专题08 解直角三角形十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题08 解直角三角形 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解直角三角形求边长 题型二、解直角三角形求面积 题型三、解非直角三角形 题型四、解决实际问题—仰角、俯角问题 题型五、解决实际问题—方向角问题 题型六、解决实际问题—坡度、坡比问题 题型七、三角函数中的最值问题 题型八、无刻度尺作图 题型九、三角函数中的新定义 题型十、胡不归 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 核心知识点 常见易错点 解直角三角形求边长 在直角三角形中，已知除直角外的2个元素（至少含1条边），利用勾股定理、两锐角互余、三角函数定义（正弦、余弦、正切）求未知边长。 1. 混淆锐角三角函数的定义（如对边、邻边对应关系搞错）； 2. 忽略“至少已知1条边”的前提，仅用角度无法求边长； 3. 勾股定理应用时未明确斜边与直角边。 解直角三角形求面积 直角三角形面积=1/2×直角边×直角边，或通过三角函数求出直角边后代入计算，也可结合斜边与斜边上的高求解。 1. 求面积时未先求出所需边长，直接盲目套用公式； 2. 混淆直角边与斜边，错误用斜边代替直角边计算面积； 3. 忽略三角形面积公式中“1/2”的系数。 解非直角三角形 通过作高将非直角三角形转化为两个直角三角形，利用三角函数和勾股定理求解未知边或角。 1. 作高时未考虑高在三角形内部或外部（钝角三角形的高可能在外部）； 2. 转化后未明确两个直角三角形的公共边，导致计算逻辑混乱； 3. 角度拆分时计算错误（如两锐角与高形成的角的关系）。 解决实际问题—仰角、俯角问题 仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角，俯角是视线在水平线下方与水平线的夹角，通过构造直角三角形，利用三角函数求解高度、距离等实际量。 1. 混淆仰角与俯角的概念，导致三角函数的对边、邻边对应错误； 2. 忽略观测点的高度（如人自身身高、仪器高度），未将其纳入边长计算； 3. 构造直角三角形时，水平线的确定错误。 解决实际问题—方向角问题 方向角一般以正南或正北为基准，描述目标方向（如北偏东30°），通过构造直角三角形，结合三角函数求解距离、位置等问题。 1. 方向角的基准理解错误（如将“北偏东”误作“东偏北”）； 2. 多个方向角组合时，角度的和差计算错误； 3. 未画出示意图，导致位置关系混乱。 解决实际问题—坡度、坡比问题 坡度（坡比）是坡面的垂直高度h与水平宽度l的比，即i=h/l=tanα（α为坡角），利用该关系求解高度、宽度或坡角。 1. 混淆坡度与坡角的概念，误将坡度当作角度； 2. 计算坡度时，垂直高度与水平宽度的对应关系搞错； 3. 忽略坡度的比值形式（需化简为最简整数比）。 三角函数中的最值问题 结合锐角三角函数的取值范围（0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0），或通过几何图形中的边长关系，求三角函数的最大值、最小值。 1. 忽略锐角三角函数的取值范围，导致最值判断错误； 2. 未结合几何图形的边长限制，盲目推导最值； 3. 对“斜边最长”等几何性质应用不熟练，影响最值分析。 无刻度尺作图 利用直角三角形的性质（如三角函数关系、勾股定理），结合网格或已知线段，用无刻度尺作指定长度的线段、特定角度的角等。 1. 不熟悉网格中直角三角形边长的计算（如勾股数的应用）； 2. 作图时未利用三角函数的角度对应关系，导致图形偏差； 3. 忽略无刻度尺的限制，误用刻度尺的刻度功能。 三角函数中的新定义 题目给出新的三角函数相关定义（如“正割”“余切”的拓展定义），需结合原有锐角三角函数知识，理解新定义并进行计算或推理。 1. 未准确理解新定义的表达式，盲目套用旧知识； 2. 新定义与原有三角函数的关系转换错误； 3. 计算时忽略新定义中的取值限制条件。 胡不归 通过构造含特定锐角（如30°、45°）的直角三角形，将“PA+k·PB”型最值问题转化为“垂线段最短”问题，利用三角函数简化计算。 1. 未掌握胡不归问题的构造方法（如如何用三角函数表示k·PB）； 2. 转化后未结合“垂线段最短”原理，导致最值求解错误； 3. 对特定锐角的三角函数值记忆不牢，影响构造直角三角形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解直角三角形求边长 典例1如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-1如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图在中，，，，则的值为______． 变式1-3如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 类型二、解直角三角形求面积 典例2 如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 变式2-1如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 变式2-2如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 变式2-3如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______． 题型三、解非直角三角形 典例3 如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 变式3-1如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 变式3-2如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 变式3-3如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ____________________． 题型四、解决实际问题—仰角、俯角问题 典例4 如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 变式4-1图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 变式4-2如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 变式4-31947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 题型五、解决实际问题—方向角问题 典例5 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 变式5-1如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 变式5-2如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 变式5-3重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 题型六、解决实际问题—坡度、坡比问题 典例6 如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 变式6-1如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 变式6-2一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 变式6-3如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 题型七、三角函数中的最值问题 典例7 如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式7-1如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 变式7-2如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 变式7-3根据题意，完成以下问题 (1)【问题提出】如图1，已知，若，，则的长度为____________． (2)【问题探究】如图2，在矩形中，，，点 为边的中点，线段在上滑动且，求四边形周长的最小值． (3)【问题解决】如图3，四边形为某物流公司内部一规划区域平面图，其中，米，米，，．已知是半径为10米的专用卸货区，卸货车辆需在卸货区边缘任意点位处卸货．点为货物中转枢纽，且点到点的距离是卸货点 到点距离的一半，即．物流公司计划在道路上修建安检区域且米，在道路上修建物资分拨点，满足．当货物从中转枢纽沿运输到安检区域，经过安检后再沿运输到物资分拨点时，运输货物的通道是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 题型八、无刻度尺作图 典例8 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使． (3)在图③中的边上确定一点F，连接，使． 变式8-1以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． 变式8-2如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图1中，作的高；再在上作点，使； (2)在图2中，点是格点，交于点，先将点绕点旋转，画对应点；再画射线交于点，使． 变式8-3如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，、、三点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下个问题．（每个问题的画线不得超过条） (1)在图中，画射线平分的面积； (2)在图中，在上画点，使得； (3)在图中，点是与横网格线的交点，作交于点，画出点； (4)在图中，在上找一点，使∽． 题型九、三角函数中的新定义 典例9 请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形．   求证：． 证明：如图2，设交于点， ……    任务： (1)①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． (2)尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 变式9-1定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． (1)如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； (2)如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； (3)如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 变式9-2定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)已知，折中线的长为，求的长； (2)如图，若，求折中线的长（用含a的式子表示）； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 变式9-3综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”． 特例感知：已知，D为边上一点，将沿折叠，使得点A恰好落在边上（不含点C），此时折痕称为“落边折痕”． (1)如图①，若是直角三角形，其中，若点D为边上一点，将沿着折叠后，点A恰好落在边上的点E处，求“落边折痕”的长； (2)如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比； (3)如图③，若是等腰三角形，其中，请求出其“落边折痕”的长度． 题型十、胡不归 典例10 在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C．已知．． (1)求此抛物线的解析式； (2)若M为线段上一点，过点M作轴，交抛物线于点D．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，直接写出的最小值． 变式10-1如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 (1)求证：是等腰三角形； 【综合探究】 (2)当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 (3)如图②，连接，，请直接写出的最小值． 变式10-2如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，．点为上一点，连接，是否有最小值？若有，写出求这个最小值的过程；若没有，说明理由． 变式10-3如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点在线段上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 7．在中，，，，则的长为________． 8．如图，在中，，，，则的度数为________． 9．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，，则________． 10．在正方形中，以为直径作半圆，圆心为，交于，延长交于，则____________________． 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹， (1)在图中作出的重心； (2)在图中作出边上的点，使得； (3)在图中作出边上的点，使得． 12．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点．动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点D匀速运动．连接并延长交边于点M，连接并延长交折线于点N，连接、、、，得到四边形．设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为________，的长为________；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出x的值． 13．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 14．综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； 15．新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解： ①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索： 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用： 如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解直角三角形 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解直角三角形求边长 题型二、解直角三角形求面积 题型三、解非直角三角形 题型四、解决实际问题—仰角、俯角问题 题型五、解决实际问题—方向角问题 题型六、解决实际问题—坡度、坡比问题 题型七、三角函数中的最值问题 题型八、无刻度尺作图 题型九、三角函数中的新定义 题型十、胡不归 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 核心知识点 常见易错点 解直角三角形求边长 在直角三角形中，已知除直角外的2个元素（至少含1条边），利用勾股定理、两锐角互余、三角函数定义（正弦、余弦、正切）求未知边长。 1. 混淆锐角三角函数的定义（如对边、邻边对应关系搞错）； 2. 忽略“至少已知1条边”的前提，仅用角度无法求边长； 3. 勾股定理应用时未明确斜边与直角边。 解直角三角形求面积 直角三角形面积=1/2×直角边×直角边，或通过三角函数求出直角边后代入计算，也可结合斜边与斜边上的高求解。 1. 求面积时未先求出所需边长，直接盲目套用公式； 2. 混淆直角边与斜边，错误用斜边代替直角边计算面积； 3. 忽略三角形面积公式中“1/2”的系数。 解非直角三角形 通过作高将非直角三角形转化为两个直角三角形，利用三角函数和勾股定理求解未知边或角。 1. 作高时未考虑高在三角形内部或外部（钝角三角形的高可能在外部）； 2. 转化后未明确两个直角三角形的公共边，导致计算逻辑混乱； 3. 角度拆分时计算错误（如两锐角与高形成的角的关系）。 解决实际问题—仰角、俯角问题 仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角，俯角是视线在水平线下方与水平线的夹角，通过构造直角三角形，利用三角函数求解高度、距离等实际量。 1. 混淆仰角与俯角的概念，导致三角函数的对边、邻边对应错误； 2. 忽略观测点的高度（如人自身身高、仪器高度），未将其纳入边长计算； 3. 构造直角三角形时，水平线的确定错误。 解决实际问题—方向角问题 方向角一般以正南或正北为基准，描述目标方向（如北偏东30°），通过构造直角三角形，结合三角函数求解距离、位置等问题。 1. 方向角的基准理解错误（如将“北偏东”误作“东偏北”）； 2. 多个方向角组合时，角度的和差计算错误； 3. 未画出示意图，导致位置关系混乱。 解决实际问题—坡度、坡比问题 坡度（坡比）是坡面的垂直高度h与水平宽度l的比，即i=h/l=tanα（α为坡角），利用该关系求解高度、宽度或坡角。 1. 混淆坡度与坡角的概念，误将坡度当作角度； 2. 计算坡度时，垂直高度与水平宽度的对应关系搞错； 3. 忽略坡度的比值形式（需化简为最简整数比）。 三角函数中的最值问题 结合锐角三角函数的取值范围（0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0），或通过几何图形中的边长关系，求三角函数的最大值、最小值。 1. 忽略锐角三角函数的取值范围，导致最值判断错误； 2. 未结合几何图形的边长限制，盲目推导最值； 3. 对“斜边最长”等几何性质应用不熟练，影响最值分析。 无刻度尺作图 利用直角三角形的性质（如三角函数关系、勾股定理），结合网格或已知线段，用无刻度尺作指定长度的线段、特定角度的角等。 1. 不熟悉网格中直角三角形边长的计算（如勾股数的应用）； 2. 作图时未利用三角函数的角度对应关系，导致图形偏差； 3. 忽略无刻度尺的限制，误用刻度尺的刻度功能。 三角函数中的新定义 题目给出新的三角函数相关定义（如“正割”“余切”的拓展定义），需结合原有锐角三角函数知识，理解新定义并进行计算或推理。 1. 未准确理解新定义的表达式，盲目套用旧知识； 2. 新定义与原有三角函数的关系转换错误； 3. 计算时忽略新定义中的取值限制条件。 胡不归 通过构造含特定锐角（如30°、45°）的直角三角形，将“PA+k·PB”型最值问题转化为“垂线段最短”问题，利用三角函数简化计算。 1. 未掌握胡不归问题的构造方法（如如何用三角函数表示k·PB）； 2. 转化后未结合“垂线段最短”原理，导致最值求解错误； 3. 对特定锐角的三角函数值记忆不牢，影响构造直角三角形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解直角三角形求边长 典例1如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形性质和垂直平分线性质证明四边形是菱形，利用三角函数求出的长，进而得出的长，结合选项判断可能是求或的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，是的中点， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 变式1-1如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 变式1-2如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 变式1-3如图，点，在矩形内，．若，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵ ∴在中，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴． 类型二、解直角三角形求面积 典例2 如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径，， ， ． 平分， ． ， ， ． 在中，． 的半径为． 在中， ， ． ． ， ，， ， ． 变式2-1如图，菱形和菱形的边长分别为4和6，、、三点在同一条直线上，且，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后求出，根据菱形邻角互补求出，再求出点到的距离以及点到的距离；然后根据阴影部分的面积，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图，设交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵菱形和菱形的边长分别为4和6， ∴， 解得， 则， ∵四边形和四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， =． 变式2-2如图，在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是___________． 【答案】24 【分析】解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵在中，对角线，相交于点， ∴， ∴． 变式2-3如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，．由四边形是菱形，结合已知条件可以推出菱形的高为，即为梯形的高，由于已知上底，所以要想求得梯形的面积，只需求出下底的长．根据和关于对称，可以得到，，，，通过证明得到，设，结合已知角度的三角函数关系，可以用含的代数式分别表示出的长度，进一步根据对称性，推出，则，在中，利用解出的值，即可得到的长，最后将和高的值代入梯形面积公式，求出梯形的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，． 四边形是菱形，， ，，， 菱形的高，与梯形的高相等． 和关于对称， ，，，，， 设，则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，， ， 又即，， 四边形是矩形． 为菱形的高， ， ， 和关于对称， ， ， 在中，， 代入，， 解得，即． ． 题型三、解非直角三角形 典例3 如图，在中，是的弦，的半径为2，C为上一点，，则的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得，再构造直角三角形，由垂径定理可得，且是等腰三角形，是直角三角形，可得，用三角函数计算出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：连接、， 过O作于D， ，是所对的圆心角， ． ∵， ∵， ∴，且平分， ， 在中，， ． 变式3-1如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 变式3-2如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式3-3如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ____________________． 【答案】 【分析】先证，，再由旋转的性质及已知条件求出，，然后由，求出，过点作于，过点作于，在中求出，进而求出，，由此可求出，，据此即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， 过点作于，过点作于，如图所示： ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ∵， 又， 在中，，，，， ∴， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四、解决实际问题—仰角、俯角问题 典例4 如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 变式4-1图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 变式4-2如图，小明在楼顶点A处测得对面大楼楼顶点C处的仰角为，楼底点D处的俯角为．若两座楼与相距60米，则大楼的高度为_________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先在中，解直角三角形可得的长，再在中，解直角三角形即可得的长． 【详解】解：由题意得：，，，，，米， ∴，，， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 变式4-31947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 【答案】(1)，36米 (2)米 (3)米 【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可； （2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答． （3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴； 在中，，米， ∴米． （2）解：如图：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴米， 米， ∵，， ∴， ∴米， ∴米． （3）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， 在中，，米， ∴米． ∴米． 题型五、解决实际问题—方向角问题 典例5 如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 变式5-1如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得． 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处， ∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴， ∵处在南偏东方向上，， ∴在的北偏西方向， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴， ∴， ∴． 变式5-2如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向， ． 海里，海里． 在中，，海里． ， ． 即． 解得． （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 变式5-3重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 题型六、解决实际问题—坡度、坡比问题 典例6 如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 变式6-1如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 【答案】B 【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为， ∴， ∴（米）， 即传送带的水平距离为4米． 变式6-2一个水坝的横断面如图（），背水坡的坡比，坡面长米，迎水坡的坡角，则迎水坡坡面CD是________米． 【答案】 【分析】过梯形两个上顶点向下底作高，构造两个直角三角形与中间矩形，利用坡比结合勾股定理求出坝高，矩形对边相等得到，由得到是等腰直角三角形，从而，再由勾股定理即可求出坡面长度． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 背水坡的坡比， ， 在中，米，设,则， ， ， ， ， ， ， 米， ， ， 四边形是矩形， 米， ， ， 米， 在中，米． 变式6-3如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 题型七、三角函数中的最值问题 典例7 如图所示，在四边形中，，，为中点，动点从点出发沿向终点运动，连接，．取中点，连接，则线段的最小值等于（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】过点D作于点E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，然后根据解直角三角形的性质求出，最后根据三角形中位线定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 根据垂线段最短，可知当点P与点E重合时，最小，最小值为的长度， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为． 变式7-1如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式7-2如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为________． 【答案】 【分析】先连接，作于点，连接，利用等边对等角得出，利用垂径定理得出，再利用勾股定理和特殊的三角函数值，得出，，进一步得出，，再根据含角的直角三角形的性质，得出，，最后根据点在以为直径的上，可得当点在的延长线上时，的长最小，即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点，连接， ． 以为圆心，半径为的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点， ，， ． ， ，． 在中，，， ，， ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 当点在的延长线上时，的长最小，此时最小值为． 变式7-3根据题意，完成以下问题 (1)【问题提出】如图1，已知，若，，则的长度为____________． (2)【问题探究】如图2，在矩形中，，，点 为边的中点，线段在上滑动且，求四边形周长的最小值． (3)【问题解决】如图3，四边形为某物流公司内部一规划区域平面图，其中，米，米，，．已知是半径为10米的专用卸货区，卸货车辆需在卸货区边缘任意点位处卸货．点为货物中转枢纽，且点到点的距离是卸货点 到点距离的一半，即．物流公司计划在道路上修建安检区域且米，在道路上修建物资分拨点，满足．当货物从中转枢纽沿运输到安检区域，经过安检后再沿运输到物资分拨点时，运输货物的通道是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例求出的长； （2）利用平移和轴对称确定当、G、D三点共线时，四边形周长最小，最小值为，构造直角三角形，根据勾股定理得出、的长，从而确定周长最小值； （3）通过构造相似三角形确定点F的运动轨迹，再通过平移和轴对称确定，当点F、M、三点共线时，最小，最小值为，构造直角三角形，根据勾股定理得出的长，构造相似三角形确定的长，从而确定的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：将线段沿方向向右平移1个单位长度，使得点E和点重合，连接，再作点关于的对称点点，连接，交于点G，过点作，交的延长线于点H． ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ∵， ∴四边形周长， ∴当四边形周长最小时，也就是最小， ∵平移， ∴，， ∵点和点关于的对称， ∴，，， ∴， ∴根据两点之间线段最短，当、G、D三点共线时，最小，此时的最小值是线段的长，即四边形周长的最小值为， ∵点E沿方向向右平移和点重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得，， ∴四边形周长的最小值为； （3）存在， 解：分别过点A、D作、，取中点O，连接、，将线段沿方向向左平移4米，使得点G和点重合，点N和点M重合，再作点关于的对称点点，交于点H，连接，交于点M，过点作，交的延长线于点K，过点G作． ∵， ∴在中，， ， ∴， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理，，， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，， ， 设，则， 根据勾股定理得，， 即， ∴， 即，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F在以点O为圆心、以长为半径的圆上运动， ∵点G沿方向平移4米得到点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 当点F、M、三点共线时，最小，最小值为， ． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，根据勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、正方形的性质和判定、直角三角形的勾股定理、平移和轴对称确定最短路径、锐角三角函数解直角三角形、圆的定义、两点之间线段最短，解题关键是数形结合和转化思想． 题型八、无刻度尺作图 典例8 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． (2)在图②中的边上确定一点E，连接，使． (3)在图③中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】(1)如图，即为所求；（答案不唯一） (2)如图，即为所求； (3)如图，即为所求； 【分析】（1）取格点D，使即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，即为所求； （3）取格点，连接，交于点，连接，即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由图和勾股定理得：，， ∴． 变式8-1以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，仅利用网格和无刻度的直尺作图，其中点均在格点上． (1)如图1，画出的中点，保留作图痕迹； (2)如图2，请在图2的线段上画点，使，保留作图痕迹； (3)直接写出的正弦值_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，连接对角线，即可画出的中点． （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，，先证明，利用三角形相似即可求得． （3）在（2）的基础之上，取格点，连接，，利用勾股定理可得，进而可得的正弦值． 【详解】（1）略． （2）解：如图，取格点，连接交于点，则点即为所求，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，取格点，连接，， 在中，，， ∴， ∴． 变式8-2如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图1中，作的高；再在上作点，使； (2)在图2中，点是格点，交于点，先将点绕点旋转，画对应点；再画射线交于点，使． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先作的高，根据平行线分线段成比例，结合网格线性质画出满足要求的； （2）根据三角形中位线定理找到点，再作平行线即可． 【详解】（1）. 解：作的高交于点，过点作如图， 如图取点，连接交于点，根据平行线分线段成比例，结合网格线性质，则有， 则，即． （2）解：由点C绕点E旋转得到点，则，如图，作交于点，由，则是的中位线，，如图，作交于点，连接，此时． 变式8-3如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，、、三点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下个问题．（每个问题的画线不得超过条） (1)在图中，画射线平分的面积； (2)在图中，在上画点，使得； (3)在图中，点是与横网格线的交点，作交于点，画出点； (4)在图中，在上找一点，使∽． 【答案】(1) 取，连接与的交点为，则射线即为所求； (2) 取，且满足，连接与的交点为，则，点即为所求； (3) 解：取，点是与横网格线的交点，连接与的交点为，点即为所求； (4) 解：取格点，使得，点是与横网格线的交点，连接并延长与横网格线的交点为，连接与的交点为，点即为所求； 【分析】（1）根据三角形的中线平分三角形面积可知，作中线即可，通过构造全等三角形，得到即可； （2）通过构造等腰直角三角形即可，根据勾股定理逆定理判定即可； （3）通过构造矩形，结合（2）可知，则作即可； （4）要使，已有公共角，则构造即可，相当于构造，，利用正切值将角度问题转换为线段问题实现等量关系的构造，即可得解． 【详解】（1）解：取，连接与的交点为，则射线即为所求； ， ，， ，，， ， ， 是的中线， 射线平分的面积； （2）解：取，且满足，连接与的交点为，则，点即为所求； ，，， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：取，点是与横网格线的交点，连接与的交点为，点即为所求； 观察可知，，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知，， 四边形是矩形， ，即； （4）解：取格点，使得，点是与横网格线的交点，连接并延长与横网格线的交点为，连接与的交点为，点即为所求； ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ，即， ， ． 题型九、三角函数中的新定义 典例9 请认真阅读以下材料，并完成相应任务． 探索正交四边形的性质【定义】如果一个凸四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个凸四边形为正交四边形． 【性质探索】根据定义，探索正交四边形的性质，得到如下结论： 性质1：正交四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半． 性质2：正交四边形对边的平方和相等． 性质2的证明过程（不完整）如下： 已知：如图1，四边形 是正交四边形．   求证：． 证明：如图2，设交于点， ……    任务： (1)①下列图形中一定是正交四边形的是__________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 ②补全材料中性质2的证明过程． (2)尺规作图：如图3，以 为边作正交四边形 ，使得．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图4，在中，弦分别是优弧 和劣弧 上的动点，且四边形是正交四边形．若四边形面积的最大值为，则当四边形的面积最大时，直接写出的长． 【答案】(1)①CD ②四边形 是正交四边形， ， ， ，， ， ， ． (2)如图，正交四边形即为所求； (3)． 【分析】（1）①根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判断即可； ②根据勾股定理即可证明； （2）由作图可得，，若连接，则根据线段垂直平分线的判定可得，； （3）先确定故当四边形的面积最大时，为的直径，然后求出，解直角三角形可得，则，最后根据弧长公式求解． 【详解】（1）解：①∵菱形和正方形的对角线互相垂直， ∴菱形和正方形是正交四边形； ②略 （2）解：先截取，过点作直线的垂线，在直线的垂线上截取，然后分别以为圆心，为半径作弧，两弧在的内侧交于点，连接即可； （3）解：连接． 四边形是正交四边形， ． 四边形面积的最大值为， 的最大值为． 故当四边形的面积最大时，为的直径，如图2， 的半径为． 设交于点，连接． ， ， 长为． 变式9-1定义：四边形 中，，，则称四边形 为半角四边形，边 称为半对边． (1)如图①，若四边形 为半角四边形，且 为半对边，设，用含有α的代数式表示； (2)如图②，等腰 ，，点D为其内部一点，，连接，作的外接圆 ， 的延长线交 于点E，连接，求证：四边形为半角四边形； (3)如图③，在（2）的条件下，延长 交 于点F，连接． ①求证：； ②若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为半角四边形； (3)①证明：如下图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）首先根据“半角四边形”的定义可知，，进而可得，易知，结合，即可获得答案； （2）证明，由全等三角形的性质可得，再证明，，易得，即可证明结论； （3）①连接，首先证明，，进而证明，再证明，进而证明，结合，可得，进一步证明，即可证明结论； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，由（2）可知，，可证明四边形为矩形，易得；证明，结合相似三角形的性质可得，结合题意解得，结合三角函数可得；在取一点，使得，进一步解得，，可得，即可求得，，的值，证明，，结合相似三角形的性质解得，的值，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为半角四边形，且为半对边， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）略 （3）①略； ②延长 交的延长线于点 ，延长交 于点 ，过点作于点，如下图， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴， 在取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴ ． 变式9-2定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)已知，折中线的长为，求的长； (2)如图，若，求折中线的长（用含a的式子表示）； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的折中线的定义，即可求解； （2）连接，先证明是等边三角形，可得，可根据勾股定理及解直角三角形的知识求出和的长，即得答案； （3）由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等，再将4种情况整合成两种求解： 当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F，根据等腰三角形及直角三角形的性质，即可逐步求出和的长，即得答案； 当时，过点D作，交的延长线于点F，先证明四边形是平行四边形，然后证明，可求得，再通过相似三角形的判定与性质，求得的长，即得答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：连接， 四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 所以①当为较短对角线时，只有，成立； ②当为较短对角线时，只有，成立； 两种情况类似，只需讨论一种即可， 下面以①为例，当为较短对角线时： 如图，当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F， 四边形是菱形， ，， 是的中点， ， ，， ，， 四边形是矩形 ， 折中线的长为； 如图，当时，过点D作，交的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 折中线的长为； 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】合理进行分类讨论，可以理清解题的脉络，同时要重视全等三角形和相似三角形的判定与性质在解题中的运用． 变式9-3综合与实践： 定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”． 特例感知：已知，D为边上一点，将沿折叠，使得点A恰好落在边上（不含点C），此时折痕称为“落边折痕”． (1)如图①，若是直角三角形，其中，若点D为边上一点，将沿着折叠后，点A恰好落在边上的点E处，求“落边折痕”的长； (2)如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比； (3)如图③，若是等腰三角形，其中，请求出其“落边折痕”的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质可知，，利用解直角三角形进行解答即可； （2）分别过点D作的垂线，垂足分别为M，N．过点作于点，由等腰三角形的性质可得，解直角三角形可得，证明，得到，即可求解； （3）分四种情况分别画图并进行解答即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可知，， 又∵， ∴； （2）解：如图，分别过点D作的垂线，垂足分别为M，N．过点作于点， 根据折叠的性质可知，， ∴， ∴． ∵在等腰中，， ∴，， ∴， ∴， 即； （3）解：根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）． ∵在等腰中， ， ∴只能是点A向下折叠，则分情况讨论． ①如图，当沿折叠，点A落在边上的点E处时， 由探究2可得， ， ∴ ， 过点D作于点F，过点A作于点G， ∴，G为中点，， ∴， 由勾股定理得， ， ∴ ， ∴， ， ∴= ， ∴ ， ∴在中， ； ②如图，当沿折叠，点A落在边上的点I处时，同①，则； ③如图，当沿折叠，点A落在边上的点Q处时，为的垂直平分线，即， 由①可知， ∴ ， ∴； ④如图，当沿折叠，点A落在边上的点Y处时，为的垂直平分线，则同情况③，则． 综上所述，“落边折痕”的长度为 或 ． 题型十、胡不归 典例10 在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C．已知．． (1)求此抛物线的解析式； (2)若M为线段上一点，过点M作轴，交抛物线于点D．当的面积最大时，求点M的坐标； (3)若P是x轴上的一个动点，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）由待定系数法即可求得直线的解析式，设，，得出的长，列出的表达式，化简成顶点式，即可求解； （3）作，交y轴正半轴于点G，作于点N，与x轴交于点P，当点C，P，N三点共线时，有最小值，即为的长，利用解直角三角形的性质即可求出最终结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， 代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：当时，，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点M为线段上一点，轴，点D在抛物线上， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴二次函数有最大值， 当时，有最大值， ∴． （3）解：如图，作，交y轴正半轴于点G，作于点N，与x轴交于点P， ∴， 当点C，P，N三点共线时，有最小值，即为的长， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 变式10-1如图①，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接．将沿翻折得到，射线交射线于点． 【问题初探】 (1)求证：是等腰三角形； 【综合探究】 (2)当点恰好落在矩形的对称轴上时，求此时线段的长； 【深度思考】 (3)如图②，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）由翻折和矩形的性质，可得，则是等腰三角形； （2）作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，分点在矩形内部、外部两种情况分别求出线段的长； （3）在上取，可证，可得，由两点之间直线最短可得的最小值． 【详解】（1）证明：将沿翻折得到， ． 四边形是矩形， ． ． ． ． 是等腰三角形． （2）解：作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形内部时，如图 四边形是矩形， ，． ，， ． 点恰好落在矩形的对称轴上时， 、E、C在同一条直线上． ， ． ． 将沿翻折得到， ． ． 作矩形的对称轴，当点恰好落在矩形的对称轴上，且在矩形外部时，如图 ，． 四边形是矩形， ，． 将沿翻折得到， ．，． ． ， ． ． ． ． 综上，线段的长或． （3）解：在上取， 四边形是矩形，将沿翻折得到， ． ，， ． ， ． ． ． ，， ． ， 的最小值． 变式10-2如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，．点为上一点，连接，是否有最小值？若有，写出求这个最小值的过程；若没有，说明理由． 【答案】(1)证明：连接，如图： 是的直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 是的切线． (2)解：有最小值．理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，在中，，， ， ， ，过点作于点，则， 延长到点，使， 则， 当点在直线上时，的长最小，即的长最小，最小值为线段的长， 在中，， ， 则有最小值． 【分析】（1）连接，由是的直径得，利用等腰三角形的性质可证是的中位线，则，由平行线的性质可证，从而可证是的切线； （2）易证，利用相似三角形的性质可求出的长，可得的长与，则，，从而可求的长；过点作于点，可得；延长到点，使，则上任意一点到点与点的距离都相等，即总有；由两点之间，线段最短可知当点在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，利用直角三角形中的边角关系求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-3如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点D，点E是y轴上一动点，连接，．记的面积为；的面积为，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，抛物线经过点A，且抛物线的对称轴与x轴交于点G，点N为抛物线上一动点，若 ，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为． (3)的坐标为：或，过程见解析． 【分析】（1）求解，，，进一步求解解析式即可； （2）如图，过作轴交于，设，则，证明，可得，当时，取得最大值，，即当取得最大值时，点P的坐标为，如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于，此时，此时值最小，再进一步求解即可； （3）求解平移后的抛物线为，抛物线的对称轴为直线，，延长交轴于，过作于，求解，可得，在轴上取点，且，延长交新抛物线于，同理取，连接并延长交新的抛物线于，此时符合题意，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即， 设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为： ． （2）解：如图，过作轴交于， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴ ， ∵轴， ∴， ∴， ∵， 当时，取得最大值， ∴， 记的面积为；的面积为， ∴， ∴当取得最大值时，点P的坐标为， 如图，作于，，且为延长线上的点，作交于，交轴于， ∴， ， ∴ ， 此时，此时值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，抛物线经过点A， ∴平移后的抛物线为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 延长交轴于，过作于， ∵，， 同理可得：直线为， ∴， ∴ ， ∴， 而，则， ∴， ∵ ，当 时， ∴ ， ∴， 在轴上取点，且，延长交新抛物线于， ∴， ∴， 同理可得的解析式为：， 令， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 同理取，连接并延长交新的抛物线于， 此时符合题意， 同理可得：的解析式为：， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用解直角三角形的知识，再利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， ， ， ， 弦的长度等于圆半径的倍， ， ， ， ， ， 是弦所对的圆周角， ． 2．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 3．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，或利用面积法求出的值． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 如图，在图中取格点D，连接， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴． 4．如图，在正方形中，点在线段上，连接，过点作于点，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形性质及垂直关系证得，结合已知条件推出，进而得，作垂线构造等腰直角三角形和全等三角形求解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴. 5．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴． 6．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 7．在中，，，，则的长为________． 【答案】或 【分析】根据题意，首先排除不是直角三角形，然后分两种情况：当为锐角时或当为钝角时，过点作，构造直角三角形，利用三角函数定义与勾股定理求出相关线段长度，计算的长即可． 【详解】解：由题意可知，不是直角三角形； 当为锐角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 当为钝角时，过点作，垂足为，如图所示： 在中，，即， 设，则，则由勾股定理得， ，则， 解得或（负值舍去）， ，， 在中，由勾股定理得， ； 综上所述，的长为或． 8．如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】/45度 【详解】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作于D， 在中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 9．如图，在中，，为的一条中线，为上一点，．若，，则________． 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理表示，过点作于点，证明，利用相似比表示，进而表示，根据建立关于的方程，求出，最后利用勾股定理求． 【详解】解：为的一条中线， ， 设，则， ， ， 在中，， 在中，， 过点作于点， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ，整理得：， 解得， 在中，， ． 10．在正方形中，以为直径作半圆，圆心为，交于，延长交于，则____________________． 【答案】 【分析】作于点，设，因为四边形是正方形，以为直径作半圆，圆心为，所以，为的中点，，因为交于，延长交于，所以，由，得，求得，则，所以，可证明，得，则，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，设， 四边形是正方形，以为直径作半圆，圆心为， ，为的中点，， 交于，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹， (1)在图中作出的重心； (2)在图中作出边上的点，使得； (3)在图中作出边上的点，使得． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】取分别为中点，连接交于点，则点即为重心； 取格点，连接，交于点即为所求； 取格点，连接，交网格线于点，再连接，交于点，此时，，，可得，则点即为所求． 【详解】（1）解：画图略， 取分别为中点，连接交于点， ∴为中线， ∴的交点为的重心， ∴点即为所求； （2）解：画图略， 由图可知， ∴， ∴，即， ∴点即为所求； （3）解：画图略， 由图可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 12．如图，在正方形中，，点O是对角线的中点．动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿边向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点D匀速运动．连接并延长交边于点M，连接并延长交折线于点N，连接、、、，得到四边形．设点P的运动时间为，四边形的面积为． (1)的长为________，的长为________；（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出x的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由题意得，则，证明，即可得出结果； （2）分两种情况：当时，点在上，当时，点在上，分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得四边形为平行四边形，故当四边形是轴对称图形时，四边形为菱形或矩形，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，则， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵点是正方形对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，点在上，如图所示， 由（1）可得， ∴， 同理可得， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，，，， ∴ ； 当时，点在上，如图： 则，， ∴， ∴； 综上所述，； （3）解：由（2）可得四边形为平行四边形， 故当四边形是轴对称图形时，四边形为菱形或矩形， 当，四边形是矩形时，如图， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）； 当四边形是菱形时，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当，四边形是矩形时，如图， 此时， ∴， 解得， 当四边形是菱形时，， ∴， 整理得， ∵， ∴方程无解，舍去； 综上所述，当四边形是轴对称图形时，x的值为或． 13．年6月6日是第个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为（参考数据：，，，，结果精确到）． (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合，进一步求解即可； （2）延长交于点M，得到，，求解，在中，，，求出的长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为； （2）解：延长交于点M， 由题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， 故桌面到地面的距离约为． 14．综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证； （3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴；； （2）略 （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴ ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 如图，连接交于点，连接 ∵是，的中点 在中， ∴ ∴共圆， ∴， ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∵， 在中， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 15．新定义：三角形中的两个内角与，若满足，则称该三角形为“差余三角形”，是的差余角． (1)概念理解： ①若是“差余三角形”，是的差余角，，则_________； ②若是“差余三角形”，有个角为，则三边长的比为_________； (2)拓展探索： 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为直线上位于第一象限内的点，若是“差余三角形”，且是的差余角，求的值． (3)灵活运用： 如图2，，点在射线上，且，点在射线上，若是“差余三角形”，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理与新定义计算与； ②容易判断是顶角为的等腰三角形，利用等腰三角形的性质与解直角三角形求出三边比即可； （2）利用一次函数的解析式计算出与，容易证明，则，进而得到，因此； （3）分四类讨论，当是的差余角时，作于点，通过解直角三角形计算出与，进而计算出；当是的差余角时，同理求解即可；当是的差余角时，作交于点，先计算出与，容易证明，则，进而计算出；当是的差余角时，同理求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∴； ②∵， ∴，即为钝角， ∴，， ∵， ∴是顶角为的等腰三角形， 如图，在中，，，，作于点，设， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴； （2）解：将代入，得；将代入，得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解： ①当是的差余角时，如图，作于点， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， 同理，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，； ②当是的差余角时，如图，作于点， 在中，， 由勾股定理可得，， 同理①可知，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴； ③当是的差余角时，如图，作交于点， 在中，， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ④当是的差余角时，如图，作交于点， 由③可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $