期中真题重组卷（长沙专用，新教材人教版九上第25～28章）九年级数学上学期模拟卷

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B B B A A B D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13． 14． 15．8 16．②③④ 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】（1）解：， 提公因式得，······（1分） 或，······（1分） 故，．······（1分） （2）解：， ，，， ，······（1分） ，······（1分） 故，．······（1分） 18．（6分） 【答案】(1) 如图，即为所求． ；······（2分） ······（1分） （2）解：，······（1分） 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为．······（2分） 19．（6分） 【详解】（1） 解：∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴，······（1分） ∵， ∴， ······（1分） 解得；······（1分） （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ······（1分） 解得；······（1分） ∵，符合题意， ∴的值为.······（1分） 20．（8分） 【详解】（1）解：设每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出个有益菌，······（1分）         ······（1分） 解得，（不合题意，舍去）   ······（1分）  答：每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出9个有益菌．······（1分） （2）解：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为 （个）······（3分） 答：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为100000个．······（1分） 21．（8分） 【详解】（1）解：根据题意得： ．······（4分） （2）解：根据题意得： ······（1分） ，······（1分） 对称轴，······（1分） ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元．······（1分） 22．(8分) 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， ······（1分） 根据题意，的解析式为， 根据题意，得，······（1分） 解得， 的解析式为．······（1分） （2）解：不等式即，······（1分） 观察图象得：此时或．······（1分） （3）解：根据题意，与y轴的交点为， ，，······（1分） ．······（2分） 23．（10分） 【答案】(1) 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，······（1分） 在和中， ， ∴， ∴；······（2分） （2）解：如图1，过点作交的延长线于点， ······（1分） ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，······（1分） ∴ ， 在中，， ∴；······（1分） （3）存在．如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ，······（1分） ∵， ∴， ∴是等边三角形，······（1分） ∵， ∴是线段的垂直平分线，如图， ∵是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是同一条直线， ∴点与点重合，即， 设与交于点，则，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，······（1分） ∴， ∴．······（1分） 24．（10分） 【答案】(1)点不是二次函数的“对称点”，理由如下：······（1分） ∵二次函数的顶点坐标为， ∴，，······（1分） ∴，故点不是二次函数的“对称点”．······（1分） （2）解：∵， ∴顶点坐标为．······（1分） ∵函数G的图象经过原点，∴． 由题意可知：，， ∴． ∵函数的“对称距”为4，即， ∴或． 当时，． 将代入，得， 解得或（舍去）；······（1分） 当时，． 将代入， 得，， ∴无实数解． 综上，；······（1分） （3）解：由（2）可知：，， ∴．······（1分） ∵， ∴．······（1分） ∵对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为，······（1分） 当或3时，y有最大值，最大值为， ∴．······（1分） 25．（10分） 【答案】(1)①√；②×；③√······（3分） （2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ，······（1分） 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，，······（1分） ， ．······（1分） （3）当时，， 解得，，······（1分） 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得．······（1分） ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得．······（1分） 综上所述，实数h的取值范围为或．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第25~28章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（    ） A． B． C． D．． 5．（21-22九年级上·湖南长沙·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．（24-25九年级上·长沙周南集团·期中）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·长沙长郡集团·期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（   ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 8．（25-26九年级上·长沙浏阳·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·长沙岳麓区·阶段检测）若方程的两个实数根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若点，，则；④若，则，其中正确的结论是（     ） A．④ B．①②③④ C．①③ D．①③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（22-23九年级上·长沙县·期中）抛物线的顶点坐标是___________． 12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 13．（23-24九年级上·长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中， 已知反比例函数 的图象上有一点 A，过点 A 作 轴于B，且的面积是6，则反比例函数解析式为__________． 14．（25-26九年级上·长沙开福区·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 15．（25-26九年级上·长沙宁乡·期中）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 16．（25-26九年级上·长沙浏阳·月考）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论： ①；②；③；④不等式的解集是或. 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26九年级上·长沙浏阳·期中）选择适当方法解方程． (1)； (2)． 18．（25-26九年级上·长沙师大附中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 19．（26-27九年级上·长沙县·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 20．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）长沙县某农业科技园，为培育生态茶园所需的有益微生物，引进了100个活体样本．经过两轮培养后，有益微生物总数达到10000个． (1)求每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌． (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益菌？ 21．（26-27九年级上·长沙明德·月考）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 22．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 23．（24-25九年级上·长沙长郡集团·月考）如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转． (1)如图（2），正方形旋转到此位置，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，试求的长； (3)的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由． 24．（2026·长沙长郡集团·三模）我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 25．（25-26九年级上·长沙师大附中·期中）我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第25~28章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别,解题的关键是熟知其定义. 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、右边有分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知反比例函数，则下列各点中，在这个反比例图象上的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】B 【分析】根据点在函数图象上，点的坐标就应该满足函数的解析式，反过来点的坐标满足函数解析式，点就在该函数图象上，通过xy=-5即可确定答案． 【详解】解：A、1×5=5所以此点不在该函数图象上，故本选项错误； B、-1×5=-5所以此点在该函数图象上，故本选项正确； C、-1×（-5）=5所以此点不在该函数图象上，故本项错误； D、2×5=10所以此点不在该函数图象上，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟记点的坐标与函数解析式的关系是解题关键． 5．（21-22九年级上·湖南长沙·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程的判别式，再根据一元二次方程的根与的关系即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 一元二次方程的根的情况是有两个相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 6．（24-25九年级上·长沙周南集团·期中）把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题．根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，将原抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，即可确定平移后的解析式． 【详解】解：把抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是， 故选： 7．（25-26九年级上·长沙长郡集团·期中）小明查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过度，则下列说法正确的是（   ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出反比例函数的解析式，再求出当时，的值，从而结合图象可得出结论． 【详解】解：∵近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数， ∴设反比例函数的解析式为， ∵度近视眼镜的镜片焦距为米， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∵小明同学眼睛的近视度数不超过度， ∴， ∴， 即小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 8．（25-26九年级上·长沙浏阳·期中）2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京举行．大数据分析显示，2025年阅兵当日全球（不含中国内地）的相关信息量约为27.9万条，已知2015年同期阅兵的相关信息量约为3.1万条，若假设从2015年到2025年，全球相关信息量每五年平均增长率为，则可列方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键在于明确增长次数与时间间隔的关系． 根据平均增长率的计算公式来列方程求解即可． 【详解】根据题意，全球相关信息量每五年平均增长率为， 从2015年到2025年共10年，其中有2个5年， ． 故选：B． 9．（25-26九年级上·长沙岳麓区·阶段检测）若方程的两个实数根分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，根据两根之和等于，两根之积等于求出和，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴， 故选：． 10．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若点，，则；④若，则，其中正确的结论是（     ） A．④ B．①②③④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下、对称轴为，则当时，抛物线有最大值为， 对于任意时，，即，故①正确； 若，则，即， 由抛物线的对称性可知，故②错误； 抛物线与轴交于，两点，对称轴是直线， ，则， 将恒等变形为， 当时，要是不等式成立，只需， 由抛物线开口向下可知，而，则恒成立，故③正确； 设，其中， 由对称轴是直线，可得， 抛物线解析式可化为， ， ，则， 解得， ，即， ，则 ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（22-23九年级上·长沙县·期中）抛物线的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式顶点坐标公式可直接得到答案． 【详解】解：根据抛物线顶点式顶点坐标为得， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线顶点坐标，解题关键是记得顶点式及其顶点坐标． 12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 13．（23-24九年级上·长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中， 已知反比例函数 的图象上有一点 A，过点 A 作 轴于B，且的面积是6，则反比例函数解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二，四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（25-26九年级上·长沙开福区·期中）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为______． 【答案】/75度 【详解】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，关键是熟练应用旋转的性质． 先根据旋转的性质得到，再由等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得到，最后由即可求解． 【解答】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·长沙宁乡·期中）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______ 【答案】8 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入， 得 ， ，， ． 故答案为：8． 16．（25-26九年级上·长沙浏阳·月考）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论： ①；②；③；④不等式的解集是或. 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【详解】分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得到-2m=n故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确． 详解：由图象知，k1＜0，k2＜0， ∴k1k2＞0，故①错误； 把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得-2m=n， ∴m+n=0，故②正确； 把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得 ， ∴, ∵-2m=n， ∴y=-mx-m， ∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点， ∴P（-1，0），Q（0，-m）， ∴OP=1，OQ=m， ∴S△AOP=m，S△BOQ=m， ∴S△AOP=S△BOQ；故③正确； 由图象知不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确； 故答案为②③④． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．17-19题每题6分，20-22题每题8分，23-25题每题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（25-26九年级上·长沙浏阳·期中）选择适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键在于掌握解一元二次方程的各种方法，并且根据方程选择合适的方法尤为重要． （1）根据方程情况提公因式，分别令或，即可求解； （2）根据方程情况选用公式法，分别找到二次项系数，一次项系数，常数项，然后验证的情况，看有没有实数根，然后根据公式，即可求解． 【详解】（1）解：， 提公因式得， 或， 故，． （2）解：， ，，， ， ， 故，． 18．（25-26九年级上·长沙师大附中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 【答案】(1) 如图，即为所求． ； (2)点C的运动轨迹的长度为． 【分析】本题考查了中心对称图形的画法、旋转的性质以及弧长公式，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和弧长计算公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、的对称点、、的坐标，再画出图形； （2）先求出点到原点的距离，再根据弧长公式计算点的运动轨迹长度． 【详解】（1）略 （2）解：， 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为． 19．（26-27九年级上·长沙县·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求m的值． 【答案】(1) 的取值范围是 (2) 的值为 【详解】（1） 解：∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得； ∵，符合题意， ∴的值为. 20．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）长沙县某农业科技园，为培育生态茶园所需的有益微生物，引进了100个活体样本．经过两轮培养后，有益微生物总数达到10000个． (1)求每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌． (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益菌？ 【答案】(1)每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出9个有益菌 (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为100000个 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，掌握该知识点是解题的关键． （1）设每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出个有益菌，则第一轮分裂后共有个，第二轮分裂后共有个，建立方程求出其解就可以； （2）根据（1）可得第三轮分裂后共有个有益菌，结合的值即可解答． 【详解】（1）解：设每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出个有益菌，          解得，（不合题意，舍去）     答：每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出9个有益菌． （2）解：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为 （个） 答：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为100000个． 21．（26-27九年级上·长沙明德·月考）公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”，现已知某型号头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个.物价部门规定：售价不能超过55元/个，设该型号头盔的售价为x（元），月销售量为y（个），月销售利润为w（元）. (1)请写出月销售量y（个）关于售价x（元）的函数关系式； (2)当该型号头盔每个售价定为多少元时，月销售利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，月销售利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据等量关系列出函数关系式； （2）先列出二次函数解析式，配成顶点式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：根据题意得： ， 对称轴， ∴在对称轴左侧，w随x的增大而增大 又 ∴当时，月销售利润最大，最大利润为元． 22．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，代入求，n，确定点A，B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，两点，， ，， 解得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：不等式即， 观察图象得：此时或． （3）解：根据题意，与y轴的交点为， ，， ． 23．（24-25九年级上·长沙长郡集团·月考）如图（1），正方形和正方形，边在边上，，，将正方形绕点逆时针旋转． (1)如图（2），正方形旋转到此位置，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，试求的长； (3)的延长线交直线于点，在旋转的过程中，是否存在某时刻？若存在，试求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)存在， 【分析】（1）结合正方形的性质证明，由全等三角形的性质可证明； （2）过点作交的延长线于点，结合题意可得，进而可得，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可知，进而解得的长度，再在中由勾股定理解得，的值，即可获得答案； （3）连接，首先证明是等边三角形，是线段的垂直平分线，结合是线段的垂直平分线，易得直线与直线是同一条直线，即点与点重合，设与交于点，解得，的长度，再证明，由全等三角形的性质可证明，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴ ， 在中，， ∴； （3）存在．如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是线段的垂直平分线，如图， ∵是线段的垂直平分线， ∴直线与直线是同一条直线， ∴点与点重合，即， 设与交于点，则，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 24．（2026·长沙长郡集团·三模）我们约定：对于二次函数，其顶点坐标为．若该函数图象上存在一个不同于顶点的点，满足，则称点Q为该函数的“对称点”，并称为“对称距”． (1)已知二次函数，判断点是否为它的“对称点”，并说明理由． (2)已知二次函数G：的图象经过原点，点是它的“对称点”，若该函数的“对称距”为4，求m的值． (3)在（2）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)点不是二次函数的“对称点”，理由如下： ∵二次函数的顶点坐标为， ∴，， ∴，故点不是二次函数的“对称点”． (2) (3) 【分析】（1）根据“对称点”的定义判断即可． （2）先把二次函数一般式化成顶点式，得出顶点坐标，根据二次函数过原点得出，再根据“对称点”的定义得出，根据“对称距”为4，分别求出对应的a的值，最后将a的值代入，即可求出m的值，最后根据得出m的值即可． （3）根据（2）得出，，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴顶点坐标为． ∵函数G的图象经过原点，∴． 由题意可知：，， ∴． ∵函数的“对称距”为4，即， ∴或． 当时，． 将代入，得， 解得或（舍去）； 当时，． 将代入， 得，， ∴无实数解． 综上，； （3）解：由（2）可知：，， ∴． ∵， ∴． ∵对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 当或3时，y有最大值，最大值为， ∴． 25．（25-26九年级上·长沙师大附中·期中）我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与x轴的交点坐标，正方形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，根据题中函数定义求解是解题的关键； （1）先求出二次函数的顶点、与x轴的交点横坐标，由题中定义可得它的“W”函数图象的“平衡点”， 与x轴的交点坐标，由此可判定①，再结合图象可判定②和③； （2）先用含的式子表示出线段，的长，再由以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，可得，代入含的式子解方程即可； （3）先确定二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大的图象部分，再分类讨论，综合可得结果． 【详解】（1）二次函数，顶点为， 它的“W”函数图象的“平衡点”为． 当时，，解得，， 它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确； 由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误； 由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确； 故答案为：①√；②×；③√． （2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ， 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，， ， ． （3）当时，， 解得，， 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． 综上所述，实数h的取值范围为或． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $