专题09 投影与视图十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题09 投影与视图 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影 题型二、中心投影 题型三、正投影 题型四、判断几何体的三视图 题型五、已知三视图还原几何体 题型六、画几何体的三视图 题型七、已知三视图求解 题型八、已知三视图求最多、最少问题 题型九、投影作图 题型十、投影的综合解决应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 平行投影 由平行光线形成的投影；同一时刻，物高与影长成正比；不同物体影子方向相同 混淆不同时刻影子方向变化；忽略物高与影长的比例关系；对光线平行性判断错误 中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；等高物体离点光源越近影子越短，反之越长 混淆平行投影与中心投影特征；未找准点光源位置；中心投影下物高与影长不成正比判断错误 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影；几何体正投影形状与摆放角度有关 混淆正投影与一般平行投影；忽略投影面垂直条件；未考虑几何体摆放角度对投影的影响 判断几何体的三视图 主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）的定义；三视图对应几何体形状 混淆主视图、左视图观察方向；漏看几何体隐藏轮廓；三视图对应关系判断错误 已知三视图还原几何体 通过三视图组合特征还原立体形状；常见几何体（柱、锥、球）的三视图特点 仅凭单一视图臆断整体形状；忽略三视图尺寸对应关系；复杂组合体还原错误 画几何体的三视图 三视图画法：长对正、高平齐、宽相等；可见轮廓用实线，不可见用虚线 未遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则；漏画不可见轮廓（虚线）；线条粗细不统一 已知三视图求解 由三视图尺寸计算几何体表面积、体积；利用视图数据推导棱长、高等参数 三视图尺寸与几何体实际尺寸对应错误；表面积计算漏面/多面；体积公式应用错误 已知三视图求最多、最少问题 根据俯视图确定底层小立方块数量；结合主/左视图确定各位置层数范围，计算最值 未结合多视图限制条件；层数范围推导遗漏；最多/最少数量计算逻辑错误 投影作图 平行投影：作平行光线连接物体顶点与影子顶点；中心投影：找点光源后连线作投影 平行投影光线不平行；中心投影未先确定点光源；作图时顶点与影子端点连线错误 投影的综合解决应用 投影知识在实际场景（测距、建筑设计）中的应用；结合相似三角形解决投影问题 实际问题中投影模型建立错误；相似三角形对应边比例错误；忽略实际场景特殊限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影 典例1晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 变式1-1如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 变式1-2小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.8米，他的影长3米，小红比小明矮0.3米，此刻小红的影长是________米． 变式1-3教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 类型二、中心投影 典例2 夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 变式2-1手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 变式2-2如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 题型三、正投影 典例3 如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式3-1如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 变式3-2如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 变式3-3如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    题型四、判断几何体的三视图 典例4 如图，该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 变式4-1如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 变式4-2如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 变式4-3如图所示的是一个空心圆柱体，它的左视图是_____（填序号）． 题型五、已知三视图还原几何体 典例5 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式5-1如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图（从正面看到的平面图形）和俯视图（从上面看到的平面图形），则这个几何体的搭法有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 变式5-2如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 变式5-3如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是______． 题型六、画几何体的三视图 典例6 如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 变式6-1如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 变式6-2如图，是由8个棱长为的小正方体组合成的简单几何体． (1)请画出它的三视图； (2)计算这个几何体的表面积． 变式6-3一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加___________个相同的小立方块； (3)若小立方块的棱长为，则这个几何体的表面积为___________ 题型七、已知三视图求解 典例7 如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 变式7-1图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，． (1)直接写出俯视图的长和宽（用含x的代数式表示）； (2)若俯视图的面积为，求x的值． 变式7-2如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 变式7-3【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 题型八、已知三视图求最多、最少问题 典例8 在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 变式8-1如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 变式8-2如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 变式8-3如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体． (1)请分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积为 （包括底面积）； (3)若使得该几何体的俯视图和左视图不变，则最多还可以放 个相同的小正方体． 题型九、投影作图 典例9 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 变式9-1如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求灯泡的高度比小明高多少米？ 变式9-2如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 变式9-3如图，在路灯下，小明可近似看成线段，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮可近似看成线段，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)若小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 题型十、投影的综合解决应用 典例10 如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 变式10-1如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 变式10-2“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 变式10-3数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 4．刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（     ） A． B． C． D． 5．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 7．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 8．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 9．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最多个数为，最少个数为，则________． 10．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 11．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 12．如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 13．如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不包含下底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需_______克漆； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 14．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 15．鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 投影与视图 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影 题型二、中心投影 题型三、正投影 题型四、判断几何体的三视图 题型五、已知三视图还原几何体 题型六、画几何体的三视图 题型七、已知三视图求解 题型八、已知三视图求最多、最少问题 题型九、投影作图 题型十、投影的综合解决应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 平行投影 由平行光线形成的投影；同一时刻，物高与影长成正比；不同物体影子方向相同 混淆不同时刻影子方向变化；忽略物高与影长的比例关系；对光线平行性判断错误 中心投影 由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；等高物体离点光源越近影子越短，反之越长 混淆平行投影与中心投影特征；未找准点光源位置；中心投影下物高与影长不成正比判断错误 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影；几何体正投影形状与摆放角度有关 混淆正投影与一般平行投影；忽略投影面垂直条件；未考虑几何体摆放角度对投影的影响 判断几何体的三视图 主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）的定义；三视图对应几何体形状 混淆主视图、左视图观察方向；漏看几何体隐藏轮廓；三视图对应关系判断错误 已知三视图还原几何体 通过三视图组合特征还原立体形状；常见几何体（柱、锥、球）的三视图特点 仅凭单一视图臆断整体形状；忽略三视图尺寸对应关系；复杂组合体还原错误 画几何体的三视图 三视图画法：长对正、高平齐、宽相等；可见轮廓用实线，不可见用虚线 未遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则；漏画不可见轮廓（虚线）；线条粗细不统一 已知三视图求解 由三视图尺寸计算几何体表面积、体积；利用视图数据推导棱长、高等参数 三视图尺寸与几何体实际尺寸对应错误；表面积计算漏面/多面；体积公式应用错误 已知三视图求最多、最少问题 根据俯视图确定底层小立方块数量；结合主/左视图确定各位置层数范围，计算最值 未结合多视图限制条件；层数范围推导遗漏；最多/最少数量计算逻辑错误 投影作图 平行投影：作平行光线连接物体顶点与影子顶点；中心投影：找点光源后连线作投影 平行投影光线不平行；中心投影未先确定点光源；作图时顶点与影子端点连线错误 投影的综合解决应用 投影知识在实际场景（测距、建筑设计）中的应用；结合相似三角形解决投影问题 实际问题中投影模型建立错误；相似三角形对应边比例错误；忽略实际场景特殊限制条件 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平行投影 典例1晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化. 【详解】解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长. 变式1-1如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 【详解】解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 变式1-2小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.8米，他的影长3米，小红比小明矮0.3米，此刻小红的影长是________米． 【答案】 【分析】同一时刻太阳光下，物体高度与影长的比值为定值，先求出小红身高，再列比例式计算影长． 【详解】解：由题意得，小红的身高为米， 设小红此刻的影长为米， ∵同一时刻，同一地点太阳光下物体高度与影长成比例， ∴， 解得． 变式1-3教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为的竹竿的影长是，但当他马上测量树高时，发现树的影子不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是，落在墙壁上的影长是，则这棵数的实际高度为______． 【答案】 【分析】先根据同一时刻物高与影长成比例求出落在地上的影长对应的树的高度，再加上落在墙上的影长就是树的高度． 【详解】解：因为同一时刻物高与影长成比例， 所以：， 即：， 解得落在地上的影长对应的树的高， 所以树的高度为：． 类型二、中心投影 典例2 夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【答案】A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 变式2-1手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 变式2-2如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 【答案】 【分析】根据 得到 ，利用相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 题型三、正投影 典例3 如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 变式3-1如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，过A作于C，在中，根据余弦的定义求出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 变式3-2如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【答案】 线段BD 线段AD 点D 【分析】本题考查正投影的概念，掌握根据投影线方向和线段的位置，确定线段的正投影形状是解题的关键． 根据正投影的定义，分析线段在垂直向下投影线下的投影形状． 【详解】解：线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：和的正投影都是，所以线段的正投影是点． 故答案为：线段、线段、点 ． 变式3-3如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 题型四、判断几何体的三视图 典例4 如图，该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的主视图为： 变式4-1如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画几何体左视图，应从几何体的左面往右面看，得到的平面图形，看不见的棱，画虚线，看得见的棱画实线． 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 变式4-2如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”） 【答案】甲 【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡的积木． 【详解】图为7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积木甲，主视图保持不变． 变式4-3如图所示的是一个空心圆柱体，它的左视图是_____（填序号）． 【答案】② 【分析】空心圆柱体的左视图是矩形，且有两条竖着的虚线，依此即可求解． 【详解】解：一个空心圆柱体，其左视图为． 故答案为：②． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线． 题型五、已知三视图还原几何体 典例5 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 变式5-1如图，是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图（从正面看到的平面图形）和俯视图（从上面看到的平面图形），则这个几何体的搭法有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【详解】解：由主视图和俯视图，可知第一列的一个小正方体位置固定在第一排，第二列有两排小正方体，其中至少有一排的小正方体的高度为3个小正方体， 故可能的情况如下：（俯视图中，小正方体上的数字表示这个位置上有几个小正方体．） 变式5-2如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据三视图判断该几何体为圆柱，确定底面直径和高，利用圆柱侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆柱．底面圆的直径为，高为．圆柱的侧面积底面周长高． 该几何体的侧面积． 变式5-3如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是______． 【答案】/ 【分析】由三视图可得该几何体的高为8，上下底面是一个半径为4的圆的四分之三的柱体，进而可求得表面积． 【详解】解：由题意，这个几何体的表面积是 ． 题型六、画几何体的三视图 典例6 如图是由一些相同的小正方体组成的几何体． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图； (2)设小正方形的边长为1，求这个几何体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据从不同方向看几何体作图即可； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：表面积为：． 变式6-1如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【答案】这个几何体的三视图如下： 【详解】略 变式6-2如图，是由8个棱长为的小正方体组合成的简单几何体． (1)请画出它的三视图； (2)计算这个几何体的表面积． 【答案】(1)小正方体组合成的简单几何体的三视图，如图所示： (2) 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应图形即可求解； （2）根据表面积的求法求出答案即可． 【详解】（1）略； （2）解：这个几何体的表面积为： ． 变式6-3一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加___________个相同的小立方块； (3)若小立方块的棱长为，则这个几何体的表面积为___________ 【答案】(1)形状如图所示： (2)5 (3) 【分析】（1）主视图看列的最大高度，左视图看行的最大高度； （2）保持主视图、左视图不变，空白位置新增方块高度不能超过该行、列最大层数，把空白位置可增加数量相加，得到最多可添加总数； （3）数出六个方向看到的正方形面总个数，单个面面积，总面数乘单块面积得到表面积． 【详解】（1）作图：略 （2）解：如图： 俯视图左上角空白位置：最多可放置3小立方块，可新增3个； 俯视图上方中间空白位置：最多可放置1小立方块，可新增1个； 俯视图下方中间空白位置：最多可放置1个小立方块，可新增1个； 其余位置的小立方块数量已经达到对应行、列的最大允许层数，无法再新增。 总计最多可以再添加 个小立方块； （3）解：统计六个方向正方形面： 前面：；后面：； 左面：；右面：； 上面：；下面：． 总正方形面数：． 单个小正方形面积：，表面积：． 题型七、已知三视图求解 典例7 如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长； (2)左视图的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形面积公式、直三棱柱的三视图性质以及矩形面积公式，熟练掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，结合面积法求斜边上的高，并明确三视图与立体图形的尺寸对应关系是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理判断底面三角形为直角三角形，再通过面积法求出斜边上的高，该高即为主视图中线段的长． （2）确定左视图为矩形，其一边长为直三棱柱的高，另一边长为底面直角三角形斜边上的高，根据矩形面积公式计算左视图的面积． 【详解】（1）解：如图，俯视图中过点作边上的垂线，由题意可得，，，点为垂足， ，，， ， ，即， ， ， ， ∴； （2）解： 变式7-1图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，． (1)直接写出俯视图的长和宽（用含x的代数式表示）； (2)若俯视图的面积为，求x的值． 【答案】(1)长为，宽为； (2) 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． （1）由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽； （2）由（1）表示出俯视图的面积，根据题意解一元二次方程，从而得出答案． 【详解】（1）解：，， 俯视图的长为，宽为； （2）由（1）可知，则俯视图的面积， ，即， ， （不符合题意，舍去）， 则x的值为． 变式7-2如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：还原立体图形为： 这个立体图形的体积为． （2）解：下面的长方体表面积为， 上面的长方体表面积为， 两个长方体重合部分面积为, 这个立体图形的表面积为． 变式7-3【问题情境】小圣所在的综合实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔 ． 【操作探究】 (1)图中的图形________经过折叠能围成无盖正方体纸盒（填序号）． (2)将图小正方体移走后，得到一个新的几何体，与原几何体相比，从三个方向看到的形状图没有发生变化的是__________． ．从正面和上面看到的形状图．从左面和上面看到的形状图 ．从正面和左面看到的形状图．从正面、左面、上面看到的形状图 (3)如果图在原几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_______个小正方体． (4)若图小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】根据正方体表面展开图的特征逐项进行判断即可； 分别画出图小正方体移走前、后从不同方向看到的形状图，然后比较即可； 根据从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体，从而求解； 通过从不同方向看到的形状图的面积和乘以，再加上个小正方形面积即可． 【详解】（1）解：无盖正方体形纸盒应该由个面组成，但图经折叠后有两个面重复， 因此图中的图形折叠不能围成无盖正方体形纸盒，图均可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒， 故答案为：； （2）解：图小正方体从不同方向看到的形状图， 图小正方体移走后从不同方向看到的形状图， ∴从三个方向看到的形状图没有发生变化的是从正面和左面看到的形状图， 故选：； （3）解：保持从正面和左面看到的形状图不变，可在左侧和上面分别添加一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：； （4）解：∵图小正方体的棱长为， ∴小正方形面积为， ∴该几何体的表面积为． 题型八、已知三视图求最多、最少问题 典例8 在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1)，， (2) (3)4 【分析】（1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含地面的表面积即可求解； （3）保持主视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：由图可知，这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：； （2）解：这个几何体的表面有个正方形，去掉地面上的个，个面需要喷上红色的漆，∴表面积为，（克） ∴共需克漆； （3）解：如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加个． 变式8-1如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： (1)当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； (2)若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【答案】(1)左，主，俯 (2)2 【分析】（1）根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案； （2）可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，即可得出答案． 【详解】（1）解：当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，左视图不变；去掉③时，主视图不变；去掉④时，俯视图不变． （2）解：若保持主视图和左视图不变，可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，则原来几何体最多还可以再搭2块小正方体． 变式8-2如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． 变式8-3如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体． (1)请分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积为 （包括底面积）； (3)若使得该几何体的俯视图和左视图不变，则最多还可以放 个相同的小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)30 (3)3 【分析】（1）根据三视图的画法画出相应的图形即可； （2）三视图面积的2倍加被挡住的面积即可； （3）根据左视图，俯视图得出需要的最少的小立方体的个数． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积为； （3）解：保持俯视图不变，左视图不变的情况下， 还可以再添加3个立方体，如图所示： 题型九、投影作图 典例9 如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻，立柱在路灯下形成的影子分别为与． (1)请在图中画出路灯的位置，并画出立柱在路灯下所形成的影子； (2)若立柱高3米，影长是2米，立柱的底部离路灯底部的距离是3米，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)路灯的高度为 【分析】（1）连接并延长，连接并延长，两线交于点，连接并延长交于点即可； （2）利用相似三角形的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如（1）图，由题意，，， ∴，， ∴， ∴； 故路灯的高度为. 变式9-1如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高，他的影子，且他到路灯的距离，求灯泡的高度比小明高多少米？ 【答案】(1)如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子． (2)灯泡的高度比小明高． 【分析】（1）连接并延长，交于点，则点为灯泡所在的位置，连接并延长交直线于点，则线段为小亮在灯光下形成的影子； （2）可证明，，据此代入数值计算的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，可得， ， ，即， 解得， ． 答：灯泡的高度比小明高． 变式9-2如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯在阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】(1)解：由题意作图如下： (2) 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式9-3如图，在路灯下，小明可近似看成线段，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮可近似看成线段，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子； (2)若小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 【答案】(1)如解图，点O为灯泡所在的位置， 线段为小亮在灯光下形成的影子． (2)灯泡的高为 【分析】（1）延长、，在上交于点； （2）利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：由已知可得，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴灯泡的高为． 题型十、投影的综合解决应用 典例10 如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的塔楼高度． 【答案】(1)点C到水平地面的距离为米 (2)小明测得的塔楼高度米 【分析】（1）过作于，根据得到点C到水平地面的距离为； （2）延长与交于点，先求出，，再根据身高和影长比例一样列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 过作于， ∴点C到水平地面的距离为（米）； （2）解：延长与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米， ∴， ∴， ∴由得到， 由得到， ∴小明测得的塔楼高度米． 变式10-1如图，小红晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小红的身高是米，那么路灯A离地面的高度的长为多少米？ 【答案】路灯A离地面的高度的长为米 【分析】由题意可证明，可得，解得，，则，由（米），代入可求． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ， ∴，， 解得，， ∴， ， （米）， （米）． 变式10-2“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 变式10-3数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：组合体的俯视图正方形个数分布情况如下：     则正方体的个数为               2．某几何体如图所示，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从上面看，是两个圆形，大圆内部有个小圆． 故选：D． 3．如图所示，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为． 4．刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：刍甍的俯视图为． 5．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 6．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 7．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【答案】 【分析】由俯视图确定底层小立方块的分布与数量，结合主视图确定几何体的层数及每列的最高层数，进而分析出最多和最少的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小立方块，分为左、右两列，左列有个位置，右列有个位置， 由主视图可知，该几何体共有层，且左列、右列的最高层数均为层， 当上层每个位置都放置小立方块时，总数最多，此时上层有个， ； 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即左列、右列各至少放个时，总数最少，此时上层最少有个， ； ． 8．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 9．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最多个数为，最少个数为，则________． 【答案】18 【分析】由主视图和左视图可得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最少有几个正方体组成即可得答案． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体有三行，三列， ∵底层正方体最多有9个小正方体，第二层最多有4个正方体， ∴组成这个几何体的小正方体的个数最多有个，即， ∵底层正方体最少有3个小正方体，第二层最少有2个正方体， ∴组成这个几何体的小正方体的个数最少有5个，即， ∴． 10．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 【答案】468 【分析】根据题意，找到个数与面积之间的规律：表面积为，即可计算第12个几何体的面积． 【详解】解：第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，可以写成： ， 第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，可以写成： ， 第（3）个几何体的表面积为36个平方单位，可以写成： ， 第（4）个几何体的表面积为60个平方单位，可以写成： ， 第（n）个几何体的表面积可以写成： ， 则第（12）个几何体的表面积可以写成： ， 现在，用表示总面积，则， 再写成的形式， 则， 解得， 所以第（12）个几何体的表面积为468个平方单位． 11．一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：） (1)它可以近似看成由常见几何体________和_______组成的． (2)求它的体积（，，结果保留）． 【答案】(1)圆柱；圆锥 (2) 【分析】（1）根据三视图判断几何体的组成； （2）根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算出圆柱、圆锥的体积，再将两者相加得到“粮仓”的体积． 【详解】（1）解：根据所给三视图，可以判断“粮仓”近似由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱在下，圆锥在上． （2）解：由题意可知，圆柱的底面直径为，高为，圆锥的底面直径为，高为（）， （）， （）， （）． 答：它的体积为． 12．如图，在平整的地面上，9个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体． (1)在网格中画出从正面看、从左面看和从上面看的形状图； (2)如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上油漆，求这个几何体喷漆的面积． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看到的形状图不变，最多可以再添加____________个相同的小立方块． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先确定观察方向，因为从正面看的形状图反映几何体的列数和每列最高层数，所以先数出几何体的列数，再确定每列小正方形的层数，同理确定从左面看、从上面看的形状图的行列分布与层数，对应在网格中绘制． （2）因为喷漆不含底面，所以分别统计前、后、左、右、上五个方向的正方形面的数量加上已经暴露出被遮挡的正方形的数量，每个面面积为，用面数乘单个面面积得到总面积；也可利用三视图的面积关系计算，前后面面积相等、左右面面积相等． （3）因为要保持从上面看的形状图不变，所以底层小正方体的位置不能改变，又因为要保持从正面看的形状图不变，所以每一列的最大层数不能超过原几何体该列的最大层数，逐个位置判断可添加的小正方体数量，求和得到最多添加量． 【详解】（1）解：从正面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、2； 从左面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、1、1； 从上面看：共3列，从左到右每列的正方形数量依次为3、2、1． 按照上述数量在对应网格中填充正方形即可得到符合要求的形状图． （2）解：小正方体每个面的面积为 ，我们分别统计几何体不含底面的外表面的正方形面数： 前面、后面各能看到6个正方形面，共 个； 左面、右面各能看到5个正方形面，共 个； 顶面（不含底面）能看到6个正方形面． 左面、右面都不能看到暴露出的2个正方形面． 总面数为 ， ∴喷漆总面积为 ； （3）保持从正面看、从上面看到的形状图不变，需保证从正面向后看三列的最大高度仍分别为3、1、2： 从正面看第一列的层数最多3层； 从上面看左面一列的中间行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）， 下面行的位置最多可加2个小立方块（该列最大高度要求为3，可补2层）． 因此最多可以再添加 4个小立方块． 13．如图，由若干个完全相同棱长为1厘米的小正方体堆成一个几何体， (1)请分别画出该几何体从正面看、从左面看、从上面看所得到的图形． (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不包含下底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需_______克漆； (3)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)如图： (2) (3) 【分析】（1）根据从不同方向看到的图形画图即可. （2）根据能看到的面数与被遮挡的面数进行计算即可． （3）确定添加的位置即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）解：如果在这个几何体露在外面的表面（不包含下底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用3克，则共需克漆 （3）解：如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加个小正方体，如图： 14．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 15．鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【分析】证明，得，整理得①；再证明，得，整理得：②，联立①②得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， 又，（米）， ∴， ∴， 整理得：② 联立①②得， 解得， ∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $