12.6 等腰三角形（等腰三角形的性质与判定）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.6 等腰三角形（等腰三角形的性质与判定） 题型一 利用等边对等角求解 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A． B． C．或 D．或 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，．若边上有一点D，使是等腰三角形，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 题型二 利用等边对等角进行证明 5．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示：在中，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，，，，下列结论正确的有（    ）    ①平分；                        ②； ③；                        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024八年级上·北京·专题练习）已知：如图，在中，，点，在边上，且求证：．求证：． 8．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三 利用三线合一求解 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 11．（24-25八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 12．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图1，在中，，点是边的中点，连接，边的垂直平分线交于点，连接．    （1）当时，如图2，则的度数为 °； （2）当时，的度数为 （用含的式子表示）． 13．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    题型四 利用三线合一证明 14．（21-22八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 15．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ． 16．（20-21八年级上·北京·期中）如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C= ． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 题型五 找出图中的等腰三角形 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 19．（24-25八年级下·全国·假期作业）有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 题型六 利用等角对等边证明等腰三角形 21．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 22．（22-23八年级上·北京·期中）如图，点为的外角平分线上的一点，. (1)求证：是等腰三角形； (2)若点在线段上，满足，连接，，补全图形，求证：. 题型七 利用等角对等边求边长或证明边相等 23．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图， ，BD是的平分线，AE，求证：AH=DF． 24．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 25．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，中，平分，分别交、于D、E两点，，．过D作于F，． (1)求的长； (2)求的面积． 26．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 27．（22-23八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型一 格点中画等腰三角形 28．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 29．（21-22八年级上·北京房山·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形． 题型二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 30．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中标出点A，点B关于x轴的对称点，的位置， (2)写出，的坐标：________，________； (3)已知点C在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点C有________个，并写出任意两个符合条件的点C的坐标：________，________． 31．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 32．（21-22八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标：　　，　　； (2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形，　　，　　； (3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 　　个． 题型三 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 33．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 34．（19-20八年级上·江西吉安·期末）直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A． (1)求直线与坐标轴围成的面积； (2)在x轴上一动点P，使是等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示时点P的坐标； (3)直线与直线相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线上一点，若的面积是的面积的两倍，求点Q的坐标． 35．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 题型四 等腰三角形性质与判定综合 36．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 37．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图1，在中，，于点，在上截取一点，使．过点作，交于点E． (1)设，试求出和的大小（用含的代数式分别表示）； (2)用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． 38．（11-12八年级上·北京·期中）如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证是等腰三角形； (2)若，求的度数； (3)若，的周长为，求的周长． 39．（24-25八年级上·北京东城·期末）在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点． (1)当点C在如图1所在位置时，请补全图形． ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②写出此时，，之间的数量关系，并证明； (2)当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同） 40．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 41．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 42．（23-24八年级上·北京海淀·期中）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”． (1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______； (2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______； (3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______． 43．（20-21八年级上·北京西城·期末）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.6 等腰三角形（等腰三角形的性质与判定） 题型一 利用等边对等角求解 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如果等腰三角形的一个角为，那么其余两个角为（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①角是顶角时，底角， 所以，其余两个角是； ②角是底角时，顶角， 所以，其余两个角是； 综上所述，其余两个角是或． 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，．若边上有一点D，使是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；分、两种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则， 综上所述：的度数为或， ，， ， ， 的情况不存在， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）在四边形中， (1)如图①，求证： (2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由角的和差关系可证明结论； （2）由三线合一定理得到，再由四边形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵，M、N分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二 利用等边对等角进行证明 5．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图所示：在中，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质、全等三角形的判定定理等知识，根据题中条件，由等腰三角形性质即可验证各个结论正确与否，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则，②正确； ，即是等腰顶角的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”可知，③④正确； ，，， ，①正确； 综上所述，结论正确的有①②③④四个， 故选：D． 6．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，，，，下列结论正确的有（    ）    ①平分；                        ②； ③；                        ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据已知，，想到构造一个等腰三角形，所以延长，在的延长线于取点，使得，就得到，然后再证明，就可以判断出平分，再由角平分线的性质想到过点作，交的延长线于点，从而证明，即可判断． 【详解】解：延长，在的延长线于取点，使得，过点作，交的延长线于点，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故正确的由①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键． 7．（2024八年级上·北京·专题练习）已知：如图，在中，，点，在边上，且求证：．求证：． 【答案】见解析；见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再根据即可得出结论． 【详解】证明：，， ，， ， 在与中， ， ． 8．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到相等的角． （1）根据等腰直角三角形的性质找出的角和相等的边，再运用判定直角三角形全等即可； （2）根据为等腰直角三角形，可知，则，再结合以及（1）中所证明得全等三角形可得，进而可得到答案． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，， ， 在和中， ，， ． （2）解：为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 因此的度数为． 题型三 利用三线合一求解 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴， 过点作，则轴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选C． 10．（22-23八年级上·北京·阶段练习）如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质；过点P作于点D，则，由等腰三角形的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点P作于点D， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 11．（24-25八年级上·北京丰台·期末）为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 【答案】 正确 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合 【分析】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的． 根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，解答即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，即挂铅锤的绳与镜框垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合） 故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合． 12．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图1，在中，，点是边的中点，连接，边的垂直平分线交于点，连接．    （1）当时，如图2，则的度数为 °； （2）当时，的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质及点是边的中点，边的垂直平分线交于点，得到，，再由，即可得出结果； （2）根据等腰三角形的性质及点是边的中点，边的垂直平分线交于点，得到，，再由，即可得出结果． 【详解】解：（1） ， 是等腰三角形， 点是边的中点，边的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2） ， 是等腰三角形， 点是边的中点，边的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 【详解】证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 题型四 利用三线合一证明 14．（21-22八年级上·北京·期末）如图，等腰中，，D为的中点，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质； 根据等腰三角形的三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．∵，D为的中点， ∴，故B不符合题意； C．∵，D为的中点， ∴，故C不符合题意； D．无法得出，故D符合题意； 故选：D． 15．（20-21八年级上·北京·期中）如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，作于点，根据含的直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【详解】解：连接，作于点， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 16．（20-21八年级上·北京·期中）如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．若BE∥AC，则∠C= ． 【答案】60°/60度 【分析】根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数． 【详解】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°． ∵BE//AC，∴∠EAC=90°． ∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2． ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键． 17．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵，即， ， 故答案为：． （2）解：． 证明：过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 题型五 找出图中的等腰三角形 18．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)和 (2)和 (3)等腰三角形有：和；等边三角形有： 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有和； （2）解：以为边的三角形有和； （3）解：∵， ∴等腰三角形有：和； 等边三角形有：． 19．（24-25八年级下·全国·假期作业）有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】解：①如图， ，， ∴，都是等腰三角形． ②如图， ，， ∴，是等腰三角形． 20．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 题型六 利用等角对等边证明等腰三角形 21．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，   ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（22-23八年级上·北京·期中）如图，点为的外角平分线上的一点，. (1)求证：是等腰三角形； (2)若点在线段上，满足，连接，，补全图形，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，由外角的性质得，通过等量代换可得，进而可得，即可证明是等腰三角形； （2）先证，再利用证明 ，即可推出． 【详解】（1）证明：由题意知平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：补全后的图形如下所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ． ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，难度不大，能够综合应用上述知识是解题的关键． 题型七 利用等角对等边求边长或证明边相等 23．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图， ，BD是的平分线，AE，求证：AH=DF． 【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的性质定理得出DA=DF，再根据直角三角形两锐互余与对顶角性质证得∠ADB=∠AHD，即可由等角对等边得出结论． 【详解】证明： DF⊥BC， ∴∠BFD=∠BAD=90°， BD是∠BAC的平分线，即∠ABD=∠CBD， DA= DF， ∵AE⊥AB， ∴∠BEH=∠BAD =90°， ∴∠ABD+∠ADB=∠EBH+∠BHE =90°， ∵∠AHD=∠BHE，∠ABD=∠EBH， ∠ADB=∠AHD， AH= AD， AH=DF． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 24．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 的长为10． 25．（22-23八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，中，平分，分别交、于D、E两点，，．过D作于F，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质可得，从而得到，即可求解； （2）过点作于点，由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点，如下图： ∵平分，， ∴ 由题意可得：， 【点睛】此题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 26．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等角对等边，角平分线的判定，平行线的性质，由为等边三角形，则，又，可证明，即是等边三角形，再由角平分线和平行线的性质证明，从而求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（22-23八年级上·北京房山·期末）如图，在中，，平分交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3 【分析】（1）根据平分，证明，最后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理列出方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点D作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明，根据勾股定理列出方程． 题型一 格点中画等腰三角形 28．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上．    (1)在图1中，画出与关于直线l成轴对称的； (2)在图2中，在直线l上找出一点P，使得的值最大，该最大值为_____；（保留作图痕迹并标上字母P） (3)在图3中，在正方形网格中存在_____个格点，使得该格点与B、C两点构成以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，5 (3)5 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点，依次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，延长交直线于点，利用对称的性质和两点之间线段最短可得到点满足条件，再利用勾股定理计算即可； （3）根据等腰三角形的定义找到符合条件的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，点为所作； 其中的最大值为；    （3）如图，存在5个格点，使得该格点与、两点构成以为腰的等腰三角形． 故答案为：5．    【点睛】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了等腰三角形的定义． 29．（21-22八年级上·北京房山·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形． 【答案】见解析 【分析】当，和时，在网格中找出点C即可． 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相等是解题的关键． 题型二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 30．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中标出点A，点B关于x轴的对称点，的位置， (2)写出，的坐标：________，________； (3)已知点C在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点C有________个，并写出任意两个符合条件的点C的坐标：________，________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)7，（答案不唯一）． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）结合等腰三角形的判定可确定所有点C的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由图可得，． 故答案为：； （3）解：如图所示，所有符合条件的点C有7个， （答案不唯一）． 故答案为：7；（答案不唯一）． 31．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，并写出的坐标： _______，_______； (2)如果点在轴上，且是等腰三角形，试着写出一个满足条件的点的坐标：_______．这样符合条件的点共有_______个． 【答案】(1)图见解析，，； (2)，． 【分析】根据轴对称的性质画出图形并写出对称点的坐标即可； 选取一点与线段构成等腰三角形分三种情况：以点为等腰三角形的顶点为腰；以点为等腰三角形的顶点为腰；以为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段的垂直平分线上． 【详解】（1）解：如下图所示， 分别作点、关于轴的对称点、， 连接，线段与线段关于轴对称； 已知点、的坐标分别是、， 的坐标是，的坐标是； （2）解：当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如下图所示， 当以点为等腰三角形的顶点为腰时， 在轴上有两个点使、， 可以看出点、、在同一条直线上，不能构成三角形， 在轴上有个点可以与线段组成等腰三角形， 如下图所示， 当以为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的顶点在线段的垂直平分线上， 如下图所示，可以发现这个点恰好是原点． 综上所述，在轴上有个点可以与线段构成等腰三角形，其中一个满足条件的点是． 【点睛】本题考查了轴对称变换和等腰三角形的性质．关于轴对称的两个点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；有两条边相等的三角形是等腰三角形． 32．（21-22八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接． (1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标：　　，　　； (2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形，　　，　　； (3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 　　个． 【答案】(1)见解析，；； (2)； (3)7 【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标； （2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可； （3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，、； 故答案为：；； （2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点； 故答案为：； （3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个． 【点睛】本题考查了作图轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 题型三 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 33．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 34．（19-20八年级上·江西吉安·期末）直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A． (1)求直线与坐标轴围成的面积； (2)在x轴上一动点P，使是等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示时点P的坐标； (3)直线与直线相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线上一点，若的面积是的面积的两倍，求点Q的坐标． 【答案】(1)24 (2)（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或（，0） (3)（）（） 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0）．当AB=PB=10时，OP=18或2； 当AB=AP时OP=OB=8；当AP=PB时，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （3）解方程组得到C（），根据已知条件得到Q点的纵坐标为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 当x=0时，y=6； 当y=0时，x=8； ∴． （2）如图， 由（1）知A（0，6），B（8，0）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB=10， ∵是等腰三角形， ∴当AB=PB=10，OP=18或2， ∴P（18，0）或（－2，0）； 当AB=AP时，OP=OB=8， ∴P（－8，0）； 当AP=PB时， 设OP=x，则AP=BP=8－x， 由， 得：， 解得：， 此时P（）； 综上所述，点P的坐标为：（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或P（）． （3）联立 解得： ∴C（） ∵△BQD的面积是△BCD的面积的两倍， ∴Q点的纵坐标为， 把y=代入y=x+3， 得x=， 把y=－代入y=x+3， 得x=， ∴Q（）或（） 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 35．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 题型四 等腰三角形性质与判定综合 36．（24-25八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上． (1)如图1，若点在轴正半轴上，，，交轴于点， ①若，则______： ②若点的坐标为，求点坐标． (2)如图2，若点在轴负半轴上，轴于点，轴于点，，交直线于点，若点，，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)的长为． 【分析】本题考查了几何与坐标，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①先得到是等腰直角三角形，再得出，，利用三角形外角的定义即可求解； ②作轴于点轴于点，则，证明，得到，即可求解； （2）作于点，则，先证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②如图1，作轴于点轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴； （2）解：如图2，作于点，则， ，，轴于点，轴于点， ∴，，，， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴的长为． 37．（24-25八年级上·北京·期中）已知：如图1，在中，，于点，在上截取一点，使．过点作，交于点E． (1)设，试求出和的大小（用含的代数式分别表示）； (2)用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的两锐角互余求出，根据三角形内角和定理、平行线的性质求出； （2）延长至M，使，证明，根据全等三角形的性质得到，得到，进而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下：如图1，延长至M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（11-12八年级上·北京·期中）如图，在中， ， 的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证是等腰三角形； (2)若，求的度数； (3)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，利用等边对等角求得的度数，则可求得的度数； （3）将的周长转化为的长即可求得． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在中， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长． 39．（24-25八年级上·北京东城·期末）在中，，，C为直线上一点（点C不与点O，点B重合），点C关于点B的对称点为点D，连接，在直线上取一点E，使，直线交直线于点． (1)当点C在如图1所在位置时，请补全图形． ①若，求的度数（用含的式子表示）； ②写出此时，，之间的数量关系，并证明； (2)当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一个，，之间的数量关系．（要求：和（1）中，，之间的数量关系不同） 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2) 【分析】①可得出，，从而得出，进而得出，进一得出结果； ②作于G，在中得出，可推出，进一步得出结果即可． 当点C在上时，作于G，同样得：，，，进一步得出结果． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用直角三角形的性质． 【详解】（1）①根据题意，补图如下： ，， ， ， ， 点C和点D关于点B对称， ， ， ， ； ， ． ②如图1， ，理由如下： 作于G， ， ， ， ， ， ， ． （2）如图2， 当点C在上时，作于G， 由②知，，， ． 40．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，． (1)如图1，，点在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；② (2)或 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形及等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当点P在直线右下方时，如图所示： 延长至F，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴为等腰三角形，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在直线左下方时，如图所示： 同理得：，，， ∴， 综上可得：或． 41．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 42．（23-24八年级上·北京海淀·期中）设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”． (1)设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度”______； (2)设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标：______； (3)以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围：______． 【答案】(1) (2)或． (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出底边的高为1，再根据“胖瘦度”的定义求出k； （2）根据“逐梦三角形”的定义，等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直分三种情况讨论，由点坐标结合“胖瘦度”，求出底边和底边的高即可解答， （3）根据“逐梦三角形”的定义，分P在正方形内和外两种情况以及“逐梦三角形”底边的高小于5，“胖瘦度”，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：如图，    ∵是底边长为2的等腰直角三角形， ∴， 又∵是高， ∴， ∴等腰直角的“胖瘦度”； 故答案为：， （2）设以P，Q为顶点的“逐梦三角形”为， 因为，点Q为y轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况，、 ①当为底边时，若轴，如图：    则底边上的高长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， ②当为底边时，若轴，为底边的高，如图：    则底边长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， ③当为底边时，若轴，为底边的高，如图：    则底边上的高长为， ∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”， ∴， ∴， ∴此时点Q坐标为， 综上所述：点Q的坐标或． （3）①当时，点P在正方形内，如图：    此时点P到正方形边的两个较小距离，， 若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，则，， ∴，解得， ②当时，点P与点A的重合，此时正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， ③当时，点P在正方形外，如图： +    此时点P到正方形边的两个较小距离，， 若正方形边上存在点使得，的“逐梦三角形”满足且， 当点Q在上，为“逐梦三角形”底边的高时，， ∵，即， ∴底边的一半为：， ，不等式无解，故此此时不存在点； 当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，，， ，解得， ∴即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， 当点在上，为“逐梦三角形”高时，，“逐梦三角形”为底边一半为：， ，不等式无解，故此此时不存在； 当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，“逐梦三角形”为底边为：，底边的高为：， ，解得，即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且， ④到、的距离大于5，故、没有满足条件的点， 综上所述：当或或时不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义，坐标与图形，不等式的应用，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．理解新定义，学会用数形结合、分类讨论解决问题是解题关键． 43．（20-21八年级上·北京西城·期末）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$