4.1数列的概念（分层作业，17大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.1数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 数列的概念及辨析 题型02 由数列的前几项写通项 题型03 写出或判断数列中的项 题型04 根据规律填写数列中的某项 题型05 根据数列的递推关系式求通项或项 题型06 利用an与Sn的关系求通项或项 题型07 数列的增减性 B组 能力进阶 题型01 递推数列的实际应用 题型02 数列的单调性的判断与求参 题型03 求数列的最大（小）项 C组 思维拔高 题型01 根据递推关系求数列通项 题型02 累加法求数列通项 题型03 累乘法求数列通项 题型04 数列周期性的应用 题型05 由递推数列研究数列的有关性质 题型06 求递推关系式 题型07 新定义问题 数列的概念及辨析题型01 1．已知，则数列的图象是（    ） A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 2．下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 4．下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 5．（24-25高三下·吉林·联考）设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 由数列的前几项写通项题型02 1．（24-25高二上·天津·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北黄石·期末）数列的前四项依次是3，33，333，3333，则数列的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知，给出4个表达式，其中能作为数列：的通项公式的是（   ）. ①②    ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列满足，，设，则（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有______个顶点. 写出或判断数列中的项题型03 1．（25-26高二上·广西·期末）已知数列的通项公式为，则（   ） A． B． C． D．19 2．已知数列的通项公式是，则是该数列的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 3．已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 4．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列的通项公式为，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 根据规律填写数列中的某项题型04 1．（24-25高二上·湖北·期末）数列-1，3，-5，7，…的第9项是（   ） A．-17 B．17 C．-19 D．19 2．数列的第项是（    ） A． B． C． D． 3．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第110项为（    ） A．13 B．14 C．15 D．110 4．（24-25高二下·湖北荆州·质检）由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 5．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是________ 根据数列的递推关系式求通项或项题型05 1．（25-26高二·广东·期末）已知数列满足，，，则（   ） A．3 B．5 C．8 D．13 2．（24-25高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的首项，满足，则________. 5．（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 利用an与Sn的关系求通项或项题型06 1．若数列的前项和，则（   ） A．21 B．23 C．16 D．2 2．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1056 B．1123 C．1315 D．2627 3．已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 4．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 数列的增减性题型07 1．已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 2．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．数列满足，则下列判断一定正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列满足，则成立 D．存在常数，使得恒成立 4．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 5．在数列中，已知，且. (1)求通项公式. (2)求证：是递增数列. 递推数列的实际应用题型01 1．（24-25高三上·北京·质检）“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（    ） A． B． C． D． 2．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 3．有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 4．（24-25高二上·江苏·月考）甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 5．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为（不考虑大小），如图易知，． (1)试写出，，作出对应简图； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切下最多能分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面．若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最少需要切几下能分成15块（不考虑大小）．（已知） 数列的单调性的判断与求参题型02 1．已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为_________． 4．已知数列满足，若数列的最大项为，则实数k的取值范围为______． 5．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 求数列的最大（小）项题型03 1．（25-26高二上·江苏·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______． 5．已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 根据递推关系求数列通项题型01 1．已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足递推关系，则（    ） A． B． C． D． 3．数列中，，且，则通项公式__________. 4．已知数列满足，且，则______． 5．如图，在的边和上，分别分布着一系列点和，使得，且所有梯形的面积均相等.设，其中的面积为. (1)求梯形的面积； (2)求数列的通项公式. 累加法求数列通项题型02 1．（25-26高二上·云南昆明·质检）已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，则数列第2022项为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列 ， ， ，求 . 5．设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 累乘法求数列通项题型03 1．（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·适应性考试）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则数列的通项公式等于 A． B． C． D． 4．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 5．若数列满足,,则______ ． 数列周期性的应用题型04 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（25-26高二·广东广州·质检）已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． 5．已知数列中，，且对任意正整数都有等式成立，那么________. 由递推数列研究数列的有关性质题型05 1．（24-25高三上·北京·期末）已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·甘肃·期末）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 4．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足；②数列的前项和； ③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足. 其中，所有正确结论的序号是_________________. 5．（26-27高三上·上海·月考）已知，且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为_______________． 求递推关系式题型06 1．数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 3．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了__________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）历史上有一个著名的“伯努利装错信笺问题”，它讲的是某人想邀请朋友来家中聚会，写好了n封请柬，需要装入n个写好友人名字的信封，结果因为粗心把请柬全部装错了信封，求装错的可能会有多少种的问题．瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出解答：用A，B，C，……表示写着n位友人名字的信封，a，b，c，……表示n份对应的写好的请柬，把装错的情况总数记作，假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：第一类：b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A，B，a，b无关，应有种错装法；第二类：b装入A，B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份请柬b，c，……装入（除B以外的）个信封A，C，……，显然这时装错的情况有种，总之在a装入B的错误之下，共有错装法种．a装入C，装入D……的种错误之下，同样都有种错装法，因此可得到的关系式为__________；通过枚举法，容易求出，于是可以迅速用多种方法求出__________． 5．（25-26高二·江西·期中）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 新定义问题题型07 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．184 B．174 C．188 D．160 2．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若数列满足，则该数列是等比差数列； ②数列是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 3．（2026·云南·高考真题）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 4．（25-26高二·陕西西安·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____. 5．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1数列的概念 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 数列的概念及辨析 题型02 由数列的前几项写通项 题型03 写出或判断数列中的项 题型04 根据规律填写数列中的某项 题型05 根据数列的递推关系式求通项或项 题型06 利用an与Sn的关系求通项或项 题型07 数列的增减性 B组 能力进阶 题型01 递推数列的实际应用 题型02 数列的单调性的判断与求参 题型03 求数列的最大（小）项 C组 思维拔高 题型01 根据递推关系求数列通项 题型02 累加法求数列通项 题型03 累乘法求数列通项 题型04 数列周期性的应用 题型05 由递推数列研究数列的有关性质 题型06 求递推关系式 题型07 新定义问题 数列的概念及辨析题型01 1．已知，则数列的图象是（    ） A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 【答案】D 【分析】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，由变量即可得出答案. 【详解】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，变量， 数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点. 故选：D． 2．下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 3．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【分析】由无穷数列的概念，数列的单调性利用排除法判断． 【详解】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意． 故选：C． 4．下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 5．（24-25高三下·吉林·联考）设数列为常数列，定义，则“是常数列”是“是常数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若是常数列，不妨设（为常数），则为常数， 即“是常数列”可推出“是常数列”， 取，，显然有，且是常数列，但不是常数列， 所以“是常数列”推不出“是常数列”，即“是常数列”是“是常数列”的充分不必要条件， 故选：A. 由数列的前几项写通项题型02 1．（24-25高二上·天津·期末）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可. 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 2．（25-26高二上·湖北黄石·期末）数列的前四项依次是3，33，333，3333，则数列的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项通项公式代入检验即可. 【详解】对于A：，则，， ，，符合题意，故A正确； 对于B：，则，，不符合题意，故B错误； 对于C：，则，，不符合题意，故C错误； 对于D：，则，不符合题意，故D错误； 故选：A 3．已知，给出4个表达式，其中能作为数列：的通项公式的是（   ）. ①②    ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】选取数列前4项，逐个通项公式验证即可. 【详解】原数列为，即奇数项为0，偶数项为1，逐项分析如下： 对于①， 为奇数时，为偶数时，完全符合数列规律，①正确； 对于②，当为奇数时，，. 当为偶数时，，，符合规律，②正确； 对于③，由三角函数诱导公式，对任意整数，，因此，和②完全等价，符合规律，③正确； 对于④，时，,时，，得到数列为，显然不符合要求，④错误，故①②③正确. 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列满足，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系列举一些项，进而根据规律猜想得，即可求解. 【详解】由可得， 由，得，， ，， 由此猜想：， 当时，，此时，， 满足，故， 因此. 故选：C. 5．如图所示，第个图形是由正边形拓展而来，则第个图形共有______个顶点. 【答案】 【分析】根据给定图形，依次分析每个图形的顶点个数并总结规律，利用归纳法求解即得. 【详解】第一个图由正三角形每边中点向外扩展2边，共有个顶点； 第二个图由正方形每边中点向外扩展3边，共有个顶点； 第三个图由正五方形每边中点向外扩展4边，共有个顶点； 第四个图由正六方形每边中点向外扩展5边，共有个顶点； …… 第个图由正方形每边中点向外扩展边，共有个顶点. 所以第个图形共有个顶点. 故答案为： 写出或判断数列中的项题型03 1．（25-26高二上·广西·期末）已知数列的通项公式为，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】根据通项公式直接代值计算即可. 【详解】由，则. 故选：B. 2．已知数列的通项公式是，则是该数列的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】C 【分析】解方程即可得． 【详解】由得（舍去）． 故选：C． 3．已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（   ） A．2 B．13 C．39 D．49 【答案】C 【分析】特值法可判断ABD；分为偶数和偶数，令，求出可判断C. 【详解】对于A，令，，故A错误； 对于B，令，，故B错误； 对于C，当为偶数，令，解得：， 当为奇数，令，解得：， 故39不是数列的项，故C正确； 对于D，令，，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高二下·河南周口·期末）已知数列的通项公式为，若，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据通项公式结合及对应的范围求参数即可. 【详解】若，则，显然， 若，则，满足. 故选：B 5．已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)不是， 由（1）知，令，解得． 因为，所以无正整数解，即不是该数列中的项． (3)在区间内有该数列中的项，且只有一项. 【分析】（1）化简得到，计算出； （2）令，方程无正整数解，故得到答案； （3）得到不等式组，求出，得到答案. 【详解】（1）因为， 所以． （2）略 （3）由（1）知，令， 则，解得． 因为，所以， 所以在区间内有该数列中的项，且只有一项． 根据规律填写数列中的某项题型04 1．（24-25高二上·湖北·期末）数列-1，3，-5，7，…的第9项是（   ） A．-17 B．17 C．-19 D．19 【答案】A 【分析】通过列举即可求解. 【详解】由数列规律可得： -1，3，-5，7，-9，11，-13，15，-17，… 所以第9项是-17， 故选：A 2．数列的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的前几项归纳可得其通项公式，从而可得第项. 【详解】由数列可得： ，归纳可得其通项为， 所以第项是. 故选：B. 3．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，则第110项为（    ） A．13 B．14 C．15 D．110 【答案】C 【分析】通过观察数据，找到项与项数之间的关系进行求解. 【详解】由数据1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…可知， 当时，对应的项数为1， 当时，对应的项数为1+2=3， 当时，对应的项数为1+2+3=6， 当时，对应的项数为， 故当时，对应的项数为， 所以第106-120项都是15， 故第110项为15. 故选：C. 【点睛】本题考查数列及其通项，通过找规律得到数据的特点进行求解. 4．（24-25高二下·湖北荆州·质检）由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】将1位数、2位数补成3位数，比如将6看成006，将24看成024， 由乘法原理知，由1个、2个、3个数字组成的数有个， 数列中的四位数按照从小到大的顺序排列：， 所以2026是第项. 故选：C 5．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是________ 【答案】35 【分析】由题意总结规律可得该数列第项为，即可得解. 【详解】由题意可发现：，，，， 总结规律，该数列第项为， 所以. 故答案为：35. 根据数列的递推关系式求通项或项题型05 1．（25-26高二·广东·期末）已知数列满足，，，则（   ） A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【分析】根据已知的递推式依次求解即可. 【详解】因为，， 所以，，. 故选：C 2．（24-25高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据递推关系计算即可. 【详解】令可得，；令可得，． 故选：C． 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），，若，则的取值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据“冰雹猜想”可得，结合递推关系式，分类讨论可得. 【详解】由“冰雹猜想”可知：若，则，， 若为偶数，则；若为奇数，则； 综上所述：或. 故选：D. 4．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的首项，满足，则________. 【答案】 【详解】由且，可得， ，故. 5．（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 利用an与Sn的关系求通项或项题型06 1．若数列的前项和，则（   ） A．21 B．23 C．16 D．2 【答案】C 【分析】利用进行计算. 【详解】因为， 所以， 故选： 2．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1056 B．1123 C．1315 D．2627 【答案】D 【分析】将已知变形得到为等差数列，进而求得，然后得到，用时，求解. 【详解】因为，所以， 所以数列是首项为1公差为1的等差数列，所以， 所以，所以. 故选：D 3．已知数列满足，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由已知可得，进而计算即可得出结果. 【详解】当时，； 当时，由，可得， 两式相除得 故答案为： 4．已知数列的前项和为，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据与的关系，结合，即可求解. 【详解】由题意，数列的前项和为， 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 数列的增减性题型07 1．已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的符号可判断数列的单调性，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，，故为递减数列，故A错误. 对于B，，故为递减数列，故A错误. 对于C，，故为递增数列，故C正确. 对于D，，故为递减数列，故D错误. 故选：C. 2．数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．数列满足，则下列判断一定正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列满足，则成立 D．存在常数，使得恒成立 【答案】C 【分析】举反例可判断A、B、D选项；对于C选项，由可判断. 【详解】解：令，数列是递减数列， 满足， 当无穷大时，，所以A项错误，D项错误﹔ 令，数列是递增数列， 满足，所以B项错误； 对于C项，因为，所以， 由得， 所以，所以成立，C项正确. 故选：C. 4．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 【答案】 增 【分析】利用作差法比较相邻两项与的大小，根据差的正负判断数列单调性. 【详解】对任意，计算相邻两项的差： ， 由且，可得，因此， 所以， 即对所有满足条件的恒成立， 因此数列是严格增数列. 5．在数列中，已知，且. (1)求通项公式. (2)求证：是递增数列. 【答案】(1) (2) 根据递增数列的定义可知， ， 即， 故是递增数列. 【分析】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明. 【详解】（1）由，且可得 ，解得； 因此. 所以，数列的通项公式为 （2）略 递推数列的实际应用题型01 1．（24-25高三上·北京·质检）“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“宫”和“角”对应的琴弦长度之比. 【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为， 五根琴弦的长度从大到小依次为 所以“宫“与“角对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为． 故选：D. 2．三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 【答案】B 【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案. 【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中， 只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙， 即，由题意可得，则， ， 故选：B 3．有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________. 【答案】15 【分析】假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出. 【详解】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次， 再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 4．（24-25高二上·江苏·月考）甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 【答案】(1)，， (2)7年 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【详解】（1）由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． （2）由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 5．某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为（不考虑大小），如图易知，． (1)试写出，，作出对应简图； (2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切下最多能分成段，由此求出数列的通项公式； (3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面．若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最少需要切几下能分成15块（不考虑大小）．（已知） 【答案】(1)，，作图： (2) (3)，4下 【分析】（1）根据题意，作出相应简图，从而分析得解； （2）根据题意分析得，从而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解； （3）利用（2）中结论，分析得，进而利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）如图：，， （2）记线段上个点最多将其划分成段，则， 为使划分区域块尽可能多， 新添加的一条直线，与前条直线，，…，都相交，有个不同的交点， 这些点把直线分成段，每一段又把原区域一分为二，则新增个区域块， 即，（），且， 故． （3）记第刀所形成的切面所在平面为， 若切第刀，新增切面平面与前个平面，，，…，都相交，有条不同的直线，，，…，， 这些直线把平面划分的区块数即为新增的空间区块数， 由（2）可知为使此数最大，则，（），且， 故， 则，故此时最少切4下即可． 数列的单调性的判断与求参题型02 1．已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案. 【详解】要想为递增数列，则恒成立， 故， 又时，取得最大值，最大值为，故， 故选：B 2．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列的通项公式为（其中是常数），若数列为严格增数列，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由题意对任意恒成立，从而可得答案. 【详解】由数列为严格增数列，得恒成立， 因此对任意恒成立，而，当且仅当时取等号，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 4．已知数列满足，若数列的最大项为，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】由已知代入，建立不等式组求解即可. 【详解】解：因为， 所以， ， ， ， 因为数列的最大项为，所以 ，即，所以，解得， 所以， 故答案为：. 5．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项； (3)若，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用与的关系求通项公式即可； （2）求出数列的通项公式，利用数列的单调性求出最大项； （3）分离出，利用数列的单调性求出的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 当时，,不满足上式， 故数列的通项公式为； （2）由已知得， 当时，， ，则，， 所以当时，单调递增， ， 所以数列的最大项是该数列的第项； （3）由已知得，， 则，解得， 当时， ， 要使，即， 设， 则， 所以数列为单调递增数列，即， 综上，实数的取值范围为. 求数列的最大（小）项题型03 1．（25-26高二上·江苏·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）数列的通项公式为，为其前项和，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解得，即可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，第四项起为正， 的最小值为. 故选：B 3．（24-25高二上·贵州安顺·期末）已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由推理判断数列 为首项时500，公比为的等比数列，再求的解析式，判断其单调性即得》 【详解】由① ，可得时，，即； 当时，② ， 由：，即， 故数列 为首项是500，公比为的等比数列，故. 则， 由，因， 故当时，，当时，， 即，故使取得最大值时的值为9. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用和的关系式求通项和数列的单调性，属于较难题. 解题的关键在于利用和的关系式求得通项后，继而化简得到，需通过作商判断数列的单调性，即可求得. 4．已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求最小项． 【详解】因为函数的对称轴是，时取得最小值， 而中，，时，，时，， 所以中的最小项的值为． 故答案为：． 5．已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 根据递推关系求数列通项题型01 1．已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案. 【详解】由题意得，即 所以数列是以首项为的常数列， 则，得. 故选：A 2．已知数列满足递推关系，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两边取倒数，可得新的等差数列，根据等差数列的通项公式，可得结果. 【详解】由，所以 则，又，所以 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列 所以，则 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查由递推公式得到等差数列，难点在于取倒数，学会观察，属基础题. 3．数列中，，且，则通项公式__________. 【答案】 【分析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列，即可求解. 【详解】， 整理得，， 数列为常数列， 又，则， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了由递推关系求通项公式，考查了构造法求数列通项，属于基础题. 4．已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 5．如图，在的边和上，分别分布着一系列点和，使得，且所有梯形的面积均相等.设，其中的面积为. (1)求梯形的面积； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，根据面积之比为相似比的平方可得出，进而可求得梯形的面积； （2）根据题意得出，解得，推导出数列为常数列，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）由可得， 因为，，由面积之比为相似比的平方，得， 所以梯形的面积为. （2）因为，且所有梯形的面积都相等， 故，故， 可得且，故数列是每项均为的常数列， 故，可得. 累加法求数列通项题型02 1．（25-26高二上·云南昆明·质检）已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】利用累加法可求得的值. 【详解】因为（），且， 所以 . 故选：B. 2．在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用累加法化简可求. 【详解】因为，即， ，，，， 累加得：，即. 故选：C 3．已知数列满足，则数列第2022项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题中条件可得到偶数项得关系，再进行累加即得. 【详解】 所以 累加得 故选：C. 4．已知数列 ， ， ，求 . 【答案】 . 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】由 ， ，得 ， 所以 ， ， ， ， ， 将以上个等式累加，得 ， 所以 . 当时，显然符合上式， 故. 5．设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，找出规律，依次求出前3项，即可求出的值； （2）根据规律，归纳推理，即可得到递推关系式； （3）利用叠加法和等差数列求和公式及连续自然数平方和公式，便可求出通项公式. 【详解】（1）设个平面最多把空间分成部分； 1个平面最多把空间分成2个部分；即； 2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即； 3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即； 4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即； （2）由小问（1）知： ， ， ， ， 依次类推 ， 所以； （3）由小问（2）知： ， ， ， ， ， 叠加可得， 根据，， 化简可得. 累乘法求数列通项题型03 1．（24-25高二下·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 2．（24-25高二上·天津·适应性考试）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 3．已知，，则数列的通项公式等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 当n≥2时，， 经检验，也符合上述通项公式. 本题选择C选项. 点睛：已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列； (3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式． 4．在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到 【详解】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 5．若数列满足,,则______ ． 【答案】 【分析】利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列的通项公式,利用所求的通项公式可以求出的值. 【详解】得, , 所以有,因此. 故答案为 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力. 数列周期性的应用题型04 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及递推关系得到是以3为周期的数列，进而确定. 【详解】，且， ，， ，， 所以是以3为周期的数列，则. 故选：B 2．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，依次计算并探讨其周期，进而求出. 【详解】依题意，， 因此数列从第3项起是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 3．（25-26高二·广东广州·质检）已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 【答案】26 【分析】递推求得周期 2，奇数项恒为 2、偶数项恒为 4；前 9 项含 5 个奇数项、4 个偶数项，分别相加得到总和 26. 【详解】， 当 ： 当 ： ： 数列周期为：，奇数项为，偶数项为 所以. 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． 【答案】0 【分析】观察斐波那契数列的前65项的个位：1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5...，即可得到斐波那契数列的个位以60为周期，的个位数字与的个位数相同，由此即可得解. 【详解】由题意， ∴数列为， 此数列各项除以 10 的余数依次构成的数列为： 1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0 9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0 1 1 2 3 5... 它是以 60 为周期的周期数列， ∴的个位数字与的个位数相同，故所求为0. 故答案为：0. 5．已知数列中，，且对任意正整数都有等式成立，那么________. 【答案】 【分析】直接利用赋值法的应用求出数列的递推关系式，进一步得出是周期数列，求出结果． 【详解】对任意正整数都有等式成立， 取，则， ， ， 是周期为的数列， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：利用递推关系赋值，得到周期数列是解题的关键. 由递推数列研究数列的有关性质题型05 1．（24-25高三上·北京·期末）已知数列满足对任意的，都有．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃·期末）斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 3．已知数列满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则所有项恒大于等于 B．若，则是单调递增数列 C．若是常数列，则 D．若，则是单调递增数列 【答案】C 【分析】由值不定即可判断A；由题设求出和即可判断B；由求出即可求出判断C；由和即可判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当即时等号成立， 所以，但值不定， 所以若，则所有项不一定恒大于等于，故A错误； 对于B，若时，，，而，故B错； 对于C，若是常数列，则，即， 所以，故C正确； 对于D，由题， 因为，所以由递推关系可知，且，， 所以，.故D错误. 故选：C. 4．已知数列满足，.给出下列四个结论： ①数列每一项都满足；②数列的前项和； ③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足. 其中，所有正确结论的序号是_________________. 【答案】①③④ 【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对①③④进行判断，算出即可判断②. 【详解】由，， 得，，， ，②错误； ， 又因为，， 若，则， 所以当时，，所以，，①正确； 由可得，即， 又，两边同时除以，可得： ，，… ，， 累加可得， 又因， 所以，即有， 当时，，所以，③正确； 由，得， 则当时，， 则， 当时，， 所以，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较. 5．（26-27高三上·上海·月考）已知，且．若存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，且，则实数的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】先由函数值域约束得，然后排除，再在范围内，通过三次迭代满足且非常数列，结合分段定义域边界条件推导出k的下界，最终得到. 【详解】当时，，不符合， 当时，恒为，对任意初值，迭代后，后续所有项均为0，数列是常数列， 若，数列为常数列，不符合“不是常数列”的要求； 若，则后续所有项均为0，所以，不满足对任意都有，因此时也不存在符合题意的数列，所以. ，在处取得最大值， ，单调递减， ，， 由，得最大值满足，即，所以. 当时， 若，则，且； 若，则，且， 因此对任意，恒有，数列单调不增且有下界0，必收敛于不动点，即越往后越稳定，最后趋近于一个固定数字，不波动、不循环，不存在周期为3的非常数列. 所以， 因为存在不是常数列的无穷数列满足对任意正整数都有，则，且， 设，，则满足，且、， 设，，若，则，不符合，所以， ，且， 代入迭代关系得， 整理得，因，约去得， 由，得 等价于，因为，所以恒成立， ，由得，结合，解得，恒成立， ，由得，因为时，故，恒成立. 当时，（分段闭区间端点，仍符合定义域），依然成立. 综上，的取值范围为. 求递推关系式题型06 1．数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 2．将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 【答案】C 【分析】设 满足题意的排列个数为，将排列按照与两种情况分类，可得，据此可得答案. 【详解】设 满足题意的排列个数为，本题所求为. 由题可得，，. 当，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，则，，，，， 此时没有整数使满足题意，即当，时，满足题意的排列不存在. 综上可得，. 注意到，，则， . 故选：C 3．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了__________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________. 【答案】 【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个，与每次挖掉的正方形个数所构成的数列的通项，即可根据等比数列的定义得出递推公式. 【详解】图③中共挖掉了个， 设每次挖掉的正方形个数为， 根据图形得，，，，则， 则递推式为. 故答案为：；. 4．（24-25高二下·四川成都·期末）历史上有一个著名的“伯努利装错信笺问题”，它讲的是某人想邀请朋友来家中聚会，写好了n封请柬，需要装入n个写好友人名字的信封，结果因为粗心把请柬全部装错了信封，求装错的可能会有多少种的问题．瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出解答：用A，B，C，……表示写着n位友人名字的信封，a，b，c，……表示n份对应的写好的请柬，把装错的情况总数记作，假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：第一类：b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A，B，a，b无关，应有种错装法；第二类：b装入A，B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份请柬b，c，……装入（除B以外的）个信封A，C，……，显然这时装错的情况有种，总之在a装入B的错误之下，共有错装法种．a装入C，装入D……的种错误之下，同样都有种错装法，因此可得到的关系式为__________；通过枚举法，容易求出，于是可以迅速用多种方法求出__________． 【答案】 44 【分析】根据已知即可得出的关系；根据递推关系即可求解． 【详解】由已知可得； 由递推关系可得， 故答案为：，44． 5．（25-26高二·江西·期中）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为__________． 【答案】 【详解】依题意，，消去，得． 新定义问题题型07 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．184 B．174 C．188 D．160 【答案】B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得. 【详解】 所以， 所以 . 所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题. 2．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若数列满足，则该数列是等比差数列； ②数列是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案. 【详解】①数列满足，则， 满足等比差数列的定义，故①正确； ②数列， ， 不满足等比差数列的定义，故②错误； ③设等比数列的公比为，则， 满足等比差数列，故③正确； ④设等差数列的公差为， 则， 故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确； 故答案为：①③④ 故选：B. 3．（2026·云南·高考真题）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解. 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和. 4．（25-26高二·陕西西安·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，，公积为4，则_____. 【答案】3377 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，，，所以，解得， 同理由，，， 所以 所以数列是以3为周期的数列， 所以 ， 故答案为：3377. 5．已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. (1)写出所有4的1减数列； (2)若存在m的6减数列，证明：； (3)若存在2024的k减数列，求k的最大值. 【答案】(1)数列和数列3，1 (2) 因为对于，使得的正整数对有个， 且存在的6减数列，所以，得. ①当时，因为存在的6减数列， 所以数列中各项均不相同，所以. ②当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以. ③当时，因为存在的6减数列， 所以数列各项中必有不同的项，所以. 综上所述，若存在的6减数列，则. (3)的最大值为512072 【分析】（1）根据k减数列的定义，即可写出答案； （2）根据存在的6减数列，可得，即，继而分类讨论n的取值，说明每种情况下都有，即可证明结论； （3）分类讨论数列中的项的情况，结合题意确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，则或， 故所有4的1减数列有数列和数列3，1. （2）略 （3）若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列存在大于1的项， 若末项，将拆分成个1后变大， 所以此时不是最大值，所以. 当时，若，交换的顺序后变为， 所以此时不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列末尾添加一项1，所以变大， 所以此时不是最大值，所以. 若数列A中存在相邻的两项，设此时中有项为2， 将改为2，并在数列末尾添加项1后，的值至少变为， 所以此时不是最大值， 所以数列的各项只能为2或1，所以数列为的形式. 设其中有项为2，有项为1， 因为存在2024的减数列，所以， 所以， 所以，当且仅当时，取最大值为512072. 所以，若存在2024的减数列，的最大值为512072. 【点睛】难点点睛：本题考查数列新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此依据定义去解答问题，难点在于第3问中求参数的最大值问题，要分类讨论，确定数列为的形式，从而结合设其中有项为2，有项为1，进行求解. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $