专题05 相似多边形、相似三角形的判定十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题05 相似多边形、相似三角形的判定 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例的性质 题型二、成比例线段 题型三、比例尺与黄金比例 题型四、平行线分线段成比例 题型五、位似图形与中心 题型六、相似多边形的定义与性质 题型七、相似三角形的判定定理1—两角相等 题型八、相似三角形的判定定理2—两边成比例夹角相等 题型九、相似三角形的判定定理3—三边成比例 题型十、位似作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 核心知识点 常见易错点 比例基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；合比性质、等比性质（b+d+…+n≠0） 等比性质运用时忽略分母和不为0的条件，或比例变形时内外项混淆 四条线段中，两条线段的比等于另两条线段的比即成比例；需注意线段单位统一 比较线段比时未统一单位，或判断成比例时未按顺序排列线段导致比例关系错误 比例尺=图上距离:实际距离；黄金比≈0.618，是较长线段与全线段的比值 比例尺计算时单位换算错误（如厘米与千米混淆）；黄金比例中较长、较短线段关系搞反 两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例；三角形中平行线截两边对应成比例 对应线段找错，或忽略“两条直线被平行线所截”的前提，随意套用比例关系 位似图形是特殊的相似图形，对应顶点连线交于位似中心，对应边平行或共线 误将相似图形等同于位似图形，或位似中心位置判断错误（对应顶点连线未找全） 相似多边形对应角相等，对应边成比例；相似比为对应边的比值 判定相似时忽略“对应边成比例且对应角相等”两个条件，或相似比前后项顺序颠倒 两角分别相等的两个三角形相似 找对应角时未结合图形特征（如公共角、对顶角），误判角的对应关系 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 忽略“夹角相等”的前提，用非夹角的角相等代替，或两边比例对应关系错误 三边成比例的两个三角形相似 对应边比例匹配错误（未按大小顺序对应边），导致比例关系不成立 确定位似中心、原图形关键点，按相似比计算对应点位置，顺次连接对应点 位似图形可在位似中心两侧，易只画一侧；或对应点与位似中心连线的比例计算错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例的性质 典例1已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式1-1若，则的值为（     ） A． B． C．4 D． 变式1-2如果，则___________． 变式1-3若，且，那么______． 类型二、成比例线段 典例2 下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 变式2-1已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 变式2-2已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 变式2-3已知：线段a、b、c满足关系式，且，那么________． 题型三、比例尺与黄金比例 典例3 2025年12月19日，南京地铁10号线二期开通运营，在比例尺为的工程示意图上，南京地铁10号线全长约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 变式3-1两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 变式3-2在一幅比例尺是的地图上，测得某岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向的实际长度是______米． 变式3-3大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 题型四、平行线分线段成比例 典例4 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 变式4-1如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式4-2如图，，若，，，则______． 变式4-3如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 题型五、位似图形与中心 典例5 下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 变式5-1如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式5-2下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 变式5-3如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 题型六、相似多边形的定义与性质 典例6 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 变式6-1下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 变式6-2在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 变式6-3四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 题型七、相似三角形的判定定理1—两角相等 典例7 如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 变式7-1如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 变式7-2已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 变式7-3如图，在中，平分，点E在边上，且．求证：． 题型八、相似三角形的判定定理2—两边成比例夹角相等 典例8 如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 变式8-1如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 变式8-2如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 变式8-3如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 题型九、相似三角形的判定定理3—三边成比例 典例9 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 变式9-1已知：如图，在和中，．求证：． 变式9-2如图，．判断与是否相似，并说明理由． 变式9-3如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 题型十、位似作图 典例10 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，位似比为，在网格图中画出，并写出点的坐标． 变式10-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 变式10-3如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 2．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 7．如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 8．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么，_______，_______． 9．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 10．如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 11．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 12．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 13．如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 14．阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫作黄金分割点． 如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入，   ………… (1)根据材料可知，一条线段有___________个黄金分割点． (2)补全材料中的解答过程． (3)在如图2所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点C．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 15．在中，，，过点作直线，是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图，若，，，求线段的长； (2)如图，若点在射线上（不与点重合），过点作交直线于点，连接，为线段的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图，若，连接，为线段的中点，连接．点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，点的对应点是点，连接．当与均取得最小值时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似多边形、相似三角形的判定 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例的性质 题型二、成比例线段 题型三、比例尺与黄金比例 题型四、平行线分线段成比例 题型五、位似图形与中心 题型六、相似多边形的定义与性质 题型七、相似三角形的判定定理1—两角相等 题型八、相似三角形的判定定理2—两边成比例夹角相等 题型九、相似三角形的判定定理3—三边成比例 题型十、位似作图 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 核心知识点 常见易错点 比例基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；合比性质、等比性质（b+d+…+n≠0） 等比性质运用时忽略分母和不为0的条件，或比例变形时内外项混淆 四条线段中，两条线段的比等于另两条线段的比即成比例；需注意线段单位统一 比较线段比时未统一单位，或判断成比例时未按顺序排列线段导致比例关系错误 比例尺=图上距离:实际距离；黄金比≈0.618，是较长线段与全线段的比值 比例尺计算时单位换算错误（如厘米与千米混淆）；黄金比例中较长、较短线段关系搞反 两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例；三角形中平行线截两边对应成比例 对应线段找错，或忽略“两条直线被平行线所截”的前提，随意套用比例关系 位似图形是特殊的相似图形，对应顶点连线交于位似中心，对应边平行或共线 误将相似图形等同于位似图形，或位似中心位置判断错误（对应顶点连线未找全） 相似多边形对应角相等，对应边成比例；相似比为对应边的比值 判定相似时忽略“对应边成比例且对应角相等”两个条件，或相似比前后项顺序颠倒 两角分别相等的两个三角形相似 找对应角时未结合图形特征（如公共角、对顶角），误判角的对应关系 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 忽略“夹角相等”的前提，用非夹角的角相等代替，或两边比例对应关系错误 三边成比例的两个三角形相似 对应边比例匹配错误（未按大小顺序对应边），导致比例关系不成立 确定位似中心、原图形关键点，按相似比计算对应点位置，顺次连接对应点 位似图形可在位似中心两侧，易只画一侧；或对应点与位似中心连线的比例计算错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、比例的性质 典例1已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 变式1-1若，则的值为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】设（），则，代入解答即可． 【详解】解：设（），则，代入得． 变式1-2如果，则___________． 【答案】 【分析】根据已知等式分别求出，，的值，再代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 将，，代入得． 变式1-3若，且，那么______． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用表示，代入所求分式约分即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，， 将其代入所求分式得： ， ， ． 类型二、成比例线段 典例2 下列四组数作为长度的线段中，是比例线段的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【详解】解：A、由于，则四条线段成比例线段，故A选项符合题意； B、由于，则四条线段不成比例线段，故B选项不符合题意； C、由于，则四条线段不成比例线段，故C选项不符合题意； D、由于，则四条线段不成比例线段，故D选项不符合题意． 变式2-1已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 变式2-2已知线段，，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义可得，代入、的数值计算即可，线段长度为正，直接得结果． 【详解】解：∵ 是、的比例中项， ∴ ， 代入，得：， 计算得， 解得． 变式2-3已知：线段a、b、c满足关系式，且，那么________． 【答案】16 【详解】解：∵且, ∴， ∴． 题型三、比例尺与黄金比例 典例3 2025年12月19日，南京地铁10号线二期开通运营，在比例尺为的工程示意图上，南京地铁10号线全长约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例性质、比例尺的计算和单位换算，解题的关键是注意单位间的换算关系．根据比例尺，实际距离等于图上距离乘以比例尺分母，再换算单位． 【详解】解：∵比例尺为，图上长度为， ∴实际距离， ， 它的实际长度约为． 故选：C． 变式3-1两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分，较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：由条件可知：， ， 解得：． 变式3-2在一幅比例尺是的地图上，测得某岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向的实际长度是______米． 【答案】3500 【分析】已知比例尺和图上距离，根据比例尺的定义计算实际长度，再换算单位得到以米为单位的结果． 【详解】解：设该岛东西走向的实际长度为厘米， 根据比例尺的定义，可得， 解得 厘米 米． 变式3-3大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据黄金分割比例得到，据此求出的长，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、平行线分线段成比例 典例4 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 变式4-1如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 变式4-2如图，，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，代入已知线段长计算即可求出的长． 【详解】解：， ． ，，， ， ． 变式4-3如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【答案】 10 【分析】根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型五、位似图形与中心 典例5 下列选项中属于位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意． 变式5-1如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 变式5-2下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 变式5-3如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别为，，正方形的顶点，的坐标分别为，，则这两个正方形的位似中心的坐标为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一种是两个正方形在位似中心的异侧；另一种是两个正方形在位似中心的同侧． 【详解】解：正方形中、， ∴边长为， ∴，， 正方形中、， ∴边长为， ∴，， 分两种情况讨论： 情况1：两个正方形在位似中心的异侧 连接对应顶点和、和， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 情况2：两个正方形在位似中心的同侧 连接对应顶点和、和并延长， 设直线和的解析式分别为，， 则，， 解得：，， 则直线和的解析式分别为，， 联立，， 解得：， ∴此时这两个正方形的位似中心的坐标为； 综上，这两个正方形的位似中心的坐标为或． 题型六、相似多边形的定义与性质 典例6 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 变式6-1下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 变式6-2在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案】42 【详解】解：∵ ， ∴ 四边形与四边形的周长比为， 设四边形的周长为， 则， 解得 ． 则四边形的周长为． 变式6-3四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案】 【分析】首先确定两个相似四边形的对应最长边，因为相似多边形的对应边成比例，所以最长边是对应边．提取四边形ABCD的最长边，以及四边形的已知最长边．根据相似比的定义，即相似多边形对应边的比值，代入两条最长边的数值计算即可． 【详解】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 题型七、相似三角形的判定定理1—两角相等 典例7 如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】略 变式7-1如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 变式7-2已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵，， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 变式7-3如图，在中，平分，点E在边上，且．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】首先证明，再结合，即可证明结论． 【详解】略 题型八、相似三角形的判定定理2—两边成比例夹角相等 典例8 如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 变式8-1如图，在正方形中，是上的点，且，是的中点．与是否相似，为什么？ 【答案】解：相似．理由如下： 设正方形的边长为，则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 又， ∴． 【分析】设正方形的边长为，证明，即可证明． 【详解】略． 变式8-2如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 变式8-3如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 题型九、相似三角形的判定定理3—三边成比例 典例9 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】这两个三角形相似，理由如下： 对： ，，； 对： ，，． 计算三边的比值： ，，， ∴， ∴． 【分析】用勾股定理计算两个三角形各边的长度．将两个三角形的边按长度从小到大排序，计算对应边的比值．依据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，判断两个三角形是否相似． 【详解】略 变式9-1已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 变式9-2如图，．判断与是否相似，并说明理由． 【答案】与相似．理由如下： ∵在中，， 在中，， ， ． 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可证得． 【详解】略 变式9-3如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）略 题型十、位似作图 典例10 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，位似比为，在网格图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： 即为所求，点的坐标为； (2)解：如图所示： 即为所求，点的坐标为． 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到，在网格图中写出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）略 变式10-1如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)以原点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为，并写出点的对应点的坐标_________； (2)若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（1）的变化后点的对应点的坐标（用含，的代数式表示），的坐标是_________； (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)解：如图所示，点的坐标为， (2) (3)解：点如图所示， 【分析】（1）根据位似图形的性质，结合、、，得出，，，在坐标系中描点，顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质解答即可； （3）根据相似三角形的性质，取点，，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：∵、、，与的相似比为， ∴，，， ∴如图所示，略 （2）解：∵点的坐标为， ∴经过（1）的变化后点的对应点的坐标是． （3）解：取点，，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：∵，， ∴，，， ∴， ∴． 变式10-2如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； (2)在图②中线段上画一个点，使． 【答案】(1)如图所示： 和即为所求； (2)如图所示： 点即为所求． 【分析】（1）由位似图形的性质求出位似三角形的顶点坐标，连接三个顶点即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，此时，由相似三角形的性质即可得到． 【详解】（1）解：与的相似比为，点为位似中心， 分两种情况： 当两个三角形在点同侧时，令要作的位似图形为， 三个顶点的坐标分别是， 取中点，连接得到， ， 与的相似比为； 当两个三角形在点异侧时，令要作的位似图形为， 作关于点的对称点，连接得到， ， 与的相似比为； （2）解：由图可知，，且， ． 变式10-3如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）取格点，连接，则四边形即为所求，根据勾股定理可求，若连接，则在中，由勾股定理逆定理可得，故四边形为正方形，故符合题意； （2）取格点E，连接，则即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明，则和是以点A为位似中心的位似三角形； （3）取格点C、D，连接交于点P，则点P即为所求，可证明，则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 2．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．若，且，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求分式变形为含的形式，代入已知比例值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 6．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 7．如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 8．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么，_______，_______． 【答案】 / 【分析】可求出，则；过点D作，交于点G，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 如图所示，过点D作，交于点G， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 【答案】 【分析】根据对称性可得厘米，再根据黄金比值可得答案． 【详解】解：由题意得，厘米， ∵， ∴， ∴厘米． 10．如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过作于，构造正方形，利用勾股定理及旋转性质求出长度；过作于，利用三角形中位线定理求出和，进而求出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形 ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 在中， ， 由旋转性质可知 ， 在中， ， ， ， ， ， ， 是的中点 ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， 在中，． 11．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 12．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 【答案】(1)，； (2) (3)10 【分析】（1）连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使，，再连接即可； （3）利用割补法求面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：的面积． 13．如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)如图，点H即为所求 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）按题目步骤画图即可. 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （2）略 14．阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫作黄金分割点． 如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数． 下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入，   ………… (1)根据材料可知，一条线段有___________个黄金分割点． (2)补全材料中的解答过程． (3)在如图2所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点C．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 【答案】(1)2 (2)解：，化简得， 解得 ， ， 黄金分割数 ． (3) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义直接作答． （2）根据黄金分割比的定义列出关于的方程，解一元二次方程并舍去负根即可． （3）根据黄金分割点的几何作法，利用勾股定理和圆规作图，在线段中作出的线段，从而确定点的位置． 【详解】（1）解：根据黄金分割点的定义，一条线段有2个黄金分割点，靠近线段左端点和右端点各一个． （2）略 （3）解：令点上方个单位的网格点为，连接， 以 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ， 以 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ， 在正方形网格图中，设个正方形单元格边长为， ，， ， ， ， 点 就是线段 的一个黄金分割点．（同理） 15．在中，，，过点作直线，是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图，若，，，求线段的长； (2)如图，若点在射线上（不与点重合），过点作交直线于点，连接，为线段的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图，若，连接，为线段的中点，连接．点为直线上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，点的对应点是点，连接．当与均取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：， 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴，． 如图，延长至，使，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，是中位线， ∴， ∵点、、、在同一直线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． (3) 【分析】（1）由、得是等边三角形；由旋转得，证得；再由得，在中用勾股定理即可求出； （2）先证得、；倍长至，由证得；又、分别为、的中点，中位线得；由得，，故； （3）先由知道与直线所夹的锐角恒为，再用三角形中位线判断点的轨迹是过中点且与成的直线，用轴对称把化为两点间的线段求其最小值；再由翻折得，判断点在以为圆心、为半径的圆上，求得的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：设． ∵， ∴是等边三角形，，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∴， ∴，． 如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴与直线所夹的锐角恒为， ∴点的轨迹在过点且与直线成角的直线上， ∵为的中点，为的中点， ∴在中，是中位线， ∴，． ∵、都在直线上， ∴， ∴点的轨迹在过且平行于的直线上， ∴直线经过，且与的夹角为． 作点关于直线的对称点，连接、， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为． ∵，与的夹角为， ∴点到的距离为（角所对的直角边是斜边的一半）， ∴． ∵，与的夹角为， ∴与的夹角为． ∵，， ∴是等边三角形， ∴点到的距离为，点到的垂足到的距离为． ∵点到的距离为，垂足为，且点与点在的两侧， ∴点、沿垂直于方向相距，沿方向相距， ∴， ∴． 设于点， ∵，与的夹角为， ∴，， ∴在中，， ∴． ∵垂直平分， ∴点到的距离为． ∵取最小值时、、三点共线，点、到的距离分别为、， ∴由平行线截线段成比例，， ∴，． 在中，， ∴． ∵点在线段上， ∴， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上． ∵， ∴当点落在线段上时，取得最小值， ∴． ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $