专题06 相似多边形的性质与应用十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题06 相似多边形的性质与应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似三角形的性质1—边 题型二、相似三角形的性质2——周长、面积 题型三、相似三角形的应用——小孔成像 题型四、相似三角形的应用——高度问题 题型五、三角形的重心 题型六、相似中的最值问题 题型七、相似中的动点问题 题型八、相似中的无刻度尺作图 题型九、相似中的新定义 题型十、阿氏圆 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 模块 核心知识点 常见易错点 相似三角形的性质1—边 1.核心性质：相似三角形的对应边成比例。 2.关键操作：根据图形（尤其是有公共角、对顶角、平行线的复杂图形）找准对应边是前提。 1.对应边找错：忽略“对应”二字，在复杂图形中误将非对应边列出比例式，导致计算错误。 2.比例混乱：混淆不同三角形的边，未统一对应顺序（如写成 a:b = d:c）。 相似三角形的性质2——周长、面积 1.周长比：相似三角形的周长比等于相似比。 2.面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 1.面积关系记反：将面积比误认为等于相似比，或在开方求相似比时出错（如面积比为 4:9，相似比误算为 4:9）。 2.适用范围错：在“相似多边形”中应用时，未确认“相似”前提，直接套用周长比和面积比的关系。 相似三角形的应用——小孔成像 1.原理：小孔成像是光的直线传播形成的，实物与像构成位似图形。 2.比例关系：物距（物体到小孔的距离）与像距（像到小孔的距离）之比等于实物高度与像高度之比。 1.距离概念混淆：误将物体到光屏的总距离当作物距或像距，导致比例式列错。 2.方向错误：忽略像是倒立的，在计算高度时未考虑符号（虽然长度取绝对值，但方向分析错误会影响理解）。 相似三角形的应用——高度问题 1.测量模型：利用同一时刻物高与影长成正比（平行光线模型）或标杆遮挡构造相似三角形。 2.解题步骤：画出示意图，将实际距离转化为三角形边长，列比例式求解。 1.影长对应错误：未注意“同一时刻”的条件，或在有遮挡物时，混淆物体影长与遮挡物影长的关系。 2.忽略高度差：在标杆测量中，忘记加上观测者的身高或标杆的自身高度，导致最终结果偏小。 三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点。 2.性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为 2:1 的两条线段）。 1.概念混淆：将重心与内心（角平分线交点）、外心（中垂线交点）混淆，错误判断交点性质。 2.比例记错：颠倒 2 倍关系（如认为重心到中点的距离是到顶点的 2 倍）。 相似中的最值问题 1.核心思路：通过相似三角形的比例关系，将线段长度表示为某个变量的函数（通常是二次函数）。 2.求最值：利用二次函数的顶点式或取值范围，求线段和、积或面积的最大值/最小值。 1.函数关系列错：在设未知数时，未找准相似对应边，导致函数表达式推导错误。 2.忽略取值范围：求二次函数最值时，未考虑自变量（如线段长度）的实际取值范围，导致最值在区间外，得出错误结论。 相似中的动点问题 1.动态分析：根据点的运动速度和时间，用含 t 的代数式表示相关线段长度。 2.分类讨论：当动点位置变化导致相似对应关系改变时（如不同的夹角对应不同的顶点），需分情况讨论。 1.漏解：未考虑动点在不同线段上的运动，或相似三角形的对应顶点不唯一，导致只算出一种情况。 2.时间范围错误：未根据动点的总路程确定时间 t 的取值范围，导致列出的方程在实际场景中无解或多解。 相似中的无刻度尺作图 1.依据：利用相似三角形的性质（如平行线分线段成比例）或中位线定理。 2.常见操作：无刻度直尺只能连线或延长，需结合格点或已有图形的顶点构造比例关系。 1.作法不规范：仅用语言描述“画平行线”，而无实际的连线构造步骤，不符合尺规作图逻辑。 2.原理误用：未利用相似或中位线，而是凭感觉作图，导致线段比例不满足要求。 相似中的新定义 1.审题关键：逐字阅读题目给出的新定义（如“相似线”“相似点”），将其转化为熟悉的相似三角形条件。 2.迁移应用：根据定义中的比例关系或角度条件，结合已有相似性质解题。 1.理解偏差：对新定义中的关键词（如“分成两个小三角形且相似”）理解不透彻，导致后续分析全部错误。 2.不会转化：无法将新定义的“陌生条件”（如特定夹角）转化为证明三角形相似的常规条件（AA、SAS）。 阿氏圆 1.定义：平面上两点 A、B，所有满足 PA:PB = k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆（阿波罗尼斯圆）。 2.解题核心：构造母子型相似三角形（通常在圆的半径上取点，使新三角形与原三角形相似），将 PA 转化为 k·PB 或反之，从而求 PA + k·PB 的最小值。 1.构造相似错误：在半径上取点时，未根据 k 的比例关系确定位置（如 k>1 或 k<1 时取点方向相反），导致相似三角形不成立。 2.最值原理混淆：忘记“两点之间线段最短”，在转化后未正确连接对应点，或忽略动点在圆上的限制。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似三角形的性质1—边 典例1如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 变式1-1如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 变式1-2如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 【答案】4 【分析】先根据已知得到，则，，再证明，，得到，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 变式1-3如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： (1)证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； (2)解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】（1）根据邻补角的定义可得，再利用同角的补角相等可得，再结合公共角即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得比例式，再说明，将相关已知条件代入可得，利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ． （2）解：， ， ，，，， ， ， ． 类型二、相似三角形的性质2——周长、面积 典例2 如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解． 【详解】解：两个三角形的相似比为， 面积比为. 变式2-1若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 变式2-2在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 【答案】 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，得到与的比值，再由相似三角形的性质得到与的比值，最后结合同高三角形面积关系得到所求面积比． 【详解】解：如图， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， ∴， ∴，可得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，和的高等于梯形两平行线间的距离，高相等， ∴． 变式2-3如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)与的周长之比为 (2)的面积为 【分析】（1）先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴与的周长比为； （2）解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， ∵的面积是， ∴的面积为． 题型三、相似三角形的应用——小孔成像 典例3 如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，延长，交于点，先得出，，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∵， ∴，， ∴（相似三角形的对应高的比等于相似比）， 由题意得：，，， ∴， 解得． 变式3-1在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两相似三角形高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：如图， 由小孔成像原理可得, ∴，， 即　， ∵到的距离是，到的距离是， ∴，，且，， ∴，即， 解得． 变式3-2中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可知蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵于点，于点， ∴， 即 解得：． 变式3-3如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】(1)，其属于反比例函数 (2) 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【详解】（1）解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． （2）． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 题型四、相似三角形的应用——高度问题 典例4 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 【答案】A 【分析】根据镜面反射原理得出，结合垂直定义证明，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】解：，， ， 由镜面反射，可知， ， ， ，，， ， . 故路灯的高度为. 变式4-1手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出，然后利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 即， 故选：C． 变式4-2一题多解   小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图所示，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间充当标杆， 两人适当调整自己的位置． 当楼的顶部 ，小颖的头部 及小亮的眼睛 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 两处，然后测出两人之间的距离 ，小颖与教学楼之间的距离 （点 在同一条直线上），小颖的身高 ，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 则根据以上测量数据求出教学楼的高度为_____． 【答案】13 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用．解题关键是构造相似三角形，将实际测量的线段长度转化为相似三角形的对应边．过作的平行线交于，交于，由相似三角形的判定定理得出 ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：过作的平行线交于，交于． 由已知可得，，，． 又 ， ． ，即 ， 解得． ． 教学楼的高度为． 变式4-3在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 【答案】 【分析】设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 题型五、三角形的重心 典例5 如图，周林在一块质地均匀的的正方形纸板上画了一个，若裁剪下这个三角形，则它的重心位置在（    ） A．点M处 B．点N处 C．点E处 D．点F处 【答案】D 【详解】解：设小正方形网格边长为1．观察图形， 的中点为点，连接，则的重心在上．取的中点，连接， 点在上，且点也在上． 点为的重心． 变式5-1如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的面积为，边上的高为，由为的重心，则连接并延长交于点，则为的中点，且，证明，则，证明点D到的距离为，得到中边上的高等于点D到的距离，即为，据三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：设的面积为，边上的高为， ∵为的重心， ∴连接并延长交于点，则为的中点，且， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴点D到的距离为， ∵，点在上， ∴中边上的高等于点D到的距离，即为， ∴， ∴． 变式5-2如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 【答案】 【分析】利用重心的性质得出为中点及的比值，结合平行线分线段成比例定理求出、与的数量关系，进而求出与的关系，最后利用相似三角形性质求解． 【详解】解：点是重心，且、、共线， 为中点，， ，， ，， ， 为中点， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ，即， ， ． 变式5-3【教材呈现】下图是华师版数学九年级上册教材78页的部分内容． 根据教材，完成“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”的证明．下面我们来证明上述猜想． (1)【证明】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G．求证：． (2)【延伸】如图1，在中，是重心，若，则线段的长为___________，，的数量关系是___________． 【应用】 (3)如图2，在【延伸】的条件下，若，则的大小为___________． (4)如图3，在【延伸】的条件下，当直线过重心在边上，在边上，且，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)证明：分别是、的中点， 是的中位线． ． ． ， 即； (2)4， (3)3 (4) 【分析】（1）利用三角形中位线，得到平行线，再利用平行线证明三角形相似，利用比例式变形计算即可． （2）利用（1）的结论，计算解答即可． （3）利用（1）的结论，计算解答即可． （4）过点C作，交的延长线于点K，过点C作，交的延长线于点F，利用三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：在中，是重心， 根据（1）得， ， ， ， 解得， ， ． （3）解：在中，是重心， 根据（1）得， ， ， 解得． （4）解：， ， ， ，； 过点C作，交的延长线于点K，过点C作，交的延长线于点F， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得， 故， ，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， 故四边形的面积为． 题型六、相似中的最值问题 典例6 如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 变式6-1如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（  ）． A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用相似得到关于的代数式，再构建面积函数求最小值． 【详解】解：， ，相似比， 设，由相似：，，， 在上：， 在上：，， 综合得， ， ， ， 是开口向下的二次函数，越大，越小， 可取的最大值为，代入： ． 变式6-2如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，交于点O，首先证明，作直线交于点M，交于点N，证明时线段的垂直平分线，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，解答即可． 【详解】解：连接，交于点O， 根据题意，正方形的边长为4，E是对角线上的动点， ， ， ， 以为斜边向右侧作等腰直角， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 作直线交于点M，交于点N， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为， 在中，， ， ． ， ， ， 的最小值为． 变式6-3已知正方形的边长为6． (1)如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且． ①求证：； ②连接，当最大时，求的长． (2)如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值． 【答案】(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； ② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，再利用证明即可；②根据全等的性质得到，进而推出，则点在以为直径的圆上运动；以为直径作，连接、，当与相切时，最大，此时，根据正方形的性质得到，，，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，，最后在中利用勾股定理即可求解； （2）连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、，根据正方形的性质证明，则，得到，再证明，得到，则，通过证明，求出，，再证明四点共圆，得到，利用勾股定理求出，最后利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：①略； ②由①得，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动； 如图1，以为直径作，连接、， 当与相切时，最大，此时， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，延长交于点，过点作交于点，以为直径作，连接、， 则， ∴点在上， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴点在的外接圆上，即点在上， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴的最小值为． 题型七、相似中的动点问题 典例7 如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 变式7-1如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． 变式7-2如图，在中，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连接．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒），当点F到直线的距离为1时，则t的值为________． 【答案】或 【分析】先证明，求出，，过点作于点，然后证明，则，，分两种情况：①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点，由，求出，再由，解得：；当点在外部时，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，同上可求即可． 【详解】解：∵动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止，运动的时间为秒，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 过点作于点，如图， ∴， ∵，点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 当点F到直线的距离为1时，分两种情况： ①当点在内部时，如图，过点作于点，交于点， ∵，点到直线的距离为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在外部时，如图，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点， ∵，点到直线的距离为，即， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：； 综上所述，当到直线的距离为时，的值为秒或秒． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．根据题意，画出图形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式7-3如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②t的值为或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）分两种情形：当时，当时，分别求解． （3）①证明，由此构建方程，可得结论． ②分两种情形：当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．当时，过点Q作于H．然后根据相似三角形的性质与判定可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 由题意可分：当点在上时，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在外时，则， 同理可得：， ∴； 综上所述：． （3）解：①当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 解得． ②如图，当时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）及对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，过点Q作于H． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，t的值为或． 题型八、相似中的无刻度尺作图 典例8 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得 (3)在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； 【答案】(1)解：如下图，点D即为所求； (2)解：如下图，点M即为所求． (3)解：如下图，点D即为所求； 【分析】（1）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形；连接，交于点，结合平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”，可知，即可获得答案； （2）取格点F，在线段上取点G，使得，且，连接交于点，易得，故有． （3）取格点E，使得，且，得到是等腰直角三角形，且，连接与的交点即为点D． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图 理由如下：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 即． 变式8-1如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，取的中点，连接即可； （2）取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； （3）取格点，，使且，连接交于点，连接，则点即为所求． 【详解】（1）解：取BC的中点D，连接AD，则AD即为所求． 如图①所示：略 （2）解：取格点，使且，延长交于点，则点即为所求； 如图②所示：略 （3）解：取格点，，使且，连接交于点，连接， 如图③，略 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则点即为所求． 变式8-2如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 变式8-3如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留作图痕迹（不要求写画法）： (1)将绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出；点在旋转过程中经过的路径长为　　　； (2)将（1）中线段扫过的图形围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面半径为　　　； (3)在内画一点，使得． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意即可作图，然后由勾股定理求解旋转的半径，再由弧长公式求解即可； （2）设圆锥的底面半径为，由弧长即为底面圆的周长建立方程求解即可； （3）取与格线的交点，连接，取格点，连接，则与的交点即为点．由网格特征结合全等三角形的性质可得为中点，则，故，可得，则，故，那么． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由勾股定理可得，， ∴点在旋转过程中经过的路径长为：； （2）解：设圆锥的底面半径为 由题意得， 解得； （3）解：如图，点即为所求． 题型九、相似中的新定义 典例9 【定义】将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，则称由点A，B，C，D围成的四边形为“旋补四边形”，其中为旋补角． 【概念理解】 (1)如图1，在旋补四边形中，，，试说明对边与满足位置关系； 【拓展应用】 已知四边形为旋补四边形，旋补角，把沿折叠到，与交于点F． (2)如图2，若，，求线段的长； (3)若于点G，画出示意图并求出的值． 【答案】(1)， 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3)， 【分析】（1）根据题中定义并利用等腰三角形的性质，平行线的判定即可证得结论； （2）根据题中定义并利用等腰三角形的性质，折叠的性质结合相似三角形的判定与性质，设，列出方程求解x的值，从而得解； （3）先根据题意画出示意图，再根据题中定义，利用等腰三角形的性质，折叠的性质及相似三角形的判定与性质即可求得最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为旋补四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵把沿折叠到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为． （3）解：当时，如图，在上截取，连接， 由折叠性质得，， ∵， ∴， 由（2）可知，，， ∴，解得：， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（舍去负值），即， ∴． 变式9-1我们学习了一些特殊的四边形，如：长方形、菱形、正方形等；它们都有一般的四边形没有的性质．我们再来探讨一种特殊的四边形：垂美四边形．定义：一组对边平行，另一组对边相等且互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)操作画图： 请你在平面直角坐标系中，画一个垂美四边形，（A、B、C、D的横纵坐标均为整数）； (2)性质探究：请你写出一个垂美四边形的特殊性质：__________________________________； (3)拓展应用：如图，四边形是垂美四边形，其中，，且，，点E、F分别是、的中点，． ①若，请你计算的值； ②连接，则．这个结论____________________（填正确或错误）． 【答案】(1)如图，四边形即为所求． (2)垂美四边形是等腰梯形，两腰相等且互相垂直 (3)①20；②错误 【分析】（1）由点，，，可得，，，则，过点作于点，过点作于点，延长，交于点，由图可知，，，则，，则，则四边形是垂美四边形； （2）根据图形特点即可写出； （3）①连接，由条件可得四边形、是平行四边形，则，，，，由，，可得，，，在中，可得，则，由F是的中点，可得，则在中，可得，再证明，即可求解； ②过点作于点，由①可得，，，，设，则，，则由①可知，，再假设，则，可得，再分别计算，，可得，则假设不成立，即可判断结论是错误的． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形、是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图，过点作于点， 由①可知，，，，， 设，则，， ∴， 由①可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴假设不成立，即与不垂直， ∴结论是错误的． 变式9-2定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是奇异四边形，对角线与交于点，是奇异对角线，是奇异边． ①与的形状是__________三角形． ②若，则__________． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，． ①当时，请说明四边形是奇异四边形； ②是否存在值，使得四边形是奇异四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，四边形与四边形都是奇异四边形，其中与分别是奇异对角线，与分别是奇异边，，求的值． 【答案】(1)①等腰；②8 (2)①∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ， ∴四边形是奇异四边形； ②存在，的值为或时，四边形是奇异四边形， 理由如下： 分以下两种情况： 当时，四边形是奇异四边形， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， ； 当时，四边形是奇异四边形， ，， ， ， 解得：（负值舍去）， ； 的值为或时，四边形是奇异四边形； (3) 【分析】（1）①根据奇异四边形定义可得，进而可以解决问题； ②根据奇异四边形定义可得，进而可以解决问题； （2）①由平行四边形的性质得出，证出四边形是平行四边形，求出，即可得出四边形是奇异四边形； ②当时，四边形是奇异四边形，此时，然后根据勾股定理求出k的值；当时，四边形是奇异四边形，此时，由勾股定理即可求出k的值； （3）由奇异四边形的定义得出，得出，同理，得出，证出，，得出，由，得出，得出，作于M，设，则，由勾股定理得：，，由得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是奇异四边形，是奇异对角线，是奇异边， ∴四边形是平行四边形，， ， 与的形状是等腰三角形； ②， ； （2）解： ①略 ②略 （3）解：∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边， ， ， ∵四边形是奇异四边形，为奇异对角线，为奇异边， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴相似比为1， ， ， 作于，如图3所示： ， ， 设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 变式9-3【定义】：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． 【初步感知】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，若是直角三角形，，即是矩形的半隅三角形．若，求的长． （小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．） 【深入探究】 (2)如图2，是的半隅三角形，，对角线交于点．若，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，，以为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为，求的值． 【答案】(1)的长为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）设，利用矩形的性质，直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）延长，，分别交的延长线于点M，的延长线于点N，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质得到，，则，，同理：，；利用平行线分线段成比例定理得到，，利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①如图3，过点C作于点G，过点B作，交的延长线于点H，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得到，设，，则，，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用线段的中点的意义得到，则，利用线段的中点的意义和勾股定理得到用y的代数式表示的a，b值，代入化简运算即可得出结论；②如图4，过点C作于点G，过点B作，交的延长线于点H，类比①的解法解答即可． 【详解】（1）解：设， 四边形为矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， 是矩形的半隅三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的长为； （2）解：延长，，分别交的延长线于点，的延长线于点，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， ， 是的半隅三角形，， ，， 在和中， ， ，， ， ， 同理：，． ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：①如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 是的半隅三角形，， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ． ②如图4，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 是的半隅三角形，， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ． 综上，的值为或． 题型十、阿氏圆 典例10 在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； (2)解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 变式10-1如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标． (2)求的最大值． (3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积： ①求S的取值范围． ②求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)①，② 【分析】(1)令得， ，令得， ，解方程即可得三点的坐标； (2)如图，作交于点M，利用相似三角形的性质和二次函数的最值即可得解； (3)①先求出中边上的高，再利用点圆位置关系即可得出到边上的最大距离和最小距离，进而即可得解，②在上截取，连接，，构造出相似三角形，利用其性质得出，，再利用“两点之间线段最短”即可得解． 【详解】（1）解：令得， ， 解方程得，，， ，， 令得， ， ； （2）解：如图，作交于点M， ， ， 设的解析式为， 解得， ， 最大值为； （3）①利用直角三角形的面积公式得中边上的高， 圆O过点A，P是圆O上一动点， 圆O的半径为1，到边上的最大距离为，到边上的最小距离为， 的最大值，的最小值， ； ②在上截取，连接，， ，， ∴， ， ， ， 当C，P，M三点共线时，最小， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求一次函数解析式，点圆位置关系，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 变式10-2如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；或 (3)最小值为 【分析】（1）由，，求得点坐标为，代入，解方程组即可求解； （2）①连接，作交于点，作轴于点，证明，得，，进而可得，设直线为，代入，求得，联立得，解之得答案；②过点作直线，由，得出点是直线与抛物线的交点，设直线的解析式为，将，代入得直线的解析式为，进而得直线的解析式为，联立方程，解之得解； （3）取，连接，，由，，，，可证明，得，即，由，，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：，， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得，； （2）解：①如图，，连接，作交于点，作轴于点， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 时，， ，，     ，，， ， 设直线为， 代入，得，， 解得， ， 联立，， 得， 解得或（舍去）， ； ②过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或； （3）解：如图，取，连接，， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题主要涉及二次函数的性质，直线方程的求解，相似三角形的性质、判定以及最值问题的求解．通过代入已知点求解参数，利用几何关系求解点的坐标以及通过相似三角形的性质求解最值是正确解答此题的关键． 变式10-3问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．    【答案】（1）6，2； （2）当的长为1时，，理由如下： ，，， ，， ， ， 又， ∴， ， ； （3）5 【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识． （1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，点在线段上时，即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质到了即可得到结论； （3）如图，在上取一点，使得．由，推出，推出，推出，由，当、、共线时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，的最大值是， 当，，三点共线，且点在线段上时，的最小值是， 故答案为：6，2； （2）略 （3）如图，在上取一点，使得，连接，，，   、正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ，， ，， ∴， ， ， ， ， 当、、共线时，的值最小， 最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，．若，，则的长度为（     ） A．3 B．3.6 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明，利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 2．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形性质得出及边长比例，结合直角三角形性质证得为中点，构造平行线利用相似比求解． 【详解】解：， ，， ，在上， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 过点作交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ，即， ． 3．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，边长为的正方形中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，满足，连接，交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，延长到M，使得，连接，根据三角形全等，三角形相似，勾股定理，解方程，解答即可． 【详解】解：连接，延长到M，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 根据勾股定理，得， ∴ 解得， ∴，， 延长交的延长线于点N, ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴． 5．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角相等与对顶角证相似；通过四点共圆导角证明等腰直角三角形；用旋转法证明半角模型核心等式；设边长用勾股定理代数求解；用对称性与特殊角三角函数计算比值． 【详解】四边形是正方形， ． ，， ， ∴， 又， ，故正确 ， ， 是等腰直角三角形，故正确； 如图所示， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，． ． ， 、、三点共线， 在和中， ， ，故正确． 设正方形的边长为,则,， ， ， ， ， ， ，故正确． 在和中， ， ， ， ， ， 假设正方形边长为，设,则, 如图，连接，交于， ，， 是的垂直平分线， ，， 中，, 中，， ， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 【点睛】本题是正方形半角模型综合题，综合考查旋转全等、四点共圆、相似三角形、勾股定理与三角函数．正方形内夹角（半角模型），优先用旋转构造全等，得到；出现两个角共底边，联想四点共圆快速导角；几何多选题要逐条严格推导，注意看清分式的分子分母；涉及线段比值时，设正方形边长为简化计算． 6．如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点，．过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为___________． 【答案】 【分析】设点的纵坐标为，根据平行于轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点和点的坐标，进而得到点的坐标及线段、、的长度. 利用平行线性质证明，根据相似三角形对应边成比例求出与的关系，结合即可求解． 【详解】解：∵点在轴正半轴上， ∴设点的坐标为，其中， ∵直线平行于轴， ∴点和点的纵坐标均为， ∵点、分别在函数和的图象上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴点的坐标为， ，，， ∵轴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 8．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 【答案】4 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴. 9．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】结合平行四边形的性质和相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点H，根据折叠性质可得，垂直平分，从而、、三点共线且；延长交于，通过证明，建立与的数量关系，进而表示出，利用二次函数性质求解最大值． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点H， 由折叠的性质可得 ，垂直平分， ∵， ∴、、三点共线，且， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ； 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴、、三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 11．如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， · ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； (2) 【分析】（1）证明垂直平分，即可得到结论； （2）求出，证明，则，代入数据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵以为直径的分别与、交于点、， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， 解得 12．在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： 则即为所求； (2)解：根据题意，画图如下： 则点F，点即为所求． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可； （2）根据三角形相似的判定，解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 13．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）结合点和点的运动速度求解即可； （3）利用列式求解即可； （4）利用列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴． （2）解：动点的速度为每秒，运动时间为秒，因此； 动点从出发速度为每秒，秒后， 结合，得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． （4）解：∵在和中，，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得． 14．西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 【答案】城墙的高度为米． 【分析】延长交于点，得到矩形，则，，证明，所以，代入可得，设米，则米，米，（米），（米），根据镜面反射的等角性质，证得，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵直角边与水平地面平行， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， ∴米，（米）， ∴（米）， 由题意得， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（米）， 答：城墙的高度为米． 15．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）根据菱形的性质，得到，结合，推出，设，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，折叠的性质得到，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果； （3）设，则，进而得到，证明，得到，设，，得到，根据角平分线的性质以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，过点作，交的延长线于点，根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而得到，在中，利用勾股定理求出，进而得到，即可得到的长，进一步求出最终结果即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴平分， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， 则， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∴， 整理，得， ∴（舍）或， ∴， ∴， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似多边形的性质与应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似三角形的性质1—边 题型二、相似三角形的性质2——周长、面积 题型三、相似三角形的应用——小孔成像 题型四、相似三角形的应用——高度问题 题型五、三角形的重心 题型六、相似中的最值问题 题型七、相似中的动点问题 题型八、相似中的无刻度尺作图 题型九、相似中的新定义 题型十、阿氏圆 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 模块 核心知识点 常见易错点 相似三角形的性质1—边 1.核心性质：相似三角形的对应边成比例。 2.关键操作：根据图形（尤其是有公共角、对顶角、平行线的复杂图形）找准对应边是前提。 1.对应边找错：忽略“对应”二字，在复杂图形中误将非对应边列出比例式，导致计算错误。 2.比例混乱：混淆不同三角形的边，未统一对应顺序（如写成 a:b = d:c）。 相似三角形的性质2——周长、面积 1.周长比：相似三角形的周长比等于相似比。 2.面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 1.面积关系记反：将面积比误认为等于相似比，或在开方求相似比时出错（如面积比为 4:9，相似比误算为 4:9）。 2.适用范围错：在“相似多边形”中应用时，未确认“相似”前提，直接套用周长比和面积比的关系。 相似三角形的应用——小孔成像 1.原理：小孔成像是光的直线传播形成的，实物与像构成位似图形。 2.比例关系：物距（物体到小孔的距离）与像距（像到小孔的距离）之比等于实物高度与像高度之比。 1.距离概念混淆：误将物体到光屏的总距离当作物距或像距，导致比例式列错。 2.方向错误：忽略像是倒立的，在计算高度时未考虑符号（虽然长度取绝对值，但方向分析错误会影响理解）。 相似三角形的应用——高度问题 1.测量模型：利用同一时刻物高与影长成正比（平行光线模型）或标杆遮挡构造相似三角形。 2.解题步骤：画出示意图，将实际距离转化为三角形边长，列比例式求解。 1.影长对应错误：未注意“同一时刻”的条件，或在有遮挡物时，混淆物体影长与遮挡物影长的关系。 2.忽略高度差：在标杆测量中，忘记加上观测者的身高或标杆的自身高度，导致最终结果偏小。 三角形的重心 1.定义：三角形三条中线的交点。 2.性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为 2:1 的两条线段）。 1.概念混淆：将重心与内心（角平分线交点）、外心（中垂线交点）混淆，错误判断交点性质。 2.比例记错：颠倒 2 倍关系（如认为重心到中点的距离是到顶点的 2 倍）。 相似中的最值问题 1.核心思路：通过相似三角形的比例关系，将线段长度表示为某个变量的函数（通常是二次函数）。 2.求最值：利用二次函数的顶点式或取值范围，求线段和、积或面积的最大值/最小值。 1.函数关系列错：在设未知数时，未找准相似对应边，导致函数表达式推导错误。 2.忽略取值范围：求二次函数最值时，未考虑自变量（如线段长度）的实际取值范围，导致最值在区间外，得出错误结论。 相似中的动点问题 1.动态分析：根据点的运动速度和时间，用含 t 的代数式表示相关线段长度。 2.分类讨论：当动点位置变化导致相似对应关系改变时（如不同的夹角对应不同的顶点），需分情况讨论。 1.漏解：未考虑动点在不同线段上的运动，或相似三角形的对应顶点不唯一，导致只算出一种情况。 2.时间范围错误：未根据动点的总路程确定时间 t 的取值范围，导致列出的方程在实际场景中无解或多解。 相似中的无刻度尺作图 1.依据：利用相似三角形的性质（如平行线分线段成比例）或中位线定理。 2.常见操作：无刻度直尺只能连线或延长，需结合格点或已有图形的顶点构造比例关系。 1.作法不规范：仅用语言描述“画平行线”，而无实际的连线构造步骤，不符合尺规作图逻辑。 2.原理误用：未利用相似或中位线，而是凭感觉作图，导致线段比例不满足要求。 相似中的新定义 1.审题关键：逐字阅读题目给出的新定义（如“相似线”“相似点”），将其转化为熟悉的相似三角形条件。 2.迁移应用：根据定义中的比例关系或角度条件，结合已有相似性质解题。 1.理解偏差：对新定义中的关键词（如“分成两个小三角形且相似”）理解不透彻，导致后续分析全部错误。 2.不会转化：无法将新定义的“陌生条件”（如特定夹角）转化为证明三角形相似的常规条件（AA、SAS）。 阿氏圆 1.定义：平面上两点 A、B，所有满足 PA:PB = k（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆（阿波罗尼斯圆）。 2.解题核心：构造母子型相似三角形（通常在圆的半径上取点，使新三角形与原三角形相似），将 PA 转化为 k·PB 或反之，从而求 PA + k·PB 的最小值。 1.构造相似错误：在半径上取点时，未根据 k 的比例关系确定位置（如 k>1 或 k<1 时取点方向相反），导致相似三角形不成立。 2.最值原理混淆：忘记“两点之间线段最短”，在转化后未正确连接对应点，或忽略动点在圆上的限制。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似三角形的性质1—边 典例1如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-1如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-2如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 变式1-3如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 请你帮助嘉琪完成解题过程： (1)证明：，__________+， ______________________， 又___________， ； (2)解：， ，（填线段名称） ，，，， ， ， ______________________．（填线段名称） 类型二、相似三角形的性质2——周长、面积 典例2 如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 变式2-1若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 变式2-2在梯形中，，对角线相交于点，如果，则______． 变式2-3如图，在中，E是边上一点，且，连接与对角线相交于点F． (1)求与的周长比； (2)若的面积是，求的面积． 题型三、相似三角形的应用——小孔成像 典例3 如图，在小孔成像问题中，若到的距离是，到的距离是，蜡烛长为，则蜡烛的像的长为（     ）． A． B． C． D． 变式3-1在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若到的距离是，到的距离是，则像的长是（     ） A． B． C． D． 变式3-2中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验．如图所示的小孔成像实验中，，与交于点，于点，于点，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 变式3-3如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 题型四、相似三角形的应用——高度问题 典例4 如图，小明利用镜面反射原理测量路灯的高度，小明站在点，镜子放在点，路灯的底部为点，顶部为点，点，，在同一水平线上．已知小明眼睛到地面的距离，，，则路灯的高度为（     ） A．2.5 m B．2.75 m C．3.5 m D．3.75 m 变式4-1手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 变式4-2一题多解   小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图所示，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间充当标杆， 两人适当调整自己的位置． 当楼的顶部 ，小颖的头部 及小亮的眼睛 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 两处，然后测出两人之间的距离 ，小颖与教学楼之间的距离 （点 在同一条直线上），小颖的身高 ，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 则根据以上测量数据求出教学楼的高度为_____． 变式4-3在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 题型五、三角形的重心 典例5 如图，周林在一块质地均匀的的正方形纸板上画了一个，若裁剪下这个三角形，则它的重心位置在（    ） A．点M处 B．点N处 C．点E处 D．点F处 变式5-1如图，在中，为的重心，过点作，，分别交，于点，，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式5-2如图，点在的边上，作交于点，交于点．若点是重心，且在线段上，连接并延长交线段于点，交线段于点，则的值是__________． 变式5-3【教材呈现】下图是华师版数学九年级上册教材78页的部分内容． 根据教材，完成“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”的证明．下面我们来证明上述猜想． (1)【证明】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点，相交于点G．求证：． (2)【延伸】如图1，在中，是重心，若，则线段的长为___________，，的数量关系是___________． 【应用】 (3)如图2，在【延伸】的条件下，若，则的大小为___________． (4)如图3，在【延伸】的条件下，当直线过重心在边上，在边上，且，，直接写出四边形的面积． 题型六、相似中的最值问题 典例6 如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式6-1如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，，，满足，则面积的最小值是（  ）． A．24 B． C． D． 变式6-2如图，正方形的边长为4，E是对角线上的动点，以为斜边向右侧作等腰直角，点G在上且，连接，，则的最小值为________． 变式6-3已知正方形的边长为6． (1)如图1，若E、F分别为、上的动点，与相交于点P，且． ①求证：； ②连接，当最大时，求的长． (2)如图2，若E为的中点，P为上的动点，F为上一点，N为上一点，且满足，，求的最小值． 题型七、相似中的动点问题 典例7 如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 变式7-1如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 变式7-2如图，在中，，动点D从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向点C运动，到达点C停止．过点D作于点H，作点A关于的对称点E，连接．将线段绕点E逆时针旋转得到线段，设点D的运动的时间为t（秒），当点F到直线的距离为1时，则t的值为________． 变式7-3如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 题型八、相似中的无刻度尺作图 典例8 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； (2)在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得 (3)在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； 变式8-1如图是由边长为的小正方形组成的的网格，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图①中作出的中线； (2)图②中，在的边上找一点，使； (3)图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为． 变式8-2如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 变式8-3如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点、、都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留作图痕迹（不要求写画法）： (1)将绕点按逆时针方向旋转，点的对应点为，点的对应点为，画出；点在旋转过程中经过的路径长为　　　； (2)将（1）中线段扫过的图形围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面半径为　　　； (3)在内画一点，使得． 题型九、相似中的新定义 典例9 【定义】将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，将线段绕点A逆时针旋转角得到线段，则称由点A，B，C，D围成的四边形为“旋补四边形”，其中为旋补角． 【概念理解】 (1)如图1，在旋补四边形中，，，试说明对边与满足位置关系； 【拓展应用】 已知四边形为旋补四边形，旋补角，把沿折叠到，与交于点F． (2)如图2，若，，求线段的长； (3)若于点G，画出示意图并求出的值． 变式9-1我们学习了一些特殊的四边形，如：长方形、菱形、正方形等；它们都有一般的四边形没有的性质．我们再来探讨一种特殊的四边形：垂美四边形．定义：一组对边平行，另一组对边相等且互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)操作画图： 请你在平面直角坐标系中，画一个垂美四边形，（A、B、C、D的横纵坐标均为整数）； (2)性质探究：请你写出一个垂美四边形的特殊性质：__________________________________； (3)拓展应用：如图，四边形是垂美四边形，其中，，且，，点E、F分别是、的中点，． ①若，请你计算的值； ②连接，则．这个结论____________________（填正确或错误）． 变式9-2定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做奇异四边形，其中这条对角线叫做奇异对角线，这条边叫做奇异边． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是奇异四边形，对角线与交于点，是奇异对角线，是奇异边． ①与的形状是__________三角形． ②若，则__________． 【问题探究】 (2)如图2，四边形是矩形，过点作交的延长线于点，连接交于点，，． ①当时，请说明四边形是奇异四边形； ②是否存在值，使得四边形是奇异四边形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，四边形与四边形都是奇异四边形，其中与分别是奇异对角线，与分别是奇异边，，求的值． 变式9-3【定义】：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． 【初步感知】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，若是直角三角形，，即是矩形的半隅三角形．若，求的长． （小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．） 【深入探究】 (2)如图2，是的半隅三角形，，对角线交于点．若，，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图3，在中，，，以为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为，求的值． 题型十、阿氏圆 典例10 在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 变式10-1如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标． (2)求的最大值． (3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积： ①求S的取值范围． ②求的最小值． 变式10-2如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 变式10-3问题提出 （1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ； 问题探究 （2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由． 问题应用 （3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在中，，．若，，则的长度为（     ） A．3 B．3.6 C．4 D．5 2．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 4．如图，边长为的正方形中，为上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，满足，连接，交于点，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：；是等腰直角三角形；；若点是的中点，则；⑤当时，，其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点，．过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为___________． 7．如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 8．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 9．如图，在平行四边形中，，，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．若，则的长为________． 10．如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 11．如图，在中，以为直径的分别与、交于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 13．如图，中，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点运动；同时，动点从点出发，以每秒的速度沿向点运动，当点到点时，点也随之停止．连接．设点运动时间为秒． (1)________； (2)用含的代数式表示、的长度； (3)当时，求的值； (4)当时，求的值． 14．西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 15．如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $