第三章 圆的基本性质（复习讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学单元复习讲义以圆的基本性质为核心，通过表格系统梳理弦、弧、圆心角等概念，要点归纳构建知识框架，按“概念-性质-应用”递进呈现，突出垂径定理、圆周角定理等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“点与圆位置关系判断”夯实基础，综合题如“垂径定理结合勾股定理求半径”培养几何直观与推理能力，难点精练针对辅助线构造等易错点。不同层次学生可按需提升，教师可据此实施精准教学，助力自主复习与能力进阶。

第三章 圆的基本性质 复习要点 1.理解圆的有关概念（如弦、弧、直径、圆心角、圆周角），掌握圆既是轴对称图形又是中心对称图形，并具有旋转不变性的性质。 2.掌握点与圆的三种位置关系，理解三角形的外接圆及外心的位置特征（锐角在内部，直角在斜边中点，钝角在外部）。 3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系（知一推三），并能熟练运用垂径定理及其推论，通过作弦心距、连半径构造直角三角形，利用勾股定理求弦长、半径等问题。 4.掌握圆周角定理及其推论，理解同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握直径所对的圆周角是直角，以及90°的圆周角所对的弦是直径等性质进行角度计算与证明。 5.理解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形对角互补，以及外角等于内对角的性质。 6.掌握正多边形的内角、中心角公式及正多边形与圆的关系，熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算，并能利用扇形弧长等于底面周长解决圆锥侧面积等相关综合问题。 复习重难点 重点：圆的有关概念及圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转不变性）；点与圆的位置关系及三角形的外接圆；圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系知一推三；垂径定理及推论的应用；圆周角定理及推论（直径所对圆周角是直角）；圆内接四边形的性质；弧长及扇形面积公式的应用。 难点：垂径定理应用中辅助线的构造（作弦心距、连半径），利用勾股定理建立方程求弦长、半径或弦心距；在同圆或等圆中理解并灵活运用“圆心角、弧、弦、弦心距”的相互转化关系；圆周角定理证明中圆心在角内、角上、角外的分类讨论思想的理解；利用圆内接四边形对角互补及外角性质进行综合几何推理；圆锥侧面展开图中，扇形弧长与底面圆周长的等量关系转化。 知识点 圆的基础概念与对称性 1.圆的定义 （1）动态定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫作圆。 （2）静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内 的集合。 （3）相关元素： 圆心：固定的端点O。圆心确定 ；半径：线段OP（不论转到什么位置）。半径确定 。 表示方法：以点O为圆心的圆，记作“ ”，读作“圆O”。 2.圆的有关概念 名称 定义 注意点 弦 连接圆上 的线段 圆内最长的弦是直径。 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍（d=2r）。 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 直径的两个端点把圆分成两条半圆。 劣弧 半圆的弧 用两个端点字母表示（如：）。 优弧 半圆的弧 必须用三个字母表示（如：）。 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧 半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆 半径相等的两个圆能够完全重合，叫作等圆 等圆只与半径有关，与位置无关。 等弧 能够 的圆弧叫作等弧 只有在 中，长度相等或圆心角度数相等的弧才是等弧。在半径不等的两个圆中，60∘的弧长度不同，不能叫等弧。 3.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 图形，对称中心是 ； （2）圆是 图形：任何一条直径 都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条 都是圆的对称轴. 要点归纳： （1）圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合；确定一个圆需要确定 ，只有确定半径而未确定圆心时，圆仍不能唯一确定。 （2）直径是经过圆心的弦，是圆中 的弦，且直径等于半径的2倍；劣弧用两个字母表示，优弧必须用 表示，半圆既不是劣弧也不是优弧。 （3）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；经过圆心的任意一条直线都是 ，圆心是圆的对称中心。 要点速测 1.下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 知识点 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 1.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 文字语言 符号语言 图示 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内⟺ 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上⟺ 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外⟺ 2.过已知点作圆 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的 上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作 个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的 ，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆 个 图形 结论 不在同一条直线上的 确定一个圆 3.三角形的外接圆 （1）三角形外接圆的定义 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边 的交点，叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。 （2）三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的 ； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 （3）三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在 （即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的 （如图3）。 要点归纳： （1）判断点与圆的位置关系，关键比较点到圆心的距离d与半径r：d<r时点在圆内，d=r时点在圆上，d>r时点在圆外。 （2）不在同一直线上的 点确定一个圆；过一个点或两个点都可以作出无数个圆，过不共线的三个点只能作出一个圆。 （3）三角形的外心是三条边 的交点，外心到 的距离相等；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 。 要点速测 2.如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角的定义 顶点在 的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB、∠COD都是圆心角。 要点： ①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为。 2. 1  弧的定义 ①定义：1∘的圆心角所对的弧叫作1∘的弧。 ②弧与角的关系：n∘的圆心角所对的弧就是n∘的弧。 ③结论： 的度数等于它所对 的度数。 3.圆心角定理及推论 （1）圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 ①圆心到圆的一条弦的距离叫做 。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 （2）圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。如上图中的四对等量关系： ①在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 ②如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 要点归纳： （1）圆心角的顶点必须在 ；圆心角所对的弦是角两边与圆的交点所连成的线段，所对的弧就是这两点之间的弧。 （2）弧的度数等于它所对 的度数；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 、 、 分别相等。 （3）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间可以相互转化，只要其中一组对应量相等，其余各组对应量也分别相等；这里“ ”是使用这些结论的重要前提。 要点速测 3.如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 知识点 垂径定理 1.垂径定理及推论 （1）垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ① （平分弦） ② （平分劣弧） ③ （平分优弧） （2）推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径 ，并且平分弦所对的 。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 2.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： ①弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； ③ 。 3.常见辅助线做法 ①过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度； ②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 要点归纳： （1）垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧；这是解决弦长、弦心距及弧之间关系问题的核心定理。 （2）在圆中， 弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，相关直径也可换成过圆心的直线。 （3）遇到求弦长、半径或弦心距的问题，常作辅助线“过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦端点”，构造直角三角形，再利用勾股定理计算。 要点速测 4.如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 知识点 圆周角定理及其推论 1.圆周角的定义 顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 ；圆心在圆周角的 。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： 圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； 圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； 圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。 推论2:在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的 也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数；圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 要点归纳： （1）圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，且角的两边都 ；判断一个角是不是圆周角时，两条边均为圆的弦是重要依据。 （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角的度数等于它所对 的度数的一半，即“圆周角＝所对圆心角的一半”。 （3）直径所对的圆周角是 ；反过来，90°的圆周角所对的弦是 ，这是解决圆内直角、直径及三角形问题中的高频结论。 要点速测 5.如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 知识点 圆内接四边形的性质 1.定义与概念 圆内接四边形：如果一个四边形的 ，那么这个四边形叫作圆的内接四边形。 外接圆：这个圆叫作四边形的外接圆。 2.核心性质：对角互补 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号语言：若四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=，∠B+∠D=。 定理证明（利用圆周角定理）：∠A所对的弧是，∠C所对的弧是。 因为与的度数之和为（构成一个完整的圆）。 所以。 3.推论 圆内接四边形的任意一个 等于它的 。即如上图中，若延长BA到E，则∠DAE=∠C。 补充：符号“”表示角与弧的度数相等。 要点归纳： （1）圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上，其核心性质是“ ”，即一组对角的和等于180°。 （2）圆内接四边形中，一个外角等于它的内对角；解决这类题目时，要注意结合平行线性质、三角形内角和等知识进行综合运用。 要点速测 6.如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 知识点 正多边形与圆 1.正多边形与圆 （1）正多边形的定义 定义：各 相等、各 也相等的多边形叫作正多边形。 常见类型：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 （2）正多边形的内角计算 计算公式：正n边形的每个内角的度数为： ∘​ （3）正多边形的外接圆 性质：任何正多边形都有一个外接圆。经过一个正多边形 的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作 。 正六边形的特殊性质： 边长等于半径：正六边形相邻两个顶点与圆心构成的△AOB是等边三角形，因此正六边形的边长等于其外接圆的半径。 尺规作图：在圆上任取一点，以该圆半径为半径，依次在圆上截取六次，即可将圆六等分，顺次连接即得正六边形。 正n边形的中心角：正n边形每一条边所对的圆心角（中心角）等于 ​。 （4）正多边形的对称性 轴对称性：所有的正多边形都是轴对称图形。正n边形有 条对称轴。 中心对称性： 当n为偶数时（如正四边形、正六边形），正n边形 中心对称图形。 当n为奇数时（如正三角形、正五边形），正n边形 中心对称图形。 2.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以 ；根据同圆中相等弧所对的 相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点；同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。 要点归纳： （1）正n边形的每个内角为（n－2）×180°/n，每一条边所对的中心角为360°/n；正多边形具有边相等、角相等的特征。 （2）任意正多边形都有唯一的外接圆；对于正六边形，其边长等于 ，这是正六边形中最重要的特殊性质。 （3）正n边形有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，当n为奇数时不是中心对称图形。 要点速测 7.如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（ ） A． B． C． D． 知识点 弧长及扇形的面积 1.弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式: (弧是圆的一部分); 2.扇形的面积公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 3.圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥 和 的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积： 要点归纳： （1）半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长为:，扇形面积为，也可表示为S扇形=。 （2）计算弧长和扇形面积时，必须先明确圆心角所对应的是圆的一部分，不能将弧长公式与圆的周长、扇形面积公式与圆面积混淆。 （3）圆锥侧面展开图中的扇形弧长等于圆锥底面 ；因此解决圆锥侧面积问题时，常利用“扇形弧长＝底面周长”建立关系，再结合母线、底面半径和勾股定理解决相关问题。 要点速测 8.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（ ） A． B． C． D． 题型1 圆的有关概念辨析及点与圆的位置关系 ▌例1-1 （25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（ ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ ▌例1-2 （25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 解题要点 圆的有关概念辨析及点与圆的位置关系 1.·熟记圆的概念，明确直径是最长的弦，半圆既不是劣弧也不是优弧，同圆或等圆中才有等弧。 2.判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小。 3.确定三角形的外心时，应找三边垂直平分线的交点；注意外心位置：锐角在内部，直角在斜边中点，钝角在外部。 4.利用“不在同一直线上的三个点确定一个圆”解决实际问题（如过点作圆）。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·福建南平·期末）在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． 题型2 圆心角、弧、弦、弦心距关系的应用 ▌例2-1 （25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ ▌例2-2 （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 解题要点 圆心角、弧、弦、弦心距关系的应用 1.在使用“圆心角、弧、弦、弦心距”对应关系时，必须牢记前提条件是“同圆或等圆”。 2.圆心角的度数等于它所对弧的度数；利用“知一推三”（四量关系）进行等量转化，常用于证明线段相等或角度相等。 3.遇到求弧的度数或弦长时，优先寻找相等的圆心角或弦来转化。 ▌迁移练2-1（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． ▌迁移练2-2（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周：①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 题型3 垂径定理及其推论的综合应用 ▌例3-1 （2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． ▌例3-2 （25-26九年级下·重庆·期中）如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 解题要点 垂径定理及其推论的综合应用 1.核心定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意推论中“平分弦（不是直径）”的前提。 2.常作辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心和半径，构造直角三角形，再利用勾股定理求解弦长、半径或弦心距。 3.注意拓展结论：平分弧的直径垂直平分弦，圆的两条平行弦所夹的弧相等；当涉及平行弦时，要分圆心在弦的同侧和异侧两种情况进行分类讨论。 ▌迁移练3-1（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． ▌迁移练3-2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 题型4 圆周角定理及其推论的运用 ▌例4-1 （25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． ▌例4-2 （25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 解题要点 圆周角定理及其推论的运用 1.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.最重要推论：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径，常用来构造直角三角形。 3.分析圆心与圆周角的位置关系（角边上、内部、外部），需具备分类讨论的思维。 4.求角度时，常将圆周角转化为圆心角或同弧上的其他圆周角，注意结合三角形内角和定理。 ▌迁移练4-1（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，网格中的小正方形边长均为，点，，都在格点上，过格点，，作圆，点是圆上一点，，则的大小为________． ▌迁移练4-2（26-27九年级上·山东日照·开学考试）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 题型5 圆内接四边形的性质应用 ▌例5-1 （2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． ▌例5-2 （25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 解题要点 圆内接四边形的性质应用 1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即角A+角C=180度，角B+角D=180度）。 2.重要推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 3.常结合平行线、三角形外角或内角和定理，进行角度之间的等量代换求解。 ▌迁移练5-1（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为__________． ▌迁移练5-2（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线分别相交于点E，F．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型6 正多边形与圆的计算 ▌例6-1 （25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． ▌例6-2 （25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 解题要点 正多边形与圆的计算 1.熟记公式：正n边形的中心角为360°/n，每个内角为（n－2）×180°/n。 2.牢记正六边形的特殊性质：边长等于外接圆的半径，因此在圆上可直接截取半径作正六边形。 3.正n边形有n条对称轴；正n边形是中心对称图形的条件是n为偶数。有时需将多边形分割成等腰三角形进行计算。 ▌迁移练6-1（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为___________． ▌迁移练6-2（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 题型7 弧长及扇形、不规则图形面积的综合计算 ▌例7-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． ▌例7-2 （2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 解题要点 弧长及扇形、不规则图形面积的综合计算 1.准确记忆弧长公式和扇形面积公式。 2.解决求不规则（弓形或阴影部分）面积问题时，常采用“割补法”或“转化法”，将其转化为规则图形面积的和或差。 3.求动点经过的路径长度时，需将路径轨迹视为弧长进行计算，准确找出旋转中心、半径和圆心角。 ▌迁移练7-1（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． (1)__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为，，求阴影部分的面积． ▌迁移练7-2（25-26九年级上·广东·期末）如图，三角形为直角三角形，是圆的直径，且，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大，则____________________ ．（结果保留） 题型8 圆锥侧面积与展开图的计算 ▌例8-1 （2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 ▌例8-2 （25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 解题要点 圆锥侧面积与展开图的计算 1.明确等量关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长；扇形的半径等于圆锥的母线长。 2.圆锥的侧面积（r为底面半径，l为母线长），全面积。 3.常利用勾股定理结合母线长、底面半径和圆锥的高建立方程求解。 ▌迁移练8-1（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． ▌迁移练8-2（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 难点一 垂径定理应用中辅助线的构造与分类讨论思想 垂径定理是解决圆中线段计算的核心定理，其难点不仅在于定理本身，更在于如何通过添加辅助线将已知条件转化为直角三角形求解，以及在遇到平行弦等特殊位置关系时，必须运用分类讨论的思想进行全面思考。 解题方法 ① 熟练运用“作弦心距、连半径”的常用辅助线，构造以半径、弦心距和半弦长为三边的直角三角形； ② 在直角三角形中，运用勾股定理列出方程来求解弦长、半径或弦心距； ③ 当遇到“圆内两条平行弦”问题时，需分圆心在平行弦的同侧和异侧两种情况进行画图讨论，不可漏解； 易错提醒 容易忽略“过圆心作垂线”这一最基本也是最关键的辅助线；在求解平行弦间距问题时，只画出一种位置关系导致少一个答案；在运用推论时，忽视“非直径”这一限制条件而出现推理错误。 难点精练 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，点C在弦上，，，点O到弦的距离为3，则弦所对弧的中点到弦的距离是________． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 4．是的弦，分别是的中点，若，则的度数为________． 5．在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________． 难点二 圆内角度关系的综合转化 圆内角度关系是本章的核心，难点在于通过“同弧所对圆周角相等”、“直径所对圆周角是直角”以及“圆内接四边形对角互补”来寻找隐藏在复杂图形中的等量关系，并进行代换。 解题方法 ① 找准桥梁角，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，将已知角转移到目标三角形中； ② 注意隐藏条件：“直径所对的圆周角是直角”，由此构造直角三角形进行角度计算； ③ 利用圆内接四边形的对角互补，以及外角等于内对角的性质，将四边形内部角转化为外部角进行等量代换； ④ 综合运用三角形内角和定理及外角定理，列方程求解未知角度。 易错提醒 容易将圆周角的倍数关系错写成圆心角的一半；在转移角度时找不到对应的“同弧”；或是忽略了题目中存在圆内接四边形这一隐含条件。 难点精练 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，是的直径，在圆周上，连接，将弦沿直径对折，落点记为，连接延长交圆于、交于，连，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，内接于，取弧的中点，连接，点在弦上，且，若，的半径为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽芜湖·二模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 难点三 动点路径、旋转扫过面积及不规则图形面积计算 面积和路径问题将圆与图形的旋转、割补法紧密结合。难点在于如何将不规则图形转化为规则图形，并准确确定旋转中心、半径和扇形圆心角。 解题方法 ① 采用“割补法”，将不规则阴影面积转化为扇形面积、三角形面积等规则图形面积的和或差； ② 求动点路径长度时，需将其抽象为弧长问题，准确找出旋转中心、旋转半径和旋转角度； ③ 求图形旋转扫过的面积时，把握半径的变化规律，转化为多个扇形面积进行加减计算； ④ 熟练掌握弧长与扇形面积公式，灵活选取公式简化计算。 易错提醒 找错旋转中心或旋转半径，导致算出的路径错误；混淆弧长公式和扇形面积公式；在进行割补时，漏加了某一部分面积或者重复计算了某一块面积。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 2．（2026·江苏连云港·三模）如图，在中，，，若将此三角形绕直角顶点O顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为_____． 3．（2026·山东济南·中考真题）如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点D是边上的一个动点，点C关于的对称点是点．动点D从点C运动到点B时，点的路径长为__． 基础达标 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，弧是弧的2倍，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 7．（2026·广西南宁·二模）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 10．（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 能力进阶 11．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 12．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 15．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 16．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 17．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 18．利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形． 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【项目主题】制作圆锥． 【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶． 【项目实施】 步骤1：确定圆形卡纸的圆心； 步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），； 步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【项目探索】 (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）． (2)求剪下的扇形的面积． (3)求圆锥的高． 20．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆的基本性质 复习要点 1.理解圆的有关概念（如弦、弧、直径、圆心角、圆周角），掌握圆既是轴对称图形又是中心对称图形，并具有旋转不变性的性质。 2.掌握点与圆的三种位置关系，理解三角形的外接圆及外心的位置特征（锐角在内部，直角在斜边中点，钝角在外部）。 3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系（知一推三），并能熟练运用垂径定理及其推论，通过作弦心距、连半径构造直角三角形，利用勾股定理求弦长、半径等问题。 4.掌握圆周角定理及其推论，理解同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握直径所对的圆周角是直角，以及90°的圆周角所对的弦是直径等性质进行角度计算与证明。 5.理解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形对角互补，以及外角等于内对角的性质。 6.掌握正多边形的内角、中心角公式及正多边形与圆的关系，熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算，并能利用扇形弧长等于底面周长解决圆锥侧面积等相关综合问题。 复习重难点 重点：圆的有关概念及圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转不变性）；点与圆的位置关系及三角形的外接圆；圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系知一推三；垂径定理及推论的应用；圆周角定理及推论（直径所对圆周角是直角）；圆内接四边形的性质；弧长及扇形面积公式的应用。 难点：垂径定理应用中辅助线的构造（作弦心距、连半径），利用勾股定理建立方程求弦长、半径或弦心距；在同圆或等圆中理解并灵活运用“圆心角、弧、弦、弦心距”的相互转化关系；圆周角定理证明中圆心在角内、角上、角外的分类讨论思想的理解；利用圆内接四边形对角互补及外角性质进行综合几何推理；圆锥侧面展开图中，扇形弧长与底面圆周长的等量关系转化。 知识点 圆的基础概念与对称性 1.圆的定义 （1）动态定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫作圆。 （2）静态理解：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。 （3）相关元素： 圆心：固定的端点O。圆心确定圆的位置；半径：线段OP（不论转到什么位置）。半径确定圆的大小。 表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 2.圆的有关概念 名称 定义 注意点 弦 连接圆上任意两点的线段 圆内最长的弦是直径。 直径 经过圆心的弦 直径等于半径的 2 倍（d=2r）。 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分 直径的两个端点把圆分成两条半圆。 劣弧 小于半圆的弧 用两个端点字母表示（如：）。 优弧 大于半圆的弧 必须用三个字母表示（如：）。 半圆 圆的任意一条直径的两个端点分成的两条弧 半圆既不是劣弧，也不是优弧。 等圆 半径相等的两个圆能够完全重合，叫作等圆 等圆只与半径有关，与位置无关。 等弧 能够完全重合的圆弧叫作等弧 只有在同圆或等圆中，长度相等或圆心角度数相等的弧才是等弧。在半径不等的两个圆中，60∘的弧长度不同，不能叫等弧。 3.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； （2）圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点归纳： （1）圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合；确定一个圆需要确定圆心和半径，只有确定半径而未确定圆心时，圆仍不能唯一确定。 （2）直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦，且直径等于半径的2倍；劣弧用两个字母表示，优弧必须用三个字母表示，半圆既不是劣弧也不是优弧。 （3）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆心是圆的对称中心。 要点速测 1.下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（ ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 知识点 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 1.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 文字语言 符号语言 图示 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内⟺d<r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上⟺d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外⟺d>r 2.过已知点作圆 条件 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直线上的三点作圆 理论依据 经过平面内一个点A作圆时，只要以点A以外任意一点为圆心，以这点到点A的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点A，B作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径可作出经过A，B，C三点的圆，这样的圆只有一个 图形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 3.三角形的外接圆 （1）三角形外接圆的定义 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 （2）三角形外心的性质 ①三角形的外心到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 （3）三角形外心的位置 锐角三角形ABC外接圆的圆心O在它的内部（如图1）；直角三角形ABC外接圆的圆心O在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形ABC外接圆的圆心O在它的外部（如图3）。 要点归纳： （1）判断点与圆的位置关系，关键比较点到圆心的距离d与半径r：d<r时点在圆内，d=r时点在圆上，d>r时点在圆外。 （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆；过一个点或两个点都可以作出无数个圆，过不共线的三个点只能作出一个圆。 （3）三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 要点速测 2.如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆心角的定义 顶点在圆心的角叫做圆心角。如图所示，∠AOB、∠COD都是圆心角。 要点： ①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为。 2. 1  弧的定义 ①定义：1∘的圆心角所对的弧叫作1∘的弧。 ②弧与角的关系：n∘的圆心角所对的弧就是n∘的弧。 ③结论：弧的度数等于它所对圆心角的度数。 3.圆心角定理及推论 （1）圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ①圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。 （2）圆心角定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等。如上图中的四对等量关系： ①在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 ②如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 要点归纳： （1）圆心角的顶点必须在圆心；圆心角所对的弦是角两边与圆的交点所连成的线段，所对的弧就是这两点之间的弧。 （2）弧的度数等于它所对圆心角的度数；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距分别相等。 （3）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四者之间可以相互转化，只要其中一组对应量相等，其余各组对应量也分别相等；这里“同圆或等圆”是使用这些结论的重要前提。 要点速测 3.如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 知识点 垂径定理 1.垂径定理及推论 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，若CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，则： ①AE=BE（平分弦） ②=（平分劣弧） ③=（平分优弧） （2）推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 2.垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： ①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧； ③圆的两条平行弦所夹的弧相等。 3.常见辅助线做法 ①过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度； ②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分。 要点归纳： （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；这是解决弦长、弦心距及弧之间关系问题的核心定理。 （2）在圆中，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，相关直径也可换成过圆心的直线。 （3）遇到求弦长、半径或弦心距的问题，常作辅助线“过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦端点”，构造直角三角形，再利用勾股定理计算。 要点速测 4.如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 知识点 圆周角定理及其推论 1.圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。如下图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角。 判断要点：①顶点在圆上；②角的两边分别与圆相交（即两边均为圆的弦）。 2.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。 定理证明思路（难点）：由于圆心与圆周角的位置关系不同，证明分三类情况进行讨论： 圆心在圆周角的一条边上（利用三角形外角定理）； 圆心在圆周角的内部（作直径，利用角的和）； 圆心在圆周角的外部（作直径，利用角的差）。 3.圆周角定理的推论 推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 4.弧、圆心角、圆周角的度数关系总结 弧的度数=它所对的圆心角的度数；圆周角的度数=它所对弧的度数的一半。 要点归纳： （1）圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，且角的两边都与圆相交；判断一个角是不是圆周角时，两条边均为圆的弦是重要依据。 （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即“圆周角＝所对圆心角的一半”。 （3）直径所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径，这是解决圆内直角、直径及三角形问题中的高频结论。 要点速测 5.如图，A、B、C是上的三个点，，，则的度数是（ ） A．25° B．30° C．40° D．55° 【答案】B 【分析】首先根据∠B的度数求得∠BOC的度数，然后求得∠AOC的度数，求得等腰三角形的底角． 【详解】∵OB=OC，∠B=55°， ∴∠B=∠OCB， ∴∠BOC=180°-2∠B=70°， ∵∠AOB=50°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°， ∵OA=OC，∴∠A=∠OCA==30°，故选：B． 知识点 圆内接四边形的性质 1.定义与概念 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫作圆的内接四边形。 外接圆：这个圆叫作四边形的外接圆。 2.核心性质：对角互补 性质定理：圆内接四边形的对角互补。 符号语言：若四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=，∠B+∠D=。 定理证明（利用圆周角定理）：∠A所对的弧是，∠C所对的弧是。 因为与的度数之和为（构成一个完整的圆）。 所以。 3.推论 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。即如上图中，若延长BA到E，则∠DAE=∠C。 补充：符号“”表示角与弧的度数相等。 要点归纳： （1）圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上，其核心性质是“对角互补”，即一组对角的和等于180°。 （2）圆内接四边形中，一个外角等于它的内对角；解决这类题目时，要注意结合平行线性质、三角形内角和等知识进行综合运用。 要点速测 6.如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 知识点 正多边形与圆 1.正多边形与圆 （1）正多边形的定义 定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。 常见类型：正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。 （2）正多边形的内角计算 计算公式：正n边形的每个内角的度数为：∘​ （3）正多边形的外接圆 性质：任何正多边形都有一个外接圆。经过一个正多边形各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆，这个正多边形也叫作圆内接正多边形。 正六边形的特殊性质： 边长等于半径：正六边形相邻两个顶点与圆心构成的△AOB是等边三角形，因此正六边形的边长等于其外接圆的半径。 尺规作图：在圆上任取一点，以该圆半径为半径，依次在圆上截取六次，即可将圆六等分，顺次连接即得正六边形。 正n边形的中心角：正n边形每一条边所对的圆心角（中心角）等于​。 （4）正多边形的对称性 轴对称性：所有的正多边形都是轴对称图形。正n边形有n条对称轴。 中心对称性： 当n为偶数时（如正四边形、正六边形），正n边形是中心对称图形。 当n为奇数时（如正三角形、正五边形），正n边形不是中心对称图形。 2.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图。 ①正四、八边形 在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交AB于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。 ②正六、三、十二边形的作法 通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点；同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分。 要点归纳： （1）正n边形的每个内角为（n－2）×180°/n，每一条边所对的中心角为360°/n；正多边形具有边相等、角相等的特征。 （2）任意正多边形都有唯一的外接圆；对于正六边形，其边长等于外接圆半径，这是正六边形中最重要的特殊性质。 （3）正n边形有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，当n为奇数时不是中心对称图形。 要点速测 7.如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 知识点 弧长及扇形的面积 1.弧长公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n°的圆心角所对的圆的弧长公式:(弧是圆的一部分); 2.扇形的面积公式 半径为R的圆中： 360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式： 3.圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积， 圆锥的全面积： 要点归纳： （1）半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长为:，扇形面积为，也可表示为S扇形=。 （2）计算弧长和扇形面积时，必须先明确圆心角所对应的是圆的一部分，不能将弧长公式与圆的周长、扇形面积公式与圆面积混淆。 （3）圆锥侧面展开图中的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长；因此解决圆锥侧面积问题时，常利用“扇形弧长＝底面周长”建立关系，再结合母线、底面半径和勾股定理解决相关问题。 要点速测 8.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理．设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ，， 圆锥的高为，故选：D． 题型1 圆的有关概念辨析及点与圆的位置关系 ▌例1-1 （25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列命题中，正确的是（ ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③平面上三个点确定一个圆；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②进行判断；根据三点确定一个圆的条件对③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． ▌例1-2 （25-26九年级上·甘肃定西·期末）若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 解题要点 圆的有关概念辨析及点与圆的位置关系 1.·熟记圆的概念，明确直径是最长的弦，半圆既不是劣弧也不是优弧，同圆或等圆中才有等弧。 2.判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小。 3.确定三角形的外心时，应找三边垂直平分线的交点；注意外心位置：锐角在内部，直角在斜边中点，钝角在外部。 4.利用“不在同一直线上的三个点确定一个圆”解决实际问题（如过点作圆）。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，分别以线段两端点为圆心，适当的长为半径画弧，两弧相交于C、D两点，直线交于点E，O为CD上另一点，以O点为圆心，长为半径画圆，交于点F，若，则⊙O的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，勾股定理，圆的基本性质，连接，由作图方法可知，垂直平分，则，设的半径为，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴设的直径为， 故选：C． ▌迁移练1-2（25-26九年级上·福建南平·期末）在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． 【答案】(1) 如图所示，的外接圆O即为所求， (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解． （1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵为的垂直平分线， ∴点D为的中点， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴． 题型2 圆心角、弧、弦、弦心距关系的应用 ▌例2-1 （25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . ▌例2-2 （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 解题要点 圆心角、弧、弦、弦心距关系的应用 1.在使用“圆心角、弧、弦、弦心距”对应关系时，必须牢记前提条件是“同圆或等圆”。 2.圆心角的度数等于它所对弧的度数；利用“知一推三”（四量关系）进行等量转化，常用于证明线段相等或角度相等。 3.遇到求弧的度数或弦长时，优先寻找相等的圆心角或弦来转化。 ▌迁移练2-1（2026·浙江温州·模拟预测）如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为． ▌迁移练2-2（2026·甘肃兰州·中考真题）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角， 根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分． （2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． 【详解】（1）略． （2）略． 题型3 垂径定理及其推论的综合应用 ▌例3-1 （2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． ▌例3-2 （25-26九年级下·重庆·期中）如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 解题要点 垂径定理及其推论的综合应用 1.核心定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意推论中“平分弦（不是直径）”的前提。 2.常作辅助线：过圆心作弦的垂线，连接圆心和半径，构造直角三角形，再利用勾股定理求解弦长、半径或弦心距。 3.注意拓展结论：平分弧的直径垂直平分弦，圆的两条平行弦所夹的弧相等；当涉及平行弦时，要分圆心在弦的同侧和异侧两种情况进行分类讨论。 ▌迁移练3-1（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． ▌迁移练3-2（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知的半径为5，，于点，且经过点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可知，，结合垂径定理，可求得，然后利用勾股定理在以及中可分别求得以及． 【详解】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型4 圆周角定理及其推论的运用 ▌例4-1 （25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ． ▌例4-2 （25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得，由同弧所对的圆周角相等得，由直角三角形两锐角互余得，由平分得，最后由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 解题要点 圆周角定理及其推论的运用 1.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等。 2.最重要推论：直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径，常用来构造直角三角形。 3.分析圆心与圆周角的位置关系（角边上、内部、外部），需具备分类讨论的思维。 4.求角度时，常将圆周角转化为圆心角或同弧上的其他圆周角，注意结合三角形内角和定理。 ▌迁移练4-1（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，网格中的小正方形边长均为，点，，都在格点上，过格点，，作圆，点是圆上一点，，则的大小为________． 【答案】/34度 【分析】连接，由网格特点，结合勾股定理及其逆定理得到，则，然后利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：连接， 由网格特点，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌迁移练4-2（26-27九年级上·山东日照·开学考试）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 题型5 圆内接四边形的性质应用 ▌例5-1 （2026九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． ▌例5-2 （25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 解题要点 圆内接四边形的性质应用 1.核心性质：圆内接四边形的对角互补（即角A+角C=180度，角B+角D=180度）。 2.重要推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 3.常结合平行线、三角形外角或内角和定理，进行角度之间的等量代换求解。 ▌迁移练5-1（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为__________． 【答案】/60度 【分析】根据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，进而求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， ． ▌迁移练5-2（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线分别相交于点E，F．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质及三角形外角的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，，得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，故选：B． 题型6 正多边形与圆的计算 ▌例6-1 （25-26九年级上·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查圆与正多边形、正多边形的中心角、等边三角形的判定和性质、勾股定理等，作出内切圆是解题的关键． 先作出正六边形的内切圆，确定的位置，连接，再根据垂直平分线的性质推出，，，然后证明为等边三角形，根据等边三角形的性质结合勾股定理，求出，即可求解圆心的坐标． 【详解】解：如图，分别作的垂直平分线，的垂直平分线的交点设为点，的垂直平分线与交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，即为正六边形的内切圆， ∵正六边形的边长是4， ∴， ∵的垂直平分线与交于点， ∴，，， ∵正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中， 根据勾股定理，， ∴点的坐标为． 故答案为：． ▌例6-2 （25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 解题要点 正多边形与圆的计算 1.熟记公式：正n边形的中心角为360°/n，每个内角为（n－2）×180°/n。 2.牢记正六边形的特殊性质：边长等于外接圆的半径，因此在圆上可直接截取半径作正六边形。 3.正n边形有n条对称轴；正n边形是中心对称图形的条件是n为偶数。有时需将多边形分割成等腰三角形进行计算。 ▌迁移练6-1（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边作正方形，将正方形绕点顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合，则正方形与正方形重叠部分的面积为___________． 【答案】/ 【分析】先计算出正八边形的内角，再利用旋转的性质得，延长过点D，然后利用正方形与正方形重叠部分的面积进行计算． 【详解】解：正八边形的一个内角为：， 正方形绕点B顺时针旋转，使与正八边形的另一边重合， ∴，， ∴， ∴延长过点D，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴正方形与正方形重叠部分的面积为： ． ▌迁移练6-2（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，是的弦，若的半径是，弦是圆内接正多边形的一边．则该正多边形的面积是___________． 【答案】 【分析】连接，，过点A作于点D，由圆周角定理得，即可求得的长和正多边形的边数，即可求得面积． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为正八边形的边， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的面积． 题型7 弧长及扇形、不规则图形面积的综合计算 ▌例7-1 （2026·江苏宿迁·中考真题）用半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设未知数列方程求解． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为，已知扇形半径为，圆心角为， 根据扇形弧长公式计算弧长得， ∵ 圆锥侧面展开后，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴ 可得方程 ， 解得 ． ▌例7-2 （2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 解题要点 弧长及扇形、不规则图形面积的综合计算 1.准确记忆弧长公式和扇形面积公式。 2.解决求不规则（弓形或阴影部分）面积问题时，常采用“割补法”或“转化法”，将其转化为规则图形面积的和或差。 3.求动点经过的路径长度时，需将路径轨迹视为弧长进行计算，准确找出旋转中心、半径和圆心角。 ▌迁移练7-1（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，已知是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为点，点是的中点，交于点，交于点． (1)__________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若为，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)或 (2)是等腰三角形 (3) 【分析】（）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，进行求解即可； （2）由圆周角定理可得，，进而可证，即可求证； （3）利用圆心角和弧的关系可得，进而可得为等边三角形，即可得，，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴； 综上，； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：连接， ∵为， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练7-2（25-26九年级上·广东·期末）如图，三角形为直角三角形，是圆的直径，且，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大，则____________________ ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查面积割补计算与等量代换．利用面积差建立不规则阴影面积与规则图形面积之间的等量关系，是解题的关键． 根据阴影Ⅰ比阴影Ⅱ的面积大，得到，进而通过计算半圆和三角形的面积差，得到的长度． 【详解】解：∵阴影Ⅰ比阴影Ⅱ的面积大， ∴， ∵三角形为直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型8 圆锥侧面积与展开图的计算 ▌例8-1 （2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． ▌例8-2 （25-26九年级上·江苏徐州·期末）已知一个圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的圆心角．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆心角为，则扇形的弧长为，圆锥底面的周长为， 根据弧长相等，得， 解得，故答案为：． 解题要点 圆锥侧面积与展开图的计算 1.明确等量关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长；扇形的半径等于圆锥的母线长。 2.圆锥的侧面积（r为底面半径，l为母线长），全面积。 3.常利用勾股定理结合母线长、底面半径和圆锥的高建立方程求解。 ▌迁移练8-1（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是．故选：D． ▌迁移练8-2（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． 难点一 垂径定理应用中辅助线的构造与分类讨论思想 垂径定理是解决圆中线段计算的核心定理，其难点不仅在于定理本身，更在于如何通过添加辅助线将已知条件转化为直角三角形求解，以及在遇到平行弦等特殊位置关系时，必须运用分类讨论的思想进行全面思考。 解题方法 ① 熟练运用“作弦心距、连半径”的常用辅助线，构造以半径、弦心距和半弦长为三边的直角三角形； ② 在直角三角形中，运用勾股定理列出方程来求解弦长、半径或弦心距； ③ 当遇到“圆内两条平行弦”问题时，需分圆心在平行弦的同侧和异侧两种情况进行画图讨论，不可漏解； 易错提醒 容易忽略“过圆心作垂线”这一最基本也是最关键的辅助线；在求解平行弦间距问题时，只画出一种位置关系导致少一个答案；在运用推论时，忽视“非直径”这一限制条件而出现推理错误。 难点精练 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知的直径为26，弦，动点P、Q在上，弦，若点M、N分别是弦、的中点，则线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、、、，由垂径定理可得，，，，再由勾股定理计算得出，，再分两种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、， ， ∵的直径为26， ∴， ∵点M、N分别是弦、的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，、、三点共线， 当、位于的同侧时，线段的长最短为， 当、位于的异侧时，线段的长最长为， ∴线段的取值范围是，故选：A． 2．在中，点C在弦上，，，点O到弦的距离为3，则弦所对弧的中点到弦的距离是________． 【答案】2或8 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，其中，则，的长即为所求，先利用勾股定理可得，再根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：如图，连接，其中，则，的长即为所求． ∵，， ∴， 由垂径定理得：， ∴， ∴，， 即弦所对弧的中点到弦的距离是2或8， 故答案为：2或8． 3．（2026·江苏扬州·一模）如图在平面直角坐标系中，已知的半径为4，交x轴的正半轴于点P．点Q为内一点，且经过点Q的所有弦中，只有4条弦的长为整数，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据圆的半径确定出圆中最长弦和最短弦的长度范围，由经过点Q的所有弦中只有4条弦长为整数，找出4条整数长度的弦对应的数值，进而确定过点Q的最短弦的长度范围，根据过圆内一点的最短弦是与该点和圆心连线垂直的弦，利用垂径定理，结合最短弦的长度范围计算的取值范围，由于点P在x轴正半轴且是圆上一点，结合的长度，即可确定的取值范围． 【详解】解：∵的半径， ∴的直径为8， ∴圆内弦长的取值范围是， 当弦长l为8时，只有1条，即为直径， ∵经过点Q的整数弦只有4条， ∴当最短弦，则长度为6，7，8的弦都存在， ∴弦长数量为，满足题意， 如图，经过点Q的最短弦有1条，经过点Q的最长弦有1条，经过点Q的弦关于直径对称有2条， 此时经过点Q的最短弦长为6， ∵最短弦l垂直于，设， 由垂径定理得，， ∴，即在中， ∴， ∴点Q是以点O为圆心，半径为的圆上运动， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，最短， ∴， 当点Q在的延长线上时，最长， ∴， ∴的取值范围是． 4．是的弦，分别是的中点，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分圆心在∠BAC的内部和外部两种情况，根据垂径定理得出直角，进行计算即可． 【详解】解：∵ 分别是的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO=∠ANO=90°， 如图1，∵∠ADM=∠ODN， ∴∠MON=∠BAC=40°； 如图2 ∠MON=360º-90º-90º-40º=140°， 故答案为：或． 5．在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________． 【答案】或 【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，求出和的值，即可求出的长． 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，过O作于E，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ， ； ②如图2，同理，， 故答案为：或． 难点二 圆内角度关系的综合转化 圆内角度关系是本章的核心，难点在于通过“同弧所对圆周角相等”、“直径所对圆周角是直角”以及“圆内接四边形对角互补”来寻找隐藏在复杂图形中的等量关系，并进行代换。 解题方法 ① 找准桥梁角，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”，将已知角转移到目标三角形中； ② 注意隐藏条件：“直径所对的圆周角是直角”，由此构造直角三角形进行角度计算； ③ 利用圆内接四边形的对角互补，以及外角等于内对角的性质，将四边形内部角转化为外部角进行等量代换； ④ 综合运用三角形内角和定理及外角定理，列方程求解未知角度。 易错提醒 容易将圆周角的倍数关系错写成圆心角的一半；在转移角度时找不到对应的“同弧”；或是忽略了题目中存在圆内接四边形这一隐含条件。 难点精练 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，等腰内接于，点为左侧圆周上一点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图，是的直径，在圆周上，连接，将弦沿直径对折，落点记为，连接延长交圆于、交于，连，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，再结合以及圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵将弦沿直径对折，点落点记为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，是的直径，点，，在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的直径， ， 由图可得，， ． 4．如图，内接于，取弧的中点，连接，点在弦上，且，若，的半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接、、，延长交于点，连接、，过点作于点，设，推出，继而得到，，得，进一步推出，，，结合圆的基本性质及等腰三角形的性质得，，再结合勾股定理求得，根据同弧或等弧所对的圆周角相等证明，最后根据等角对等边可得答案． 【详解】解：如图，连接、、，延长交于点，连接、，过点作于点，设， ∵点是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，所在的圆周角为、，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 5．（2026·安徽芜湖·二模）如图，的两条直径互相垂直，点E在半径上，连接并延长交于点F，若，则________°． 【答案】67.5 【分析】根据题意可得，再证即可求解． 【详解】解：连接， 的两条直径互相垂直， ，， ， ， ， 又， ， 又， ． 难点三 动点路径、旋转扫过面积及不规则图形面积计算 面积和路径问题将圆与图形的旋转、割补法紧密结合。难点在于如何将不规则图形转化为规则图形，并准确确定旋转中心、半径和扇形圆心角。 解题方法 ① 采用“割补法”，将不规则阴影面积转化为扇形面积、三角形面积等规则图形面积的和或差； ② 求动点路径长度时，需将其抽象为弧长问题，准确找出旋转中心、旋转半径和旋转角度； ③ 求图形旋转扫过的面积时，把握半径的变化规律，转化为多个扇形面积进行加减计算； ④ 熟练掌握弧长与扇形面积公式，灵活选取公式简化计算。 易错提醒 找错旋转中心或旋转半径，导致算出的路径错误；混淆弧长公式和扇形面积公式；在进行割补时，漏加了某一部分面积或者重复计算了某一块面积。 难点精练 1．（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 2．（2026·江苏连云港·三模）如图，在中，，，若将此三角形绕直角顶点O顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为_____． 【答案】 【分析】作，在中，先求出的长，等积法求出的长，斜边扫过的面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，再加上弓形的面积，据此进行求解即可． 【详解】解：作， 在中，，，， ，， ， ∵， ∴，即， ∴， 将此三角形绕直角顶点顺时针旋转， 斜边扫过的面积， ∵旋转， ∴，，， 设弧与交于点，则为等边三角形， ∴斜边扫过的面积 ． 3．（2026·山东济南·中考真题）如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】过点D作于点E，求出，再根据阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∴， ∴． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，点经过的路径为，与交于点，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，，进而得到，由旋转可得，，推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ，， ， 由旋转可得，，，， ， ． 5．如图，在中，，点D是边上的一个动点，点C关于的对称点是点．动点D从点C运动到点B时，点的路径长为__． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，理解折叠的性质，掌握弧长的计算公式是关键． 根据题意可得，当动点从点运动到点时，保持，则点在以点 为圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示，结合弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点E， ∵点C关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点D从点C运动到点B时，保持，则点在以点A为圆心，以为半径的圆弧上运动，点D与点B重合时，点到达如图所在的位置： ∴， ∴， ∴点的路径长为． 故答案为：． 基础达标 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 2．（2026·山东东营·中考真题）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，是的直径，弧是弧的2倍，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 5．（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 6．（2026·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 7．（2026·广西南宁·二模）如图，大和小分别是等边的外接圆和内切圆，笑笑随意向水平放置的大内部区域抛一个飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记与小相切于点，与小相切于点，连接，，，根据等边三角形的性质可知，，根据含角的直角三角形的性质可知，设，则，根据圆的面积公式求出阴影圆与大的面积比即为飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如下图所示，记与小相切于点，与小相切于点，连接，，， 为等边三角形， ， ，， ， 设，则， 飞镖落在阴影区域的概率为． 8．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 9．（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 10．（2026·山东东营·中考真题）若一个圆锥侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该圆锥的底面半径为，据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求解． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， ∵圆锥侧面展开图的扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴， 解得， 即该圆锥的底面半径为． 能力进阶 11．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 15．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 16．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 17．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 18．利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形． 【答案】 【分析】设已知圆为，半径为，作的内接正方形：过圆心作任意直径，作的垂直平分线，交于、两点，顺次连接、、、，四边形即为的内接正方形． 作的内接正六边形：将圆规两脚的间距调整为的半径，在上任取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点、点，以为圆心，为半径画弧，交于点；重复该步骤，依次得到交点，，顺次连接，，，，，，六边形即为的内接正六边形． 【详解】略 19．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【项目主题】制作圆锥． 【项目准备】直径为的圆形卡纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、透明胶． 【项目实施】 步骤1：确定圆形卡纸的圆心； 步骤2：如图2，把直径为的圆形卡纸剪出一个扇形（图3），； 步骤3：如图4，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【项目探索】 (1)用无刻度的直尺和圆规在图1中找出圆心的位置（不写作法，保留痕迹）． (2)求剪下的扇形的面积． (3)求圆锥的高． 【答案】(1) 如图所示，圆心即为所求； (2) (3) 【分析】（1）在圆上取点D，E，F，G，连接，，作出，的垂直平分线交于点O即为所求； （2）如图所示，连接，，，过点O作于H，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长，得到，然后利用扇形面积公式即可得到答案； （3）设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长求出r，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接，，，过点O作于H， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴扇形的面积； （3）解：∵， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴， ∴． ∴圆锥的高为． 20．如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别交，于点、． (1)求证：； (2)连接，，当的度数为时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) ，点是的中点，， ， 四边形是圆内接四边形， ，， ， ． (2) ，，是等边三角形， ， ，， 为等边三角形， ，， ， , ， 是等边三角形， , ， 四边形是菱形． 【分析】（1）先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再利用圆内接四边形的性质，最后用等腰三角形的判定即可得到结论； （2）先利用等边三角形的判定，再利用菱形的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $