专题4.1 对数的概念（高效培优讲义）数学北师大版高一必修第一册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1对数的概念 内容总览 1、教学目标、教学重难点 知识点01对数的概念 知识点02对数式与指数式的互化 2、知识清单 知识点03对数的基本性质 知识点04常用对数 知识点05自然对数 对数的概念 题型01对数概念的理解与辨析 题型02对数式与指数式的互化 题型03利用对数性质求值 3、题型精讲 题型04对数式有意义的条件 题型05对数恒等式的应用 题型06利用对数定义解方程 基础巩固练 4、强化训练 能力提升练 教学目标 教学重难点 1.知识与技能：理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化；理解对数的基本 性质，能运用性质进行简单对数式的化简与求值；了解常用对数与自然对数的概 念及记法。 教学目标 2.过程与方法：通过实际问题情境，经历从指数运算到对数运算的推广过程，体 会对数运算的必要性；通过对数式与指数式的互化，体会类比与转化的数学思 想。 3.情感态度与价值观：通过了解对数的历史发展，感受数学对人类文明的贡献： 在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值。 教学重难点 重点：对数的概念；对数式与指数式的互化；对数的基本性质。 难点：对数概念的理解；对数式有意义的条件；对数恒等式的理解与应用。 知识清单 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01 对数的概念 如果a“=N(a>0,且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=1logN,其中a叫做对数的底数，N叫 做真数. 【关键理解】 ①对数式logN是一个整体，表示”以a为底N等于多少次方”，本质上是一个数： ②对数运算与指数运算互为逆运算：指数运算已知底数和指数求幂，对数运算已知底数和幂求指数； ③底数a的限制：a>0且a≠1；真数N的范围：N>0。 【即学即练】 1.有下列说法： ①任何实数都有对数： ②任何一个指数式都可以化成对数式： ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.0 D.4 2.对数loga3(5-a)中实数a的取值范围是() A.（-o,5) B.（-3,5) c.（-3,-2U(-2,5) D.（-3,+) 知识点02对数式与指数式的互化 指数式与对数式的等价关系：ax=N-log N=-b(其中a>0,a≠1，N>0)。 【对应关系】 指数式：底数a→指数b→幂N 对数式：底数a→对数b→真数N 【互化口诀】底数不变，指数变对数，幂变真数。 【即学即练】 1、己知lg2=a,1g3=b,则10-b=() A.3 B.4 c 2、已知og:164,则x= 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03对数的基本性质 (1)负数和0没有对数，即N>0: (2)特殊值：1的对数是0，即l10g。1=0(a>0,且a≠1)；底数的对数为1，即log。a=1(a>0, 且a≠1). 两个对数恒等式： ①aa=N; ②loga=b(a>0,且a≠1). 【即学即练】 1、己知2°=3,10g,5=b,则22a+6的值为 2、己知1og2(1og2x)=2,则x=() A.4 B.8 c.16 D.32 知识点04常用对数 定义：以10为底的对数叫作常用对数，1og1oN简记为1gN。 【常用结论】1g10=1,1g100=2,1g1000=3:1g0.1=-1,1g0.01=-2,1g1=0。 【即学即练】 1、(多选)下列指数式与对数式互化正确的是() A.e0=1与loge1=0 B. C.10g39=2与92=3 D.log77=1与71=7 2、将下列指数式与对数式进行转换 (1)210=1024: (3)104=0.0001: (4)1.24=2.0736」 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)l0g81=4. (6)lg100000=5; (7)lne3=3: 8)10g1625=-4 知识点05自然对数 定义：以无理数e=2.71828…为底的对数叫作自然对数，10g。N简记为1nN。 【说明】e是数学中最重要的常数之一，自然对数在科学、工程、经济学中应用极为广泛。lne=1, 1n1=0。 【即学即练】 1、(多选)下列命题是真命题的有() A.In(Ig1)=0 B.e血=元 C.若e=lnr,则x=e2 D.Ig(1g10)=0 2、己知a=log,2,b=1og,8,则32a-b= 题型精讲 题型01对数概念的理解与辨析 【典例1】 一般地，如果a(a>0且a≠l)的b次幂等于N,即a°=N,那么数b称为以a为底N的，记作 其中a叫作对数的一，N叫作 根据对数的定义，有a.W= 【变式1】 使式子l1og.（-3a+5)有意义的a的取值范围是() A.) 5 B. c到 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】 设a,beR,则“a=b”是ulog2a=log,4”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式3】 若lh(5-a)有意义，则实数a的取值范围是 题型02对数式与指数式的互化 【典例1】 若2=3，则x=() A.log;2 B.In3 C.l0g23 D.2n3 【变式1】 己知a>0且a≠1，若log。2=m,log。3=n,则a2m+"=() A.6 B.36 C.72 D.108 【变式2】 指底对换法则： alogh=bloga a=40,则ae=(（）=(e=6 2024）-(0n24)h20=（） A.0 B.1 C.2024 D.2025 【变式3】 已知log,[log,(og,x】=log.[og,(log,]=log,[og,(og,2刃=0，则- 题型03利用对数性质求值 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】 8-3e2-() A.2 B.1 c.0 D.-1 【变式1】 若log。5=m(a,b>0,且a≠1)，则() A.b=asm B.b=a C.b=5am D.b=msa 【变式2】 若a=log23,则2°+2“= 【变式3】 若a=log2V5,则40-4·= 题型04对数式有意义的条件（真数大于零） 【典例1】 若集合A={xy=l血x,B={3,-2,0,1,4,则AnB=() A. B.{1,4} C.{0,1,4 D.{-3,-2,0,1,4} 【变式1】 若集合A={y=血x,B=-3,-2,0,14,则AnB=（) A. B.{1,49 C.{0,1,4} D.{-3,-2,0,1,4 【变式2】 对数log(5-a)中实数a的取值范围是() A.（-0,5) B.(-3,5) c.（-3,-2)u(-2,5) D.（-3,+∞) 【变式3】 6/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若定义在区间(-1,0)内的函数f,=logc+)满足f()>0,则a的取值范围是() A. D.(0,+0) 题型05对数恒等式的应用 【典例1】 已知alog,4=2,则2°=」 【变式1】 3m-21 己知2lg2=m,10°=3，则102的值为() B.3 C. 2√2 3 D. 3 【变式2】 已知loga3=m,log。4=n,计算a2m-"=() 9 A. B.1 D.2 【变式3】 己知x,y∈R,x+33=2,9y+l0gy=4,则x+3y=() A.6 B.3 C.2 0.2 题型06利用对数定义解方程 【典例1】 2-1,x≤0 "a0且。定义在R上的西数/间{g.+2.x>0:若/U(-2现=2：则。-（) 己知。且 R A.3 B.2 C. D.3 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】 e,x<1 已知函数f(x)=h2,x=1 ,·则 f(x-4),x>1f(f(9)= 【变式2】 己知f(e)=x+2,则函数y=fx)的表达式为. 【变式3】 己知f(e)=x+2,则函数y=f(x)的表达式为. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.已知l0g,2=a,1bg,3=b,则5-b=() 4 A.3 B.4 c.2 2.函数f(x)=e在[0，ln2]的最小值与最大值的和为() 1 A.e B.1 C. e D.3 3.已知全集U={0,1,2,34,5,6,7,8},集合S={L,2,4,8,集合T={1og,x∈S},则Cu(SUT)=() A.{5,6,7} B.{01,2,3,4,8} c.{1,2} D.{0,3,4,5,6,7,8 x2+1,x≤2， 4.已知函数f(x)= log,x,x>2,则f(f(2)=（） A.0 B.1 C.2 D.l0g25 5.已知2°=5,10g9=b,则46-3×4°=() A.8 B.6 C.4 D.2 8/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x2+2x-2,x≤0 6. 已知函数f(x)= -2+1og,xx>0?则f[f(-3)]=（ A.5 B.-1 C.-2 D.-3 7.声强级L(单位：dB)由公式L,=10l 10亚给出，其中，为声强（单位：W/m2),已知平时常人 交谈时的声强约为10W/m2,则其声强级为() A.50dB B.60dB C.70dB D.80dB 8.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记 录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+g'.己知小明和小李视力的五分记 V 录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为Y,V,则下的值所在区间是 () A.(1.5,2) B.(2,2.5) c.(2.5,3) D.(3,3.5) 二、填空题 9.已知f()为奇函数，且当x>0时f(x)=x-2r,则f()=一 三、解答题 10.求下列各式中的x值. (1)log2(1og5x)=0; (2)log2(gx)=1: 3log-(V2+1=x」 一、单选题 1.已知x+10=64,x+gx=64,则x+为2=（) A.40 B.32 C.72 D64 2.已知x,y∈R,x+221=2,4y+logy=2,则x+2y=() A.1 B.2 C.4 D.8 二、多选题 3.下列说法正确的是() A.已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=2x+7 B.y=g(1-x)+g1+x)与y=g(1-x2)表示同一个函数 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,2] D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 三、填空题 4.己知log22(3x+2x-=1,则x= 5.2+4=8”，,则x=」 6.方程25+23+2=6+6的实数解为 又。已知正整数b:满足：1og,6,1gd=是c-a=65则2b 四、解答题 8.已知函数f)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f)=a:2-2,且f(-)=号 (1)求a的值，并求出(x)的解析式： (2)若mf(x)-4-4≤0在(0，+o)上恒成立，求m的取值范围. 10/10 专题4.1 对数的概念 教学目标 1. 知识与技能：理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化；理解对数的基本性质，能运用性质进行简单对数式的化简与求值；了解常用对数与自然对数的概念及记法。 2. 过程与方法：通过实际问题情境，经历从指数运算到对数运算的推广过程，体会对数运算的必要性；通过对数式与指数式的互化，体会类比与转化的数学思想。 3. 情感态度与价值观：通过了解对数的历史发展，感受数学对人类文明的贡献；在解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值。 教学重难点 重点：对数的概念；对数式与指数式的互化；对数的基本性质。 难点：对数概念的理解；对数式有意义的条件；对数恒等式的理解与应用。 知识点01 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 【关键理解】 ① 对数式logaN是一个整体，表示"以a为底N等于多少次方"，本质上是一个数； ② 对数运算与指数运算互为逆运算：指数运算已知底数和指数求幂，对数运算已知底数和幂求指数； ③ 底数a的限制：a>0且a≠1；真数N的范围：N>0。 【即学即练】 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 2．对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 知识点02 对数式与指数式的互化 指数式与对数式的等价关系：ax＝N⇔logaN=b（其中a>0，a≠1，N>0）。 【对应关系】 指数式：底数a→指数b→幂N 对数式：底数a→对数b→真数N 【互化口诀】底数不变，指数变对数，幂变真数。 【即学即练】 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 2、已知，则________. 【答案】 【分析】利用指数与对数的互化，以及幂的运算直接求解即可. 【详解】由，可得，又且， 所以. 知识点03 对数的基本性质 （1）负数和0没有对数，即N＞0； （2）特殊值：1的对数是0，即 （a＞0，且a≠1）；底数的对数为1，即（a＞0，且a≠1）. 两个对数恒等式： ①alogaN＝N； ②logaab＝b(a>0，且a≠1). 【即学即练】 1、已知 ，则 的值为______． 【答案】 【分析】利用指数式与对数式的互化求解可得. 【详解】由 得 ； 由 得 . 所以 . 2、已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式与指数的互化可得出的值. 【详解】由可得，故. 故选：C. 知识点04 常用对数 定义：以10为底的对数叫作常用对数，log₁₀N简记为lgN。 【常用结论】lg10=1，lg100=2，lg1000=3；lg0.1=-1，lg0.01=-2，lg1=0。 【即学即练】 1、（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 2、将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 知识点05 自然对数 定义：以无理数 e = 2.71828… 为底的对数叫作自然对数， 简记为lnN。 【说明】e是数学中最重要的常数之一，自然对数在科学、工程、经济学中应用极为广泛。lne=1，ln1=0。 【即学即练】 1、（多选）下列命题是真命题的有（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据对数的运算及指数与对数的转化判断各选项即可. 【详解】对于A，无意义，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 2、已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 题型 01 对数概念的理解与辨析 【典例1】 一般地，如果a（且）的b次幂等于N，即，那么数b称为以a为底N的______，记作________，其中a叫作对数的________，N叫作________．根据对数的定义，有______. 【答案】 对数 底数 真数 N 【分析】根据对数的定义，即可填写. 【详解】一般地，如果a（且）的b次幂等于N，即，那么数b称为以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．根据对数的定义，有. 故答案为：对数；；底数；真数； 【变式1】 使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式2】 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据指、对数运算结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，可得，所以，必要性成立； 若，满足，而，充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3】 若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 题型 02 对数式与指数式的互化 【典例1】 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化即得. 【详解】由可得. 【变式1】 已知且，若，，则（    ） A．6 B．36 C．72 D．108 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 【变式2】 指底对换法则： ，则． （   ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】因为， 所以． 【变式3】 已知，则__________. 【答案】36 【详解】由于，则，， ，，   题型 03 利用对数性质求值 【典例1】 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算律及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 【变式1】 若（，且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化对数式为指数式，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】由对数的概念知，故，即. 故选：A. 【变式2】 若，则__________. 【答案】 【分析】由指对互换公式可得答案. 【详解】由 ，得： ， 于是， 因此 故答案为： 【变式3】 若，则____________. 【答案】/ 【分析】根据对数式与指数式的转化及指数幂的运算性质求解. 【详解】由得，则， 所以. 故答案为：. 题型 04 对数式有意义的条件（真数大于零） 【典例1】 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 【变式1】 若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 【变式2】 对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 【变式3】 若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，讨论、，结合对数函数的性质确定参数的范围. 【详解】由题意， 当，即时，在上，满足要求； 当，即时，在上，不满足要求. 综上，. 故选：A 题型 05 对数恒等式的应用 【典例1】 已知，则___________． 【答案】 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 【变式1】 已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 【变式2】 已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 【变式3】 已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两个方程化简变形，构造函数，结合函数单调性可得与的关系，即可得解. 【详解】由已知，，，， 则，且，即， 设函数，可知函数在上单调递增， 则，则，即， 所以， 故选：D. 题型 06 利用对数定义解方程 【典例1】 已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式以及可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为且，且，则， 则，所以，，即， 解得或（舍）， 故选：A. 【变式1】 已知函数，则__________. 【答案】/ 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可. 【详解】由题意，， 又， 所以. 故答案为：. 【变式2】 已知，则函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】令，则，所以， 所以函数的表达式为. 故答案为： 【变式3】 已知，则函数的表达式为__________． 【答案】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】令，则，所以， 所以函数的表达式为. 故答案为： 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，所以. 2．函数在的最小值与最大值的和为（   ） A．e B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】由题知函数在上单调递增， 所以， 则最小值与最大值的和为3． 3．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知全集，集合. 由，依次计算：，，，， 可得，所以. 所以. 4．已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为 所以，. 5．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 6．已知函数，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，先求出，再求. 【详解】由函数，则， 所以. 故选：C. 7．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式直接计算得到答案. 【详解】由题意可得. 故选：B 8．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.7和5.2，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意由指数与对数的关系和指数的运算性质计算可得. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：D. 二、填空题 9．已知为奇函数，且当时，则_____． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，把函数的值代入计算即可. 【详解】因为 是奇函数，所以， 当 时，，代入 则，所以， 故答案为：. 三、解答题 10．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． 【详解】（1）由，得， 故. （2）由，得，故. （3）因为， 所以，所以. 一、单选题 1．已知 ,则 （     ） A．40 B．32 C．72 D．64 【答案】D 【分析】根据题干信息构造单调函数，将换元转化为，利用函数单调性得，即，代入原式即可求出. 【详解】令，易知在上单调递增. 由，得. 对变形，设，则. 代入得，即. 因为单调递增，函数值相等则自变量相等，所以. 即，也就有. 结合，替换得. 2．已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 二、多选题 3．下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D． 【详解】A，因为是一次函数，可设， 所以，即， 所以解得所以，A正确； B，与的定义域均为， 又， 所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； C，函数的定义域为， 由，得，则函数的定义域为，故C错误； D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确． 三、填空题 4．已知，则______． 【答案】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 5．，则________． 【答案】 【分析】利用换元法令，转化为，求解，再求解. 【详解】，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 6．方程的实数解为__________. 【答案】 【分析】由指数的运算和指数、对数的转化即可求解. 【详解】原方程可化为， 即， 所以，即， 所以. 7．已知正整数，，，满足：，，．则______． 【答案】179 【分析】先由对数式化为指数式，再根据正整数的条件分类讨论，联立方程组求出，，即可求出. 【详解】由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 四、解答题 8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且. (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用偶函数的性质求出参数，再通过时并结合推导出分段解析式； （2）通过分离参数将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求出最小值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $