2.3等腰三角形的性质定理（分层作业，16大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 2.3 等腰三角形的性质定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的边与角 题型02 等边对等角 题型03 等边对等角与角的计算和证明 题型04 三线合一的性质 题型05 与三线合一有关的计算与证明 题型06 等腰三角形与基本作图问题 题型07 利用等腰三角形的性质解决实际问题 题型08 等边三角形的性质 题型09 等边三角形的有关计算 题型10 根据等边三角形的性质证明 题型11 等边三角形与角的计算和证明 B组 能力进阶 题型 等腰三角形与分类讨论思想 C组 思维拔高 题型01 等腰三角形与新定义问题 题型02 等腰三角形与动点问题 题型03 与等边三角形有关的折叠问题 题型04 等边三角形中的动点问题 等腰三角形的边与角题型01 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 3．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为16，BC=7，则AB的长为_____． 4．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 等边对等角题型02 1．（24-25八年级下·广东河源·月考）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江丽水·二模）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，且，则 _________．    5．等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°． 等边对等角与角的计算和证明题型03 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为___________． 2．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则___________． 3．在△ 中，垂直平分，分别交于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若 ，求的度数； (3)若，直接写出用α表示大小的代数式． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，在中，垂直平分边，分别交于点，垂直平分边，分别交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与，之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于________． 三线合一的性质题型04 1．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC； ②AD=BC；③∠B=∠C； ④BD=CD．正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．等腰，，平分交于，如果，则______． 4．如图，在中，，是的高，，求的度数． 5．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 与三线合一有关的计算与证明题型05 1．如图，在中，于D，的周长为，那么______．    2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 3．在中，，于点．若，则的度数为_________． 4．（24-25七年级下·重庆·期末）在等腰三角形中，，D是的中点．若2，则   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点．若AD=3cm，求AB的长． 等腰三角形与基本作图问题题型06 1．（2025·河北邯郸·模拟）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：四边形．求作：点P，使点P在四边形内部，且到边，的距离相等，． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，且，连接． (1)作的平分线交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，求证：． 4．已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（    ） A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B 利用等腰三角形的性质解决实际问题题型07 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（    ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2．（25-26七年级下·山西·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某金属零件结构如图所示，主体外框为正六边形，为加固零件，焊接了金属条，，则的度数为______． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______ 5．（24-25九年级下·广东梅州·月考）图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂，两臂夹角时，求，两点间的距离．（结果精确到 ，参考数据： ，，） 等边三角形的性质题型08 1．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则    ）    A． B． C． D． 等边三角形的有关计算题型09 1．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 2．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 3．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．128 4．（24-25八年级上·吉林·期中）若等边的周长为，则________． 5．如图，在等边中，，，则的长为___． 根据等边三角形的性质证明题型10 1．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 等边三角形与角的计算和证明题型11 1．如图，等边的顶点A、B分别在网格图的格点上，则的度数为(       ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 3．（25-26七年级上·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 4．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·联考）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 等腰三角形与分类讨论思想题型 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 3．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5．若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 等腰三角形与新定义问题题型01 1．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 等腰三角形与动点问题题型02 1．如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________.    2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为______． 3．（25-26八年级·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 4．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 5．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为12，则长度的最小值为 ______ ． 与等边三角形有关的折叠问题题型03 1．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当时，则的度数是______． 等边三角形中的动点问题题型04 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 2．如图，是等边三角形，于点D，点是点关于直线的对称点，连接，，交于点． （1）若，则______； （2）若点在线段上，连接，，则的最小值等于______的长度．（用图中的某一条线段表示） 3．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是_____． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3 等腰三角形的性质定理 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等腰三角形的边与角 题型02 等边对等角 题型03 等边对等角与角的计算和证明 题型04 三线合一的性质 题型05 与三线合一有关的计算与证明 题型06 等腰三角形与基本作图问题 题型07 利用等腰三角形的性质解决实际问题 题型08 等边三角形的性质 题型09 等边三角形的有关计算 题型10 根据等边三角形的性质证明 题型11 等边三角形与角的计算和证明 B组 能力进阶 题型 等腰三角形与分类讨论思想 C组 思维拔高 题型01 等腰三角形与新定义问题 题型02 等腰三角形与动点问题 题型03 与等边三角形有关的折叠问题 题型04 等边三角形中的动点问题 等腰三角形的边与角题型01 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理．等边对等角求出，进而得到即可．掌握等边对等角，30度角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，，       故选：B． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为16，BC=7，则AB的长为_____． 【答案】9 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线和已给的周长的值即可求出答案． 【详解】∵DE是AB的中垂线 ∴AE=BE， ∵△BCE的周长为16， ∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=16， ∵BC=7， ∴AC=9， ∴AB=AC=9. 故答案为9. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题关键在于利用线段的垂直平分线. 4．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 等边对等角题型02 1．（24-25八年级下·广东河源·月考）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等腰三角形中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质等边对等角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据等腰三角形的性质等边对等角的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A 3．（2025·浙江丽水·二模）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得，再由三角形内角和定理得出，进而可求的度数． 【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在中，，且，则 _________．    【答案】 【分析】根据，得到，结合三角形内角和定理直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和． 5．等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°． 【答案】30 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出底角的度数． 【详解】解：设底角的度数为， 由题意得， ， 解得． 等边对等角与角的计算和证明题型03 1．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为___________． 【答案】75° 【分析】根据等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质求解即可． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠DAC=∠BAC=30°， ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED==75°． 故答案为75°． 2．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则___________． 【答案】##36度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线得到，再根据等腰三角形的性质和角平分线的性质得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 3．在△ 中，垂直平分，分别交于点D，E，垂直平分，分别交于点M，N． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若 ，求的度数； (3)若，直接写出用α表示大小的代数式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角可得，同理可得，，然后利用三角形的内角和定理求出，再根据代入数据进行计算即可得解； （2）同（1）的思路，最后根据代入数据进行计算即可得解； （3）根据前两问的求解，分与两种情况解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵， 由（1）（2）得： 当时，； 当时，． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，在中，垂直平分边，分别交于点，垂直平分边，分别交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)通过以上的探索过程，请根据图与图分别写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （2）由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． （3）由（1）（2）即可总结得出结论． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， 同理， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 同理， ， ； （3）解：由图知当时， ； 由图2知时， ． 5．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于________． 【答案】##30度 【分析】本题主要考查三角形内角和，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：线段的垂直平分线交于，交于， ， ， 等腰中，，， ， ． 故答案为：． 三线合一的性质题型04 1．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC； ②AD=BC；③∠B=∠C； ④BD=CD．正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】试题解析：①∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD平分∠CAB， ∴AD⊥BC，故本小题正确； ②∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C， ∵∠B与∠BAC的大小不能确定， ∴AD与BC的长度无法比较，故本小题错误. ③∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C，故本小题正确； ④∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AD平分∠CAB， ∴BD=CD，故本小题正确. 故选C. 2．将一副三角尺如图放置，顶点C重合，点D在上，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了三角板中角度计算，等腰三角形的性质等知识点，根据三角板的特征知，是等腰直角三角形，，，结合，根据等腰三角形的性质得，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意知，是等腰直角三角形，，， 又∵， ∴平分， ∴． ∵， ∴， 故选：B． 3．等腰，，平分交于，如果，则______． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵等腰，，平分交于， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 4．如图，在中，，是的高，，求的度数． 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数 【详解】解：∵在中，，是的高， ∴平分， ∵， ∴ ． 5．已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 与三线合一有关的计算与证明题型05 1．如图，在中，于D，的周长为，那么______．    【答案】3 【分析】由已知可求得等腰三角形的底边长，等腰三角形的性质可得，即可求得结果． 【详解】解：∵，的周长为， ∴， 即； ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键． 2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）在等腰中，，，分别是的中线和角平分线．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的相关计算，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质求出，结合题意求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：是的中线，且， ，即， ， 是的角平分线， ． 3．在中，，于点．若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形两底角相等求出的度数，再利用等腰三角形三线合一的性质得到平分，即可计算出的度数. 【详解】解：，， ， ， ，， 平分， . 4．（24-25七年级下·重庆·期末）在等腰三角形中，，D是的中点．若2，则   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角所对直角边等于斜边一半，由等腰三角形的性质得，，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点．若AD=3cm，求AB的长． 【答案】6cm 【分析】根据三线合一以及三角形的内角和定理，可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵AB=AC， ∴， ∵∠BAC=120°，D是BC的中点 ∴ AD=3cm， ，即AB的长为6cm． 【点睛】本题考查了三线合一以及三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 等腰三角形与基本作图问题题型06 1．（2025·河北邯郸·模拟）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等等知识点，由题意得直线是的垂直平分线，推出，；求出即可求解； 【详解】解：由尺规作图知，直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ． 故选：B 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：四边形．求作：点P，使点P在四边形内部，且到边，的距离相等，． 【答案】 如图，点P就是求作的点． 证明：连接，如下图所示， ∵平分，点P在上， ∴点P到，的距离相等， ∵是的垂直平分线，点P在上， ∴， ∴， 【分析】本题考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，掌握角平分线和垂直平分线的性质是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线，两条线交于点P，点P即为所求． 【详解】略 3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在四边形中，且，连接． (1)作的平分线交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，若，求证：． 【答案】(1) 如图所示， 即为所求作： (2) 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形“三线合一”的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握基本尺规作图步骤，掌握等腰三角形的性质，会利用全等三角形的性质判断线段数量关系是解答的关键． （1）根据角平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再利用垂直定义和等角的余角相等证得，然后利用证明，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 4．已知，线段a，求作：等腰，使得顶角，上的高为a． 【答案】 为所求的三角形． 【分析】先作一等角，然后利用三线合一的性质作角的平分线，取长为a，再过此点作垂线交的两边于B，C． 【详解】作法：(1)作， (2)作的平分线，并在射线上截取， (3)过点D作直线分别交的两边于B，C， 则为所求的三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规作图，解决此题的关键是熟悉作等角，作角平分线，过已知点作垂线的尺规作图． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（    ） A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B 【答案】D 【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，再根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线， ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项正确， D选项则不一定正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及等腰三角形的性质等知识，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 利用等腰三角形的性质解决实际问题题型07 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，为了改善小区的照明情况，物业将安装一批新的路灯，为了让路灯垂直于地面，施工人员的操作方法是：从路灯上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到灯脚的距离相等时，路灯就垂直于，这种操作方法的依据是（    ） A．垂线段最短 B．等边对等角 C．等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的“三线合一”性质，关键是识别图形中的等腰三角形，并利用其性质判断垂直关系． 【详解】解：已知，所以是等腰三角形． 又因为，所以是等腰底边上的中线． 根据等腰三角形“三线合一”的性质(等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合)，可知也是底边上的高，即． 因为点在路灯上，所以． 因此，这种操作方法的依据是“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”． 故选：C． 2．（25-26七年级下·山西·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某金属零件结构如图所示，主体外框为正六边形，为加固零件，焊接了金属条，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，多边形的外角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角定理，掌握正多边形的性质和多边形的外角和为是解题的关键． 先计算正六边形的一个外角的度数，再求正六边形一个内角的度数，根据等边对等角求解即可． 【详解】正六边形的一个外角的度数为：， 正六边形的一个内角的度数为：，即， 在正六边形中，， ∴， 故答案为： 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，，点O，A可在槽中滑动，若，则的度数是______ 【答案】##26度 【分析】本题考查等腰三角形性质与三角形外角性质，运用逻辑推理思想，通过等边对等角推导角度关系，利用三角形外角性质建立与的联系；解题关键是利用等腰三角形和外角性质逐步推导角度倍数关系；易错点是对三角形外角性质的应用及角度推导逻辑混淆；根据，利用等腰三角形性质和三角形外角性质，推导与的倍数关系，进而求解． 【详解】解：∵； ∴,； ∵是的外角； ∴； ∵是的外角； ∴; 故答案为． 5．（24-25九年级下·广东梅州·月考）图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂，两臂夹角时，求，两点间的距离．（结果精确到 ，参考数据： ，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质．连接，过点作，根据等腰三角形的性质可知，，利用求出的长，再根据求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作于D， ， ，， 在中，， ， 解得：， ． 等边三角形的性质题型08 1．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质． 根据等边三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】∵在等边中，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴． 故选：D． 2．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 等边三角形的有关计算题型09 1．如图，在等边三角形中，，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形以及平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形以及平行线的性质可得，从而得到，再由含30度角的直角三角形的性质解答，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　） A．64 B．32 C．16 D．128 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质和∠MON＝30°，可得A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，再由△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，可得，从而得到，可得到A2B2＝2B1A2，同理B3A3＝2B2A3，进而得到A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，即可求解． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°， ∵∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝30°， ∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°， ∴A2B1＝1， ∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴A2B2＝2B1A2， 同理B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16， 以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64． 故选：A 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）若等边的周长为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，牢记等边三角形的性质是解题的关键：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于． 根据等边三角形的性质及已知条件即可直接得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， 又等边的周长为， ， ， 故答案为：． 5．如图，在等边中，，，则的长为___． 【答案】##2.5 【分析】根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得DC的长度． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，且， ∴D为BC的中点（三线合一），且BC=AB=5， ∴ 故答为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 根据等边三角形的性质证明题型10 1．如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 等边三角形与角的计算和证明题型11 1．如图，等边的顶点A、B分别在网格图的格点上，则的度数为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等边三角形的性质，平行线的性质．关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． 设与网格线交于点D，与网格线交于点F，连接，取格点E，使，此时，，为等腰直角三角形，可得，再根据为等边三角形，可得，从而得到，然后，即可求解． 【详解】解：如图：设与网格线交于点D，与网格线交于点F，连接，取格点E，使，此时，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 【答案】##度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】##75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 4．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级下·辽宁沈阳·联考）如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 等腰三角形与分类讨论思想题型 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；分的角为顶角和底角时分情况讨论即可． 【详解】解：当的角为顶角时，即顶角为， 当的角为底角时，顶角， 综上，顶角为或， 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据未明确给出是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为计算底角即可． 【详解】解：当为底角时，则另一个底角是； 当为顶角时，可得底角为. 则该等腰三角形的底角为或． 3．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，合理分析图形是解题的关键． 分类讨论等腰三角形的形状，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况，如图①，，： ∴， ∴； 如图②，，， ∴，， ∴； 故选：D． 4．如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴不存在； 综上所述，或， 故选：D． 5．若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 【答案】7.5 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（20-5）÷2=7.5（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是20-5×2=10（cm），不能够组成三角形． 故答案为7.5． 【点睛】此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法． 等腰三角形与新定义问题题型01 1．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接． ①若，求证：是“倍角三角形”； ②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③ (2) ①证明：， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， ， ， ， ， 是“倍角三角形”； ②的度数为或或或 【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； （2）略 ②解：由可得， 如图， 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 是等边三角形， ， ， ， 是“倍角三角形”， 或， 或； 若是等腰三角形，则是“倍角三角形”， 或或或， 当时， ， ； 当时，， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 等腰三角形与动点问题题型02 1．如图，等腰三角形的底边长为4，面积为24，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________.    【答案】14 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，连接，根据三线合一定理得到，进而根据三角形面积公式求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则的周长，故当三点共线时，最小，即此时的周长最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵等腰三角形的底边长为4，点为的中点， ∴， ∵等腰三角形的面积是24， ∴， ∴， ∴； ∵腰的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：14． 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交边于M，N点．若点D为边上一动点，点P为直线上一动点，当的值最小时，周长为______． 【答案】11 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点E，连接，由，的面积是18，求得，由垂直平分，得，由，可知当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，的值最小，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点E，连接，则， ∵，的面积是18， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当，且的值最小时，的值最小， ∴当与重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，，此时的值最小， ∴， ∴当的值最小时，周长为11， 故答案为：11． 3．（25-26八年级·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系， 连接，根据等腰三角形的性质得，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得即可得出答案. 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 4．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 5．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为12，则长度的最小值为 ______ ． 【答案】6 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．利用三角形的面积公式求出，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． ∵为中点，， ∴点与点重合， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故答案为：6． 与等边三角形有关的折叠问题题型03 1．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当时，则的度数是______． 【答案】##70度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质，解题的关键是掌握折叠的性质和等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，算出，根据折叠的性质得出即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 根据折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 等边三角形中的动点问题题型04 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 2．如图，是等边三角形，于点D，点是点关于直线的对称点，连接，，交于点． （1）若，则______； （2）若点在线段上，连接，，则的最小值等于______的长度．（用图中的某一条线段表示） 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，轴对称的性质，理解轴对称的性质构建线段和的最小值时点的位置是解本题的关键； （1）利用等边三角形的性质可得答案； （2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为，由点是点关于直线的对称点，可得当与点关于直线的对称时，此时最短，且． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴为的中点，， ∵， ∴． （2）如图，记与的交点为，连接，，，记与的交点为， ∵，， ∴，    ∵点是点关于直线的对称点， ∴当与点关于直线对称时，，， ∴， 此时最短，且， 故答案为：，． 3．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是_____． 【答案】30° 【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小． 【详解】解：由题意知，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值， 连接BD交MN于P， ∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴PA=PC， ∴∠PCD=∠PAD=30°． 故答案为：30° 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $