第7章 图形的相似（单元自测）数学新教材苏科版九年级下册

第7章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，判断即可． 【解析】由题意，与的周长之比是； 故选B． 2．如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例．根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【解析】A、，即， ，故本选项不符合题意； B、，即，即， ∴，， ∴，， ∴，故本选项符合题意； C、∵，， ∴，， ∴， 即，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，故本选项不符合题意； 故选B． 3．下列命题中叙述正确的是（ ） A．若方差，则甲组数据的波动较小 B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和重心，方差以及正方形的判定，平行线公理，依据三角形的内心和重心，方差以及正方形的判定，平行线公理逐项判断即可． 【解析】A．若方差，则乙组数据的波动较小，故A错误，不符合题意； B．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故B错误，不符合题意； C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，故C正确，符合题意； D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故D错误，不符合题意； 故选C． 4．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【解析】A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则的值为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形是相似图形，相似比等于位似比求解即可． 【解析】∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴， ∴，又， ∴， 故选A． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点.若点的对应点为点，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，且相似比为，由相似三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解析】∵与是位似图形，位似中心为点.若点的对应点为点， ∴，且相似比为， ∴， 故选A． 7．如图，与是位似图形，是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【解析】∵与是位似图形，位似比为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 8．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选C 9．如图，，若，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【解析】∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选D． 10．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【解析】A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C．故选C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点________共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 【答案】一定 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即可解题． 【解析】矩形与矩形关于点O位似， 点O、B与点一定共线， 故答案为一定． 12．如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，根据题意得出为的重心，连接并延长交于点，勾股定理求得，进而根据重心的性质，即可求解． 【解析】如图所示，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴是直角三角形， 依题意，为的重心 ∴ 在中， ∴ 故答案为． 13．如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ________． 【答案】 【分析】如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，再证，然后根据相似的性质求出和即可； 本题主要考查了位似变换、坐标与图形性质，理解位似的性质是解题的关键． 【解析】如图：过B作轴于E，过点C作轴于F，即：, ∵点B的坐标为， ∴， ∵与是以点O为位似中心的图形，且相似比为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,即, ∴点D的坐标为． 故答案为． 14．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么________． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【解析】四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为8或． 15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为________． 【答案】 （1） 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【解析】∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：.故答案为$(-4,-1)$． 16．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为．故答案为$\left(1,\frac{3}{2}\right)$． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为________； （2）若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，点． （2） 【分析】（1）根据要求画出图形即可，再根据作图后的写出点的对应点即可； （2）利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解析】（1）略 （2）解：∵与关于原点异侧位似，相似比为，点， ∴点． 18．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到(点，，分别对应点，，)，且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 【答案】（1）画图见详解； （2）； （3） 【分析】本题考查位似变换的性质，核心是掌握位似中心在原点时，位似图形对应点的坐标与相似比的关系． （1）先确定各顶点的坐标，根据位似中心在原点、相似比及在第一象限内的要求，计算出各顶点的坐标，再描点连线画出图形； （2）利用位似变换的坐标规律，将点的坐标乘以相似比的，得到点的坐标； （3）根据原点为位似中心的位似变换坐标规律，直接推导线段上任意点变换后的坐标． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，， ∴点的坐标为， 故答案为； （3）解：∵以原点为位似中心，位似变换的缩放比例为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为； 故答案为． 19．（8分）如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【解析】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 20．（8分）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）选择1：面积的最大值为；选择2：的最大值； （3）当或时，和相似． 【分析】本题考查的是二次函数与图形的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，三角形相似的判定综合． （1）已知抛物线顶点坐标和抛物线上一点坐标，可利用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求解； （2）选择1：要求面积的最大值，可通过设点P坐标，将的面积表示为关于点P横坐标的函数，再根据D函数性质求最大值． 选择2：求的最大值，可通过设点P坐标，利用相似三角形的性质将表示为关于点P横坐标的函数，再求最大值； （3）要求使得和相似的点M的坐标，需要先求出相关线段的长度和角度，再根据相似三角形的性质分情况讨论求解． 【解析】解∶ （1）顶点为， 设抛物线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）选择1∶如图1，过点P作轴，交于点Q， 抛物线的解析式为，交轴于点， 时，． （6）． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得 直线的解析式为． 设，则， ． ， ． ， ， 当时， 面积为最大值，最大值为． 选择2∶如图2，过点P作轴，交于点Q， 设，由“选择1”可得，， 轴， ． 又， ． ． ，， 当时，取得最大值，最大值为． （3）画出示意图如图3， （6），直线的解析式为， ， ． 交抛物线于点E， 可设，其中． ， ． ． 轴平分． ∴点E关于x轴对称的点在直线上， ，其中， 解得， (舍去)，此时． 分类讨论如下∶设， 当时， ． ，顶点， ． ． 又， ，， ，解得，(舍去) ∴．此时； 当时 ， ，即． 解得， (舍去)， ∴此时． 综上，当或时，和相似． 21．（8分）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） （3） 如图，即为所求， ． 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【解析】（1）略 （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）略 22．（8分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形相似的判定与性质，求一次函数解析式，解题的关键根据二次函数的解析式求出点的坐标，结合相似设出坐标列式求解． （1）运用待定系数法直接求出抛物线的解析式； （2）过点A作轴，交的延长线于点P，过点M作轴交于点Q，则，易得，即可得到，结合直线的解析式即可得到，设，表示出，列式求解即可得到答案； 【解析】（1）∵抛物线与轴交于、两点， 把、两点坐标代入抛物线得： 解得，． 所以抛物线的解析式为． （2）如图，过点A作轴，交的延长线于点P，过点M作轴交于点Q，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 令，得， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：； ∵轴， ∴当时，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ 解得，， ∴或； 23．（8分）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【解析】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（8分）如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心，连接，并直接写出的长． 【答案】（1） 如图1，点即为所求． （2） 如图2，点即为所求． 【分析】（1）取格点M，N，连接，交于点D即可． （2）结合三角形的重心的定义，分别取的中点D，E，连接相交于点O，则点O即为所求． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形， ∴点D是的中点； （2）解：∵， ∴点E是的中点， 由（1）知，点D是的中点， ∴是的中线， ∴点O是的重心． 取格点G，H， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 25．（8分）已知抛物线与x轴交于和B两点（点A在点B右侧），且．与y轴交于C，过点A的直线与该抛物线交于另一点E，与线段交于点F，过点B的直线与y轴负半轴交于点D．    （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点E的坐标； （3）设，是否存在实数k，使m有最小值？如果存在，请求出k值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在； 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出的坐标，得到，然后求出直线，联立解方程组求出点的坐标； （3）过E，F两点作轴，轴于点，则，把代入得，求出点E、F的横坐标，利用求出最小值即可解题． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，代入 把，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示：    把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得， ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， 在中， ，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 把和代入解析式，得： ，解得：， ， 联立 解得(舍）， ∴； （3）解：存在； 如图，过E，F两点作轴，轴于点，如图所示：    则， 把代入得， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：，即， 联立， 解得（舍）或，即， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即m有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查待定系数法，求交点坐标，函数的最值问题，平行线分线段成比例，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 图形的相似 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 3．下列命题中叙述正确的是（ ） A．若方差，则甲组数据的波动较小 B．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 C．同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 D．对角线互相垂直且平分的平行四边形是正方形 4．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则的值为（ ） A．3 B．2 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点.若点的对应点为点，则为（ ） A． B． C． D． 7．如图，与是位似图形，是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．15 9．如图，，若，则为（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，矩形与矩形关于点O位似，则点O、B与点________共线，（填“一定”或“一定不”或“不一定”） 12．如图，分别在三角形纸板 的顶点 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 和 ，相交于点， ． 则 的长度是________ 13．如图，与是以点O为位似中心的图形，且相似比为，若点B的坐标为，则点D的坐标为 ________． 14．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么________． 15．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为________． 16．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为________． 三、解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，共 72 分） 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）请以原点为位似中心，在位似中心的异侧画出一个，使它与的相似比为；点的对应点的坐标为________； （2）若内部任意一点的坐标为，求出经过（1）的变化后点的对应点的坐标为；（用含，的代数式表示）． 18．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到(点，，分别对应点，，)，且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 19．（8分）如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 20．（8分）【问题情境】如图，抛物线的顶点为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点的坐标为． 【知识技能】（1）求抛物线的解析式； （2）若点为直线上方抛物线上一点，请选择以下任意一个问题作答： 选择1：求面积的最大值； 选择2：连接交直线于点，求的最大值； 【拓展探究】（3）过点作交抛物线于点（异于点），在轴上求一点，使得和相似． 21．（8分）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 22．（8分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标． 23．（8分）如图，在中，为边上一点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 24．（8分）如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心，连接，并直接写出的长． 25．（8分）已知抛物线与x轴交于和B两点（点A在点B右侧），且．与y轴交于C，过点A的直线与该抛物线交于另一点E，与线段交于点F，过点B的直线与y轴负半轴交于点D．    （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点E的坐标； （3）设，是否存在实数k，使m有最小值？如果存在，请求出k值；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $