第8章 锐角三角函数（单元自测）数学新教材苏科版九年级下册

第8章 锐角三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，，， ∴．故选A． 2．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【解析】．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选D． 3．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【解析】， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选B． 4．在中，，，，则的正弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角正弦值的计算，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角正弦的定义计算即可得到结果． 【解析】∵ ，，， ∴ 由勾股定理可得， ∵ 在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比，的对边为， ∴ ．故选C． 5．在中，，已知，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【解析】如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 6．在中，已知，，，则长为（ ） A．12 B．26 C．24 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出． 【解析】∵在中，，，， ∴， 故选B． 7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【解析】，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选C． 8．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，在中，继而得到． 【解析】连接交于点， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴， ∴．故选D． 9．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可证明得到，则，据此可得，则． 【解析】∵， ∴可设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴．故选A． 10．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，在中，已知坡面的坡比以及铅直高度的值，通过解直角三角形即可求出斜面的长．正确理解坡比的意义是解题的关键． 【解析】在中，，， ∴， ∴， ∴坡面的长度为． 故选B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可． 【解析】 ， 故答案为． 12．在中，若，，都是锐角，则是________三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【解析】由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 13．的值等于________． 【答案】2 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，然后进行加法，即可作答． 【解析】 ， 故答案为2 14．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【解析】由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为或或． 15．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．则这棵大树的高度为________．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】20米 【分析】根据题意可得米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出米．在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解析】由题意得，米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴(米)， ∴（米）， ∴这棵大树的高度约为20米． 故答案为20米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 16．如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为________米．（参考数据：，） 【答案】35 【分析】延长，相交于点，设，利用锐角三角函数进行求解． 【解析】如图，延长，相交于点， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴．故答案为35． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】（1）210米 （2）865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【解析】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 18．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 【答案】（1）km （2）km 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟悉掌握三角函数是解题的关键． （1）用正弦三角函数求解即可． （2）结合第一问，求解长度，用正切三角函数求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，， ， ． （2）， ． 19．（8分）如图①所示的健身器被为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收，图②为其示意图．已知在初始位置，，点在同一直线上，，，．当、在初始位置时，求点到的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】点到的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形内角和定理等知识点．过点作于点，求出，再由计算即可得出答案． 【解析】过点作于点， ， ， ， ， ， 点到的距离约为． 20．（8分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【解析】（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为． 21．（8分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 【答案】（1）61 （2）点D到的距离为3米 （3）大树的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求； （2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解； （3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【解析】（1）解：斜坡的坡度， ， ， ， 故答案为61． （2）如图2，过点D作于点F． 在中， ，， ． 答：点D到的距离为3米． （3）过点D作于点H，则四边形是矩形． ． 设，则． 在中， ， ． 在中，． ， 在中， ， ． 解得， 答：大树的高度约为米． 22．（8分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为直接写出灯杆的高度________米（用含、、的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图2所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，沿方向直行，测得2米的木杆，其影长，求灯杆的高为多少米？ 【答案】（1）； （2）灯杆的高为． 【分析】（ ）由题意得，，，，，由解直角三角形可得，再通过线段的和与差即可求解； （ ）由题意，得，由解直角三角形可得，，则，然后求出即可． 【解析】（1）解：由题意得，，，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为； （2）解：由题意，得， 在和中，，， ∴在和中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：灯杆的高为． 23．（8分）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底处，测得塔杆的顶端的仰角为，在斜坡上的点处测得塔顶的仰角为．经测量，斜坡的坡度为．图中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆的高度．（结果精确到、参考数据：，，） 【答案】答：该风力发电机塔杆的高度为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，进行求解，即可．过点作于点，于点，设，，根据勾股定理，求出，根据矩形的判定，则四边形为矩形，设，则，，根据，求出． 【解析】过点作于点，于点， 由题意得：，，，， 在中，设，， 由勾股定理可得：， 解得， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 24．（8分）如图，在中，，，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1）9 （2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由等腰三角形的判定定理得，由得，由勾股定理得，进而即可得解； （2）由勾股定理得出，再由三角函数的定义即可得解． 【解析】（1）解：， ， ，， ， 又，， ， ； （2）解：，，， ， ． 25．（8分）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． （2）476 （3） 【分析】（1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【解析】（1）略 （2）解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． （3）解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 锐角三角函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，．若，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则的正弦值是（ ） A． B． C． D． 5．在中，，已知，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．在中，已知，，，则长为（ ） A．12 B．26 C．24 D．13 7．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 8．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则铜眼形器的长等于（ ） A． B． C． D． 9．在中，，，垂足为，，则（ ） A． B． C． D． 10．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．计算：________． 12．在中，若，，都是锐角，则是________三角形． 13．的值等于________． 14．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 ________ s． 15．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．则这棵大树的高度为________．（结果取整数，参考数据：，，，） 16．如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为________米．（参考数据：，） 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， （1）根据测量数据，求步道的长度； （2）为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 18．（8分）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．    （1）求的长； （2）求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：） 19．（8分）如图①所示的健身器被为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后，然后再慢慢回收，图②为其示意图．已知在初始位置，，点在同一直线上，，，．当、在初始位置时，求点到的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 20．（8分）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 21．（8分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） （1）填空：________； （2）求斜坡上点D到的距离； （3）求大树的高度（结果精确到米）． 22．（8分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为直接写出灯杆的高度________米（用含、、的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图2所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，沿方向直行，测得2米的木杆，其影长，求灯杆的高为多少米？ 23．（8分）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底处，测得塔杆的顶端的仰角为，在斜坡上的点处测得塔顶的仰角为．经测量，斜坡的坡度为．图中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆的高度．（结果精确到、参考数据：，，） 24．（8分）如图，在中，，，，，． （1）求的长． （2）求的值． 25．（8分）“裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 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