3.3.1 垂径定理（第1课时）（教学设计）数学新教材浙教版九年级上册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

浙教版九年级上册

教学目标

1.通过折纸操作、画图观察与逻辑推理，探究并理解垂径定理的形成过程，能准确复述垂径定理内容。

2.掌握垂径定理的几何证明思路，分清定理的条件：直径（过圆心）、垂直于弦，结论：平分弦、平分弦所对的两条弧，识别弧中点的定义。

3.能运用垂径定理完成简单几何推理，会利用直尺和圆规作一条已知弧的中点，解决基础线段、弧相等的证明问题。

教学重点

垂径定理的内容、条件与结论，定理的观察猜想和几何证明；

利用定理解决基础证明、作图和计算问题。

教学难点

将折纸观察抽象为几何命题并进行严谨证明；

准确辨析定理条件与结论；

在圆的计算问题中构造“半径、弦心距、半弦”直角三角形并建立方程。

教材分析

本节教学内容源于浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第三节《垂径定理》（第1课时）。核心知识点包括：垂径定理的条件与结论，弧中点的定义，垂径定理的观察猜想与几何证明，利用垂径定理进行简单线段、弧相等的证明，以及用直尺和圆规作已知弧的中点。

本课是“圆的基本性质”中由圆的轴对称性发展出的核心定理。教材通过画弦、过圆心作垂线、折纸观察等活动，引导学生发现“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，再借助等腰三角形“三线合一”和圆心角定理完成证明，形成“操作感知—猜想归纳—逻辑证明—应用拓展”的概念建构过程。垂径定理是圆的轴对称性的具体化，沟通了弦、直径、弧、弦心距与直角三角形，为后续圆中计算和证明提供基本模型。教学重点应落在定理的条件与结论、证明思路及简单应用上，尤其要突出“过圆心、垂直于弦”两个条件缺一不可，并通过构造半径、弦心距、半弦组成的直角三角形，体会数形结合和方程思想。教学中应重视文字语言、图形语言、符号语言的互译，使学生在操作与推理中理解定理的几何本质，提升几何直观与逻辑推理能力。

学情分析

学生已学习圆的基本概念，知道弦、直径、弧、圆心角等概念，具备轴对称、等腰三角形“三线合一”、圆心角定理、勾股定理及尺规作垂直平分线的基础，也有一元一次方程和整式运算经验，能支持简单方程建模。本课通过折纸、画图引入，直观性强，学生理解“平分弦、平分弧”的结论相对容易，但把操作现象转化为“已知—求证—证明”的严谨表达较难；容易忽视“直径（过圆心）”或“垂直于弦”的条件而误用定理。应用时，学生常难主动作弦心距构造直角三角形，设半径列勾股方程并实现几何问题代数化。因此，教学难点是垂径定理的抽象证明与条件辨析，以及利用弦心距构造直角三角形建立方程解决问题。教学中应加强图形语言与符号语言互译、变式辨析和规范书写。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【创设情境，引入新课】

【情境引入】

赵州桥的桥拱呈现完美的圆弧结构，既具力学稳定性，又蕴含丰富的数学原理。生活中石拱桥的桥拱可看作一段圆弧。如何量化圆弧属性、解决实际测量问题？

思考一：若要测量桥拱的高度或计算其半径，需要找到哪些关键几何元素？
思考二：如何确定圆弧的对称轴，将其精确地平分为两段？这背后隐藏着怎样的规律？
这些问题的答案，都指向核心定理——垂径定理。它揭示了圆的直径与弦之间的特殊位置关系，是解决圆相关问题的关键钥匙。

【师生活动】

教师展示赵州桥、石拱桥情境，提问“桥拱的关键元素是什么”；

学生观察、思考、交流，尝试说出圆心、弦、半径、拱高等元素；教

师引导学生聚焦“直径与弦的垂直关系”，明确本节学习方向。

以赵州桥真实情境激发兴趣，用两个阶梯式问题明确“找关键元素、找对称轴”的学习方向，使学生自然进入“现实问题→数学抽象”的过程。

探究点1：动手操作、定理证明与初步应用

【问题引入】

在圆上任取两点、，连接得弦；过圆心作直径，使，垂足为。沿直径对折纸片，观察点与弧的位置变化。

【师生活动】

教师演示画弦、作垂线、折纸；

学生分组画图、折纸并记录重合关系。

教师提问“对折后哪些点、哪些弧重合？说明哪些量相等？”

学生回答：点与点重合，与重合，与重合，初步猜想，，。

【详细过程】

画弦：在圆上任取两点、，连接得到弦。

作垂线：过圆心作直径，使，垂足为。

折叠观察：沿对折，点与点完全重合，说明；与重合，与重合。

猜想：垂直于弦的直径，不仅平分弦，还平分弦所对的两条弧。

证明：如图，是的直径，于点。

求证：，，。

连接、。

∵，，

通过画、折、观察将圆的轴对称性转化为线段与弧相等的猜想，再用等腰三角形“三线合一”和圆心角定理完成证明，培养直观想象与逻辑推理能力；例题巩固垂径定理及弧相等证明。