4.2.1 等差数列的概念（第二课时）课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等差数列性质应用，分层设计从基础巩固到综合探究，通过"概念理解-性质应用-综合拓展"路径提升数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等差中项、通项公式|选择1-2、填空10直接应用性质，巩固核心概念| |中档|性质综合、简单推理|选择3-6结合两个数列和、对数运算，提升应用能力| |提升|跨知识综合、探究证明|解答18构造等差数列，培养推理与创新意识|

课时作业30 等差数列的概念（第二课时） 一、选择题 1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　) A．8 B．4 C．6 D．12 2．已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　) A．10 B．16 C．20 D．24 3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 4．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25 5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　) A.12 B.8 C.6 D.4 6.(多选题)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 7．已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 8．如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　) A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0 C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0 9．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 二、填空题 10.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________. 11.正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________. 12.在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________. 13.已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________. 14.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是________． 15.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________. 三、解答题 16.已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 17.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 18.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0. (1)求a2，a3； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由. 课时作业30 等差数列的概念（第二课时） (答案） 一、选择题 1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　) A．8 B．4 C．6 D．12 解析：∵a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8. ∴m＝8. 故选A. 2．已知等差数列{an}中，a4＋a6＝8，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(　　) A．10 B．16 C．20 D．24 解析：∵a4＋a6＝2a5＝8，∴a5＝4， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝20. 故选C. 3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则由an＋bn所组成的数列的第37项为(　　) A．0 B．37 C．100 D．－37 解析：∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{an＋bn}是等差数列． ∵a1＋b1＝100，a2＋b2＝100， ∴数列{an＋bn}的公差d＝0，∴a37＋b37＝100. 故选C. 4．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25 解析:因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，所以原式＝log2220＝20. 故选B. 5．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　) A.12 B.8 C.6 D.4 解析　由等差数列性质得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 故选B. 6.(多选题)等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则(　　) A．公差d＝－4 B．a2＝7 C．数列{an}为递增数列 D．a3＋a4＋a5＝84 解析：∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7. ∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15. ∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45. 故选BC. 7．已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：∵数列{an}为等差数列， ∴a3＋a7＝a2＋a8＝. ∴tan(a3＋a7)＝tan ＝－. 故选D. 8．如果点(n，an)(n∈N*)都在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有(　　) A．a7＋a9>0 B．a7＋a9<0 C．a7＋a9＝0 D．a7a9＝0 解析：∵3n－an－24＝0，∴an＝3n－24. ∴a7＋a9＝2a8＝0. 故选C. 9．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则(　　) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 解析：∵等差数列{an}的公差为d， ∴an＋1－an＝d. 又∵数列{2a1an}为递减数列， ∴＝2a1d<1，∴a1d<0. 故选C. 二、填空题 10.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________. 解析:设数列{an}的公差为d，∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，d＝.∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18. 答案:18 11.正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________. 解析：∵2a＝a＋a，∴{a}成等差数列，首项a＝1， 公差为a－a＝3，∴a＝3n－2，∴an＝. ∴a7＝＝. 答案: 12.在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an＝________. 解析：新数列的公差d＝×＝， ∴an＝－5＋(n－1)·＝n－. 答案:n－　 13.已知等差数列{an}中，a1＋a3＋a8＝，那么cos(a3＋a5)＝________. 解析:在等差数列{an}中，由a1＋a3＋a8＝，得 a1＋(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝， ∴3a1＋9d＝，即a1＋3d＝a4＝， ∴a3＋a5＝2a4＝， 则cos(a3＋a5)＝cos＝－. 答案:－ 14.在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是________． 解析：∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120， ∴a8＝24. ∴a9－a11＝(a1＋8d)－(a1＋10d)＝a1＋＝(a1＋7d)＝a8＝16. 答案:16　 15.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a10＝________. 解析：由已知得 ∴3a＝12＋a＝12＋(2a2－2)2，∴a－8a2＋16＝0， ∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a10＝a1＋9d＝20. 答案:20 三、解答题 16.已知三个数成等差数列，且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，由已知可得 由①得a＝6，代入②得d＝±2. ∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去， ∴d＝2，∴这三个数分别为4,6,8. 17.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4. ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2， ∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4， ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． ∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 18.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，且a1＝0. (1)求a2，a3； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由. 解　(1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N*)， 所以a2＝＝，a3＝＝. (2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－ ＝－＝＝－， 又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $