐角对应的对边和邻边，导致边长匹配错误。 已知角度比较三角函数的大小 1. 对于锐角来说，角度越大，正弦值和正切值就越大；2. 对于锐角来说，角度越大，余弦值就越小。 1. 误以为余弦值会随角度增大而变大；2. 记混正弦和正切的增减规律；3. 忘记这个规律只适用于0°到90°的锐角。 根据三角函数判断锐角的取值范围 借助30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值，再结合三角函数的增减性，就能反推出锐角的度数范围。 1. 特殊角的三角函数值记混，导致范围判断错误；2. 增减性记反，不等号方向写错；3. 忽略锐角的范围是0°到90°，边界值写错。 特殊角三角函数值的计算 牢记30°、45°、60°的三角函数值： - 30°：正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3； - 45°：正弦和余弦都是√2/2，正切是1； - 60°：正弦为√3/2，余弦为1/2，正切为√3。 1. 特殊角的三角函数值对应错误；2. 计算时根式化简出错；3. 混合运算时运算顺序搞错。 已知锐角三角函数值求角 如果已知的三角函数值是特殊角对应的数值，就可以直接反推出这个锐角的度数。 1. 三角函数值和角度的对应关系记错；2. 忘记是锐角，写出了钝角的答案；3. 非特殊值的三角函数，直接写出了角度，没有使用计算器。 结合三角函数值，用计算器求锐角度数 用计算器求锐角度数时，要先把计算器调到角度制，再用反三角函数键（sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹）输入三角函数值，就能得到对应的锐角度数。 1. 计算器的单位设置成了弧度制；2. 反三角函数的按键顺序错误；3. 取近似值时，没有按要求保留小数位数。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、正弦的定义与正弦值 典例1在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 变式1-1如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 变式1-3如图，在第一象限与反比例函数交于，两点，若垂直平分，则____________________． 类型二、已知正弦值求边长 典例2 在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 变式2-1如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式2-2如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 变式2-3如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 题型三、余弦的定义与余弦值 典例3 如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 变式3-1如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式3-2在中，，若，则________． 变式3-3已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 题型四、已知余弦值求边长 典例4 如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 变式4-1在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 变式4-2如图，是直角的平分线，，，则________． 变式4-3如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 题型五、正切的定义与正切值 典例5 在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 变式5-1在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 变式5-2如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 变式5-3如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为________． 题型六、已知正切值求边长 典例6 如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-1如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 变式6-2在中，，，，则的长为______________． 变式6-3在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 题型七、已知角度比较三角函数的大小 典例7 当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 变式7-1比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 变式7-2比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 变式7-3比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 题型八、根据三角函数判断锐角的取值范围 典例8 已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式8-2若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 变式8-3锐角满足，且，则的取值范围为___________． 题型九、特殊角三角函数值的计算 典例9 计算： (1)． (2)． 变式9-1求下列各式的值： (1)； (2)． 变式9-2计算： 变式9-3计算： (1)； (2)． 题型十、已知锐角三角函数值求角 典例10 求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 变式10-1已知是锐角，且，计算的值． 变式10-2在中，，都是锐角，且，求的度数． 变式10-3已知是锐角，且，计算． 题型十一、结合三角函数值，用计算器求锐角度数 典例11 在中，，，求的三角函数值及的度数．（结果精确到） 变式11-1如图，在中，，，，求的度数．（结果精确到） 变式11-2根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 变式11-3根据条件求锐角： （1），求； （2），求； （3），求． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 2．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为1，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连接，给出如下结论：①；②；③；④，其中正确结论是（     ） A．①②③ B．①② C．①③④ D．①②④ 6．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 8．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 9．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 10．如图，矩形中，，P为矩形内一点，，，则________ 11．计算： (1) (2)． 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 14．如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．如图，在中，为一条直径，，垂足为． (1)若，求的值； (2)联结，取中点，联结并延长，交于，联结、． ①求证：平分； ②延长交直线于点，若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 正弦、余弦、正切、锐角三角函数的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、正弦的定义与正弦值 题型二、已知正弦值求边长 题型三、余弦的定义与余弦值 题型四、已知余弦值求边长 题型五、正切的定义与正切值 题型六、已知正切值求边长 题型七、已知角度比较三角函数的大小 题型八、根据三角函数判断锐角的取值范围 题型九、特殊角三角函数值的计算 题型十、已知锐角三角函数值求角 题型十一、结合三角函数值，用计算器求锐角度数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 知识模块 核心知识点 常见易错点 正弦的定义与正弦值 在直角三角形中，若一个锐角为A，那么这个锐角的对边与斜边的比值就是它的正弦值，记作sinA，数学表达式为sinA = 锐角A的对边长度 ÷ 斜边长度。 1. 分不清锐角的对边和邻边；2. 错把非斜边的直角边当成斜边来计算；3. 忘记正弦的定义只适用于直角三角形。 已知正弦值求边长 已知直角三角形中某锐角的正弦值，结合已知的边长，通过正弦的定义公式建立等量关系，就能算出未知的边长。 1. 代入边长时，对边和斜边的位置放反；2. 解等量关系时计算出错；3. 没先确定直角，导致边长对应关系混乱。 余弦的定义与余弦值 在直角三角形里，锐角A的邻边与斜边的比值叫做∠A的余弦，记作cosA，公式为cosA = 锐角A的邻边长度 ÷ 斜边长度。 1. 混淆锐角的邻边和对边；2. 和正弦的定义搞混，分子分母对应错误；3. 忽略必须在直角三角形中使用余弦定义。 已知余弦值求边长 利用余弦的定义公式，将已知的余弦值和边长代入，通过解方程的方式求出未知的边长。 1. 邻边和斜边的对应关系代入错误；2. 解方程时分数化简出错；3. 没确认是直角三角形就直接套用余弦公式。 正切的定义与正切值 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA = 锐角A的对边长度 ÷ 锐角A的邻边长度。 1. 对边和邻边的比例关系搞反；2. 错把斜边当作正切公式的分母；3. 忘记正切的定义仅适用于直角三角形。 已知正切值求边长 根据正切的定义，结合已知的正切值和边长建立方程，就能求出未知的对边或者邻边长度。 1. 对边和邻边的对应关系弄反；2. 比例式变形时交叉相乘出错；3. 没明确锐角对应的对边和邻边，导致边长匹配错误。 已知角度比较三角函数的大小 1. 对于锐角来说，角度越大，正弦值和正切值就越大；2. 对于锐角来说，角度越大，余弦值就越小。 1. 误以为余弦值会随角度增大而变大；2. 记混正弦和正切的增减规律；3. 忘记这个规律只适用于0°到90°的锐角。 根据三角函数判断锐角的取值范围 借助30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值，再结合三角函数的增减性，就能反推出锐角的度数范围。 1. 特殊角的三角函数值记混，导致范围判断错误；2. 增减性记反，不等号方向写错；3. 忽略锐角的范围是0°到90°，边界值写错。 特殊角三角函数值的计算 牢记30°、45°、60°的三角函数值： - 30°：正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3； - 45°：正弦和余弦都是√2/2，正切是1； - 60°：正弦为√3/2，余弦为1/2，正切为√3。 1. 特殊角的三角函数值对应错误；2. 计算时根式化简出错；3. 混合运算时运算顺序搞错。 已知锐角三角函数值求角 如果已知的三角函数值是特殊角对应的数值，就可以直接反推出这个锐角的度数。 1. 三角函数值和角度的对应关系记错；2. 忘记是锐角，写出了钝角的答案；3. 非特殊值的三角函数，直接写出了角度，没有使用计算器。 结合三角函数值，用计算器求锐角度数 用计算器求锐角度数时，要先把计算器调到角度制，再用反三角函数键（sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹）输入三角函数值，就能得到对应的锐角度数。 1. 计算器的单位设置成了弧度制；2. 反三角函数的按键顺序错误；3. 取近似值时，没有按要求保留小数位数。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、正弦的定义与正弦值 典例1在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 变式1-1如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ∴． 变式1-2如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 变式1-3如图，在第一象限与反比例函数交于，两点，若垂直平分，则____________________． 【答案】 【分析】根据题意，设出点坐标，进一步表示出点和点坐标，再结合线段垂直平分线的性质及正弦的定义进行计算即可． 【详解】解：令反比例函数的解析式为，设点坐标为， 因为垂直平分， 所以点坐标为． 因为是直角三角形，所以点的横坐标为，则点坐标可表示为． 连接， 因为垂直平分， 所以，即， 所以，整理得，． 在中，， 所以． 类型二、已知正弦值求边长 典例2 在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 变式2-1如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 变式2-2如图，在中，已知，，且，则___________，___________． 【答案】 12 9 【分析】先利用正弦的定义求出，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：∵在中，已知，，且， ∴，即，解得：， ∴． 变式2-3如图，点为正方形的边上一点，连接，，是的中线，若，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据正方形性质得出，，利用直角三角形斜边中线性质得出，利用三角函数定义求出，利用勾股定理求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点为正方形的边上一点， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三、余弦的定义与余弦值 典例3 如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 变式3-1如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 变式3-2在中，，若，则________． 【答案】 【分析】根据得出，根据余弦函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴． 变式3-3已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 题型四、已知余弦值求边长 典例4 如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 变式4-1在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 变式4-2如图，是直角的平分线，，，则________． 【答案】 【分析】首先在直角三角形 中利用余弦定义和勾股定理求出 和 的长，然后利用角平分线的性质，结合三角形面积公式，将面积比转化为边长比进行求解． 【详解】解：在 中， ，， 由勾股定理得： 过点 作 于点 ， 于点 平分 ，， ． 变式4-3如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 题型五、正切的定义与正切值 典例5 在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 变式5-1在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 变式5-2如图，正方形是由4个全等的正方形和4个全等的矩形拼接而成．若矩形的对角线与长边的夹角为，则的值是_________． 【答案】 【分析】设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为，根据图形拼接特点得出，由大正方形的边长相等建立方程求出与的关系，利用锐角三角函数定义求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，小正方形的边长为， 由图可知：，大正方形由4行图形拼接而成，且每行高度均为， ， 大正方形的边长由一个小正方形边长和一个矩形长组成，， 四边形是正方形， ， ，， 在矩形中，． 变式5-3如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造“一线三垂直”模型，利用反比例函数的几何意义求出两个小直角三角形的面积，通过证明三角形相似得出对应边之比，最后根据正切定义求解. 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，. 题型六、已知正切值求边长 典例6 如图，在边长为4的正方形中，E为边上一点，交于F，已知，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用证得 四点共圆，将 转化为，在 中求解． 【详解】解： 四边形 是正方形 四点共圆 ∵ 在 中， ∴． 变式6-1如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 变式6-2在中，，，，则的长为______________． 【答案】 或 【分析】根据题意分情况作图，过点作于，利用三角函数定义和勾股定理分别计算各线段长度即可得到的长. 【详解】解：过点作于， 情况1：垂足在线段上， ∵ ， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴，， 在中，， ∴， ∴； 情况2：垂足在线段延长线上， 同理可求，，， ∴； 综上，的长为或. 变式6-3在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 题型七、已知角度比较三角函数的大小 典例7 当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 变式7-1比较与的大小，结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．以上情况都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数，利用互余角的三角函数转换关系，将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小． 【详解】解：， ， 在范围内，正弦函数值随角度增大而增大， 又， ， 即． 变式7-2比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 变式7-3比较大小：___________；___________，（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 < = 【分析】本题考查了锐角三角函数；余弦函数与正弦函数有互余关系：，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，正切函数在到之间，角的正切值随着角度的增大而增大， ∵， 因此； 依题意，， 故答案为：<，= 题型八、根据三角函数判断锐角的取值范围 典例8 已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式8-1若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 变式8-2若为锐角，且，试写出一个满足条件的的度数___________． 【答案】45（答案不唯一） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据锐角余弦函数的增减性，结合特殊角的余弦值确定的取值范围，再选取符合条件的角度． 【详解】解：在到的锐角范围内，余弦函数值随角度的增大而减小， 由特殊角的余弦值可知：，， ， ， 可取． 故答案为：（答案不唯一）． 变式8-3锐角满足，且，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键． 根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九、特殊角三角函数值的计算 典例9 计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 变式9-1求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将每个特殊角的三角函数值代入原式，再按照实数的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法得到结果． （2）先把分子、分母中各个特殊角的三角函数值代入，再对分母进行化简，最后按照分式运算规则完成计算，必要时进行分母有理化． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式9-2计算： 【答案】 【详解】解：原式． 变式9-3计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型十、已知锐角三角函数值求角 典例10 求下列等式中锐角的度数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． （2）整理等式求出的值，对照特殊锐角的三角函数值得到的度数． 【详解】（1）解：， 移项得 ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． （2）解：， ， 化简得 ， ∵是锐角， ∴． 变式10-1已知是锐角，且，计算的值． 【答案】 【分析】先根据题意得出，求出的度数，进而代入式子求解即可． 【详解】解：，且是锐角， ， ， ∴ ． 变式10-2在中，，都是锐角，且，求的度数． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质得出，然后根据特殊角的三角函数值，求出，最后根据三角形内角和定理得出答案即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 都是锐角， ， ， ∴． 变式10-3已知是锐角，且，计算． 【答案】3 【分析】根据特殊角的三角函数值可得到，然后把代入，再化简，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 题型十一、结合三角函数值，用计算器求锐角度数 典例11 在中，，，求的三角函数值及的度数．（结果精确到） 【答案】，，；. 【分析】本题考查了三角函数的定义和勾股定理，根据直角边的比例设参数，由勾股定理求出斜边长度，再利用三角函数定义求的各三角函数值，最后由正切值计算的度数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ， ， 通过计算器计算得． 变式11-1如图，在中，，，，求的度数．（结果精确到） 【答案】的度数约为． 【分析】在直角三角形中，锐角的余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度之比，可通过代入已知边长，求出的余弦值，再运用计算器反求的度数． 【详解】解：在中，， 根据锐角余弦的定义，， 代入已知边长，， 得， 根据的余弦值，运用计算器反求其度数，再将结果换算为度分秒形式并精确到， 得． 答：的度数约为． 变式11-2根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）： (1)，求的度数； (2)，求的度数； (3)，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键． （1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.675”，然后按“”得出答案即可； （2）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.0789”，然后按“” 得出答案即可； （3）先按“”键，接着按“”键，再输入“35.6”，然后按“” 得出答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 变式11-3根据条件求锐角： （1），求； （2），求； （3），求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先启用计算器上功能，再按0.675，最后按等于即可得； （2）先启用计算器上功能，再按0.0789，最后按等于即可得； （3）先启用计算器上功能，再按35.6，最后按等于即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵， ∴ （3）∵， ∴ 【点睛】本题主要考查计算器−三角函数，解题的关键是掌握科学计算器上计算三角函数值功能的使用． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若，为锐角，且，则的值（     ） A．小于 B．等于 C．大于 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 2．已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 3．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 4．如图，由边长均相等的小正方形组成的网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取在上格点，连接，设小正方形边长为，利用勾股定理及其逆定理可得，，，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，取在上格点，连接，设小正方形边长为， 由网格可知，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 5．如图，正方形的边长为1，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连接，给出如下结论：①；②；③；④，其中正确结论是（     ） A．①②③ B．①② C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，再证明，可判断①；过点Q作于点H，证明，得到，进而得到；设，则，在中，由勾股定理列出方程，解得，从而得到，可判断②；由，可判断③；证明，则由，可判断④． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，； ∵以为直径作半圆，点P是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点Q作于点H， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 6．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为________． 【答案】 【分析】根据图形可以得到，，，，然后根据勾股定理可以得到的长，从而可以计算出的值． 【详解】解：如图， 由图可得，，，，， ∴， ∴． 8．在矩形中，平分交直线于点若，连接，则的值___________． 【答案】或 【分析】点在直线上，分两种情况讨论，结合矩形性质和角平分线性质得到，再根据锐角三角函数定义计算结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在边上时，如图1： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当点在的延长线上时，如图2： 同理可得， ∵， ∴， 在中，； 综上，的值为或． 9．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【分析】作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 10．如图，矩形中，，P为矩形内一点，，，则________ 【答案】 【分析】过点B作 ，取，连接，根据各角之间的等量代换得出，再由边的比得出，结合相似三角形的判定和性质得出，，利用勾股定理及正切函数得出，利用勾股定理逆定理得出，确定， 过点B作 ，交的延长线于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作 ，取，连接， ∵四边形是矩形， ，即 ， ， ，即 ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ∴， 在 中， ∴ ∴， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ， 过点B作 ，交的延长线于H， ， 在 中， ， ∴， ∴ ， ∴， 在中， ． 11．计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．如图，在中，点是的中点，，且，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）延长，，交于点，连接，先证出，则，，再求出，进而可得，然后求出的长，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 又∵点是的中点， ∴． （2）解：如图，延长，，交于点，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，即点是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点； （2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点． 【详解】（1）解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底， 如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为， 而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高， 代入面积公式正好可以得到，满足面积要求． 如取点在线段的中点正下方格的格点位置， 那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为， 也可以得到，满足面积要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． （2）解：先计算线段的长度， 横向跨度为，纵向跨度为， ． 在上方或下方选取合适的点，使得，， 可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点， 此时，，符合题目要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． 14．如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后结合，可证明，进而证明结论； （2）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得，结合易得；设，则，，在中由勾股定理解得的值，可确定的长度，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴，整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴在中，． 15．如图，在中，为一条直径，，垂足为． (1)若，求的值； (2)联结，取中点，联结并延长，交于，联结、． ①求证：平分； ②延长交直线于点，若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明：∵是的直径，于点， ∴点是的中点，且点、关于直线对称， ∴． 连接，，取的中点．设，． ∵与是同弧所对的圆周角， ∴， ∴． ∵与是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴，则 ∴． ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴ 又， ∴． ∴． ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵ ∴ ∴、、三点共线，即过的中点， ∴平分． ② 【分析】（1）由垂径定理得点是的中点，结合得；连接，在中用勾股定理求出，进而得，再在中由正切定义求解； （2）①先证，再利用、是对应边、的中点，得，从而；由得、、三点共线，即可得证； ②由、证是等边三角形，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径，于点， ∴由垂径定理，点是的中点，即． 连接，．设的半径为，则，． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）②解：∵ ∴． 又∵， 在和中 ∵， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴，则 ∵ ∴ ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $