周周练9 幂函数与指、对数式的运算(范围：第二章4.2～第四章2.2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（北师大版）

周周练9　幂函数与指、对数式的运算(范围：第二章4.2～第四章2.2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知a＞0，则＝(　　) A．a B．a C．a－ D．a 解析：选B.＝＝a2-－＝a. 2．(2026·南京学情调研)已知ax＝4，loga3＝y，则ax＋y＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．12 解析：选D.方法一(指数运算)：由loga3＝y，得ay＝3，所以ax＋y＝ax·ay＝4×3＝12. 方法二(对数运算)：由ax＝4，a＞0且a≠1得loga4＝x，所以x＋y＝loga4＋loga3＝loga12，所以ax＋y＝12. 3．计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A．－7 B．－3 C．0 D．－6 解析：选D.原式＝log34－log3＋log38＋1－52log53＝log3(4××8)＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6. 4．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a<b<c 解析：选B.因为f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，且函数f(x)为增函数．因为ln 2＜m＜n，故c<a<b. 5．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b)”．某学生在用计算器计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按成“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．a＝b2 D．b＝a2 解析：选C.由题意，得logba＝4logab， 所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2. 因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2. 6．(2026·成都诊断性检测)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg ，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　) A．10 B．10－ C．10 D．10－ 解析：选D.设北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，则由题意，得 两式相减得＝－lg ，所以lg ＝－，所以＝10－. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．下列选项中正确的有(　　) A．()2+＝4 B．log89×log2732＝ C．若a＋a-1＝3，则a2＋a-2－31＋log32＝2 D．若3x＝4y＝M，且＋＝1，则M＝36 解析：选ABD.()2+＝(22-)2+＝22＝4，故A正确；log89×log2732＝×＝×＝，故B正确；a2＋a-2－31＋log32＝(a＋a-1)2－2－3×3log32＝9－2－3×2＝1，故C错误；由3x＝4y＝M，＋＝1，得M>0且M≠1，x＝log3M，y＝log4M，即＝logM3，＝logM4，则＋＝2logM3＋logM4＝logM36＝1，解得M＝36，故D正确． 8．已知3a＝8b＝24，则a，b满足的关系是(　　) A．＋＝1 B．＋＝2 C．(a－1)2＋(b－1)2＜2 D．(a－1)2＋(b－1)2＞2 解析：选AD.由3a＝8b＝24，得(3a)b＝24b，(8b)a＝24a，即3ab＝24b，8ab＝24a，两式相乘得(24)ab＝24a＋b，所以ab＝a＋b，又因为a≠0，b≠0，有＋＝1，A选项正确，B选项错误；由a≠b，有a2＋b2＞2ab，则(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，C选项错误，D选项正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．求值：＋＋0.1-2－×π0＝________．　 解析：原式＝()＋[()]2＋102－＝＋＋100－＝100. 答案：100 10．若2m＋5n＝，则log2(4m×32n)＝________． 解析：因为4m×32n＝(22)m×(25)n ＝22m×25n＝22m+5n＝2， 所以log2(4m×32n)＝log22＝. 答案： 11．已知2a＝32，loga2·log4x＝a，则log5x＋logx5＝________． 解析：因为2a＝32＝25，所以a＝5，所以loga2·log4x＝log52·log22x＝log52·log2x＝log5x＝×5，即log5x＝4，所以x＝54，所以log5x＋logx5＝4＋log545＝4＋＝. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)求下列各式的值： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；(4分) (2)；(4分) (3)log23·log38＋()log34.(5分) 解：(1)方法一：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 方法二：原式＝lg 14－lg ()2＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝·＋3log34＝3＋3log32＝3＋2＝5. 13．(本小题满分15分)已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值；(7分) (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， 所以k＝2，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．所以k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，因为f(1)＜0，所以a－＜0， 又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1， 因为y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故f(x)＝ax－a－x在R上单调递减． 又f(x)为奇函数，所以原不等式可化为f(m2－2)＞f(－m)， 所以m2－2＜－m， 即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， 所以实数m的取值范围是(－2，1). 14．(本小题满分15分)某工厂产生的废气需过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，请回答下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？(7分) (2)污染物减少50%大约需要花多长时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(8分) 解：(1)由题意知，当t＝0时，P＝P0， 当t＝5时，P＝(1－10%)P0， 于是有(1－10%)P0＝P0e-5k， 解得k＝－ln 0.9，则P＝P00.9， 所以当t＝10时，P＝0.81 P0， 即10 h后还剩下81%的污染物． (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33，即污染物减少50%大约需要花33 h． 学科网（北京）股份有限公司 $