4.1 对数的概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，从细胞分裂问题引入已知底数和幂求指数的运算需求，抽象出对数定义，系统讲解常用对数、自然对数及基本性质，构建指数式与对数式互化的学习支架。 资料通过情境创设（细胞分裂实例）培养数学抽象，概念辨析（底数范围讨论）发展逻辑推理，分层题型设计（互化、计算、性质应用）提升应用意识。课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固练习，有效查漏补缺。

§1　对数的概念 课标要求 理解对数的概念，理解常用对数与自然对数（数学抽象）. 　　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？ 【问题】　结合该细胞分裂，尝试归纳这类已知底数和幂求指数的运算特征. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　对数的概念 1.对数的概念 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以　a　为底　N　的对数，记作　logaN＝b　，其中　a　叫作对数的底数，　N　叫作真数. 2.常用对数与自然对数 3.对数的基本性质 （1）负数和0　没有　对数； （2）loga1＝　0　（a＞0，且a≠1）； （3）logaa＝　1　（a＞0，且a≠1）； （4）＝　N　. 提醒：对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）： ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； ②弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键. 【想一想】 1.式子logmN中，底数m的范围是什么？ 提示：m＞0且m≠1. 2.对数概念中为什么规定a＞0，且a≠1呢？ 提示：（1）若a＜0，则当N为某些值时，x的值不存在.如：x＝log（－2）8不存在. （2）若a＝0，则 ①当N≠0时，x的值不存在.如：log03（可理解为0的多少次幂是3）不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值. （3）若a＝1，则 ①当N≠1时，x的值不存在.如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值. 因此规定a＞0，且a≠1. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）因为（－2）2＝4，所以2＝log（－2）4.（　×　） （2）logaN是loga与N的乘积.（　×　） （3）使对数log2（－2a＋1）有意义的a的取值范围是.（　√　） （4）对数的运算实质是求幂指数.（　√　） 2.若logx＝z，则x，y，z之间满足（　　） A.y7＝xz B.y＝x7z C.y＝7xz D.y＝z7x 解析：B　由题意得＝xz，∴y＝（xz）7＝x7z. 3.若log2x＝2，则x＝　4　. 题型一　对数的概念 若对数式log（t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.（2，3）∪（3，＋∞） C.（－∞，2） D.（2，＋∞） 解析：B　要使对数式log（t－2）3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是（2，3）∪（3，＋∞）. 通性通法 对数式有意义的判断问题 　　利用式子logab⇒求字母的范围. 使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（　　） A.a＞且a≠1 B.0＜a＜ C.a＞0且a≠1 D.a＜ 解析：B　由对数的概念可知使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足解得0＜a＜. 题型二　指数式与对数式的互化 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）3－2＝； 解：因为3－2＝，所以log3＝－2. （2）（）－2＝16； 解：因为（）－2＝16，所以lo16＝－2. （3）lo27＝－3； 解：因为lo27＝－3，所以（）－3＝27. （4）lo64＝－6. 解：因为lo64＝－6，所以（）－6＝64. 通性通法 指数式与对数式互化的方法 （1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式； （2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 　〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的是（　　） A.e0＝1与ln 1＝0 B.＝与log8＝－ C.log39＝2与＝3 D.log77＝1与71＝7 解析：ABD　A选项，e0＝1⇔ ln 1＝0，正确.B选项，＝⇔ log8＝－，正确.C选项，log39＝2⇔ 32＝9，C错误.D选项，log77＝1⇔ 71＝7，正确.故选A、B、D. 题型三　对数的计算 （1）求下列各式的值： ①log981＝　2　；②log0.41＝　0　；③ln e2＝　2　；④10lg 5＝　5　；⑤＝　40　. 解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2. ②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0. ③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. ④10lg 5＝5. ⑤＝51×＝5×8＝40. （2）求下列各式中x的值. ①log64x＝－； ②logx8＝6； ③lg 100＝x. 解：①由log64x＝－，得x＝6＝＝4－2＝. ②由logx8＝6，得x6＝8，又x＞0且x≠1，即x＝＝＝. ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2. 通性通法 求对数式logaN的值的步骤 （1）设logaN＝m； （2）将logaN＝m写成指数式am＝N； （3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 1.求下列各式的值： （1）log28；（2）log9；（3）lo（2－）. 解：（1）设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3. （2）设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.∴log9＝－1. （3）设lo（2－）＝x. 则（2＋）x＝2－＝＝（2＋）－1.∴x＝－1.∴lo（2－）＝－1. 2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值： （1）log2x＝－；（2）logx25＝2； （3）log5x2＝2；（4）2log3x＝4. 解：（1）由log2x＝－，得＝x，∴x＝. （2）由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. （3）由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. ∵52＝25＞0，（－5）2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5. （4）由2log3x＝4＝2×2，得log3x＝2，∴x＝32＝9. 题型四　对数基本性质的应用 求下列各式中x的值： （1）log2（log5x）＝0； 解：∵log2（log5x）＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. （2）log3（lg x）＝1； 解：∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000. （3）log3[log4（log5x）]＝0. 解：由log3[log4（log5x）]＝0可得log4（log5x）＝1，故log5x＝4，∴x＝54＝625. 【母题探究】 1.（变条件）本例（3）中若将“log3[log4（log5x）]＝0”改为“log3[log4（log5x）]＝1”，又如何求解x呢？ 解：由log3[log4（log5x）]＝1可得log4（log5x）＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564. 2.（变条件）本例（3）中若将“log3[log4（log5x）]＝0”改为“＝1”，又如何求解x呢？ 解：由＝1可得log4（log5x）＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 通性通法 利用对数性质求解的2类问题的解法 （1）求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga（logbc）的值； （2）已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 求下列各式中x的值： （1）log8[log7（log2x）]＝0； 解：由log8[log7（log2x）]＝0，得log7（log2x）＝1，即log2x＝7，∴x＝27. （2）log2[log3（log2x）]＝1. 解：由log2[log3（log2x）]＝1，得log3（log2x）＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. 1.若7x＝8，则x＝（　　） A. B.log87 C.log78 D.log7x 解析：C　由7x＝8⇔x＝log78.故选C. 2.在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，2）∪（5，＋∞） B.（2，5） C.（2，3）∪（3，5） D.（3，4） 解析：C　由对数的定义知解得2＜a＜3或3＜a＜5. 3.已知logx16＝2，则x＝　4　. 解析：logx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x＞0且x≠1，所以x＝4. 4.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝　0　. 解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 1.有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e为底的对数叫做自然对数. 其中正确说法的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　①③④正确，②不正确，只有a＞0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式. 2.若2a＝4，则loga的值是（　　） A.－1 B.0 C.1 D. 解析：A　∵2a＝4＝22，∴a＝2，∴loga＝log2，令log2 ＝x，则2x＝＝2－1，∴x＝－1.故选A. 3.方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（　　） A.－3 B.3 C.－1或3 D.1或－3 解析：B　由lg（x2－1）＝lg（2x＋2），得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B. 4.已知－ln e2＝x，则x＝（　　） A.－1 B.－2 C.1 D.2 解析：B　因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2. 5.若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是（　　） A.15 B.75 C.45 D.225 解析：C　由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝（am）2·an＝32×5＝45. 6.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（　　） A.a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1） B.lo3＝2与（）2＝3 C.2＝与lo27＝－3 D.log2＝与＝ 解析：ABD　2＝化为指数式为log27＝－，故C错误，A、B、D正确. 7.－（＋lg ＋（－1）lg 1＝　－3　. 解析：原式＝－［（）3＋lg 10－2＋（－1）0＝－－2＋1＝－3. 8.已知log3[log3（log4x）]＝0，则x＝　64　. 解析：log3[log3（log4x）]＝0⇒log3（log4x）＝1⇒log4x＝3⇒x＝43⇒x＝64. 9.已知log（x＋1）（2x2－2）＝2，则x的值为　3　. 解析：由log（x＋1）（2x2－2）＝2，得解得x＝3. 10.求下列各式中的x的值： （1）logx27＝； （2）log2x＝－； （3）x＝log27； （4）设a＝log32，x＝. 解：（1）由logx27＝，得＝27，∴x＝2＝32＝9. （2）由log2x＝－，得＝x， ∴x＝＝. （3）由x＝log27，得27x＝， 即33x＝3－2，则3x＝－2， ∴x＝－. （4）∵a＝log32，∴3a＝2， ∴x＝＝＝＝＝. 11.＝（　　） A.6　　 　B. C.8　 　 　D. 解析：C　＝·＝2×4＝8. 12.〔多选〕下列各式中正确的有（　　） A.lg（lg 10）＝0 B.lg（ln e）＝0 C.若10＝lg x，则x＝100 D.若log25x＝，则x＝±5 解析：AB　对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg（lg 10）＝lg 1＝0，故A正确；对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg（ln e）＝lg 1＝0，故B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；对于D，因为log25x＝，所以2＝x，所以x＝5，故D错误.故选A、B. 13.若x满足（log2x）2－2log2x－3＝0，则x＝　8或　. 解析：设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，所以x＝23＝8或x＝2－1＝. 14.若lox＝m，loy＝m＋2，求的值. 解：因为lox＝m， 所以＝x，x2＝. 因为loy＝m＋2，所以＝y，y＝. 所以＝＝＝＝16. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $