4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 目 录 1 题型01 判断等差数列 1 题型02求等差中项 2 题型03等差数列通项公式的基本量计算 2 题型04、验证是否为等差数列中的项 3 题型05利用等差数列通项公式求数列中的项 3 题型06利用定义求等差数列通项公式 3 4 4 5 题型01 判断等差数列题型01 1.（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 2.（2026·河南·一模）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型02求等差中项题型02 4.（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 5.（25-26高三上·云南保山·期末）若数列、、、、为正项等差数列，正项数列、、、、满足（为常数），已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（    ） A．184 B．186 C．187 D．188 题型03等差数列通项公式的基本量计算题型03 7.（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 8.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 题型04、验证是否为等差数列中的项题型04 10.（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）60是等差数列的（   ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第31项 11.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（    ） A．2020 B．2022 C．2023 D．2025 12.（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）等差数列的公差大于0，若都是素数，则的最小值是（    ） A．683 B．769 C．907 D．1271 题型05利用等差数列通项公式求数列中的项题型05 13.（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 14.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）函数满足：，若，，则（   ） A．405 B．407 C．409 D．411 15.（2026·四川自贡·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（   ） A．4052 B．4051 C．2027 D．2026 题型06利用定义求等差数列通项公式题型06 16.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 17.（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 18.（25-26高二下·安徽阜阳·期末）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 1.（25-26高二上·云南玉溪·期末）4与8的等差中项为（   ） A．2 B．6 C．12 D．32 2.（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·北京海淀·期末）已知是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·山西·期末）已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 1.（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·陕西西安·期中）已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 3.（2026·山东日照·模拟预测）在等差数列中，，，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 4.．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 1.（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 2.（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 目 录 1 题型01 判断等差数列 1 题型02求等差中项 3 题型03等差数列通项公式的基本量计算 4 题型04、验证是否为等差数列中的项 5 题型05利用等差数列通项公式求数列中的项 7 题型06利用定义求等差数列通项公式 9 10 12 14 题型01 判断等差数列题型01 1.（26-27高二上·全国·课后作业）若数列是等差数列，则数列，，（    ） A．不是等差数列 B．是递增数列 C．是等差数列 D．是递减数列 【答案】C 【知识点】判断等差数列 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以数列，，是等差数列. 2.（2026·河南·一模）已知数列，设，.若为等差数列，设p：“为等差数列”，q：“为常数列”，则p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断等差数列、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知结合等差数列的性质检验充分必要性即可判断． 【详解】已知，，且为等差数列，设其公差为. 若为常数列，则（常数），即. 此时：， 为常数，故是公差为的等差数列，即. 若为等差数列，则为常数，设为. ， 又，则， 因此：， 由于是等差数列，设其公差为，则，代入上式：， 对任意成立，说明为常数（），故，即为常数列.因此. 综上，是的充分必要条件. 3.（2026·山东日照·三模）已知数列，则“为等差数列”是“，（m为常数）”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断等差数列、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件； 若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如数列，通项公式为，满足，不是等差数列； 所以“为等差数列”是“，（m为常数）”的充分不必要条件. 题型02求等差中项题型02 4.（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】求等差中项、利用an与sn关系求通项或项 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 5.（25-26高三上·云南保山·期末）若数列、、、、为正项等差数列，正项数列、、、、满足（为常数），已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差中项 【分析】利用等差中项的性质求出的值，再根据可求得的值. 【详解】由题意，、、、、成等差数列，且，， 由等差中项的性质可得， 又因为，故. 故选：C. 6.（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（    ） A．184 B．186 C．187 D．188 【答案】C 【知识点】验证是否为等差数列中的项 【分析】设筐内鸡蛋为个，则，依次检验4个选项即可. 【详解】设筐内鸡蛋为个，则， 对于A，，解得，不合题意，错误； 对于B，，解得，不合题意，错误； 对于D，，解得，不合题意，错误； 对于C，，解得，，解得，符合题意，正确. 故选：C. 题型03等差数列通项公式的基本量计算题型03 7.（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 8.（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的下标和性质求解. 【详解】由等差数列的性质，，由题知，则. 9.（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】可知，化简得，即. 题型04、验证是否为等差数列中的项题型04 10.（25-26高二下·江西赣州·阶段检测）60是等差数列的（   ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第31项 【答案】B 【知识点】验证是否为等差数列中的项 【详解】等差数列的通项公式为， 令，得，则60是等差数列的第29项. 11.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（    ） A．2020 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】A 【知识点】验证是否为等差数列中的项 【分析】利用待定系数法求出等差数列的通项公式，根据通项公式的特征对每个选项进行分析得出答案. 【详解】设该等差数列为，其公差为， 设13､31､58分别为该数列中的，且， 不妨设. 则，，， 所以，， 将两式相除可得，设，，则， 将分别代入，，可得， 则，其中， 所以. 选项A. ， 因为，，所以，所以本选项符合题意； 选项B. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项C. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项D. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 故选：A 12.（2025年全国第八届章鱼杯I卷（高中组）数学试题）等差数列的公差大于0，若都是素数，则的最小值是（    ） A．683 B．769 C．907 D．1271 【答案】C 【知识点】验证是否为等差数列中的项 【分析】由题可分析出不能为2，3，5，然后由，依次验证选项即可得答案. 【详解】由题，设等差数列的公差为，且为整数. 要使最小，则要使最小. 若，则为偶数，不是素数，不满足题意，则； 若，则为比3大的3的倍数，不是素数，不满足题意，则； 若，则为比5大的5的倍数，不是素数，不满足题意，则； 若，，则不是整数，不合题意，故A错误； 若，，则，则为偶数，不合题意，故B错误； 若，，则， 则，经验证均为素数，满足题意，故C正确； 若，，则，不是整数，不满足题意，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题条件较少，但因为是选择题，考虑利用排除法或数值验证法，突破口为分析出要使最小，则要使最小. 题型05利用等差数列通项公式求数列中的项题型05 13.（25-26高二下·山东德州·阶段检测）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据给定递推关系判定为等差数列，结合已知项求出公差，进而计算的值. 【详解】由递推关系，变形得， 所以数列是等差数列，设数列的公差为. 因为，，所以，即，解得， 所以. 14.（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）函数满足：，若，，则（   ） A．405 B．407 C．409 D．411 【答案】B 【知识点】判断等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】先对题中条件变形，根据等差数列的性质得到，再代入题中数据，即可求解． 【详解】， ， ， 则是等差数列，后项减前项为定值d， 即． ，， ， ， 解得． 则， 所以． 15.（2026·四川自贡·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，且（），则（   ） A．4052 B．4051 C．2027 D．2026 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【详解】由题设，则， 又，则，则，而， 所以是首项为1，公差为2的等差数列，则， 所以. 题型06利用定义求等差数列通项公式题型06 16.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列的定义及通项公式求解即得． 【详解】由得， 所以是首项，公差的等差数列， 因此，将代入得， 解得. 17.（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 18.（25-26高二下·安徽阜阳·期末）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由积与项的关系得是等差数列，从而求得. 【详解】当时，，所以， 又，所以， 所以当时，， 即，即， 所以是首项为2，公差为1的等差数列. 所以. 1.（25-26高二上·云南玉溪·期末）4与8的等差中项为（   ） A．2 B．6 C．12 D．32 【答案】B 【知识点】求等差中项 【分析】由等差中项的性质求4与8的等差中项. 【详解】由等差中项的性质知，4与8的等差中项为. 故选：B 2.（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差中项 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 3.（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A. 4.（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中， ， ，则公差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【详解】在等差数列中，由 ， ， 可得，，即，， 所以该数列的公差为. 5.（25-26高二下·北京海淀·期末）已知是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列通项公式结合已知条件求出公差，再代入计算． 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 因为，所以，解得， 所以． 6.（25-26高二下·山西·期末）已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 1.（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 2.（25-26高二下·陕西西安·期中）已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 3.（2026·山东日照·模拟预测）在等差数列中，，，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以，解得， 又因为， 所以，为等差数列的公差, 解得， 所以 4.．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】等差数列的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 1.（25-26高二下·河南南阳·期中）某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（    ） A．7.5kg B．6.5kg C．7kg D．6kg 【答案】A 【知识点】等差数列的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由题意得7个尺码最适合的人的体重成等差数列，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 2.（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【知识点】等差数列的单调性、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $