精品解析：浙江杭州市文理中学2026-2027学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

杭州市文理中学2026学年第一学期八年级10月作业回顾 数学卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个选项所描述的图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 等边三角形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义（沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形是轴对称图形），逐一判断各选项是否一定满足定义即可． 【详解】解：A、三角形不一定是轴对称图形，等腰三角形或等边三角形才是轴对称图形，∴ A不符合要求； B、五边形不一定是轴对称图形，正五边形才是轴对称图形，∴B不符合要求； C、等边三角形沿任意一条内角平分线所在直线折叠，直线两旁部分都能完全重合，一定是轴对称图形，∴C符合要求； D、一般平行四边形找不到满足条件的对称轴，不是轴对称图形，∴ D不符合要求． 2. 在中，，，那么的长度可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，，， ∴， 即． 选项中仅符合取值范围． 3. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴． 故选：A． 4. 等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】未明确的角是顶角还是底角，需分类讨论． 【详解】解：当的角为底角时，底角为． 当的角为顶角时，底角为． 5. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 6. 下列命题：①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系定理可判断③；线段垂直平分线的性质可判断④，由此即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一，命题①正确； 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，命题②正确； 当腰长为3时，则这个等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系， 当腰长为7时，则这个等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系， 则它的周长为，即命题③错误； 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，命题④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、等边三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定与性质是解题关键． 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据做法可知三边对应相等，利用判定三角形全等； 【详解】解：在和中， ，，， ， ， 即平分． 8. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 9. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，在中，于点，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①； ②； ③点落在平分线上； ④． 正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知条件证明三角形全等，进而得出角和线段之间的关系． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴． ∴， ∴，故①正确； ②延长交于点，连接， ∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴，故②正确； ③∵，， ∴． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵三角形的角平分线在三角形内部相交于一点， ∴点落在平分线上，故③正确； ④由题意得，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 13. 如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据中垂线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵，， ∴的周长． 14. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，求三角形的面积，掌握角平分线的性质和三角形的面积公式是解决此题的关键． 过点D作于E，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：如图，过点D作于E， 平分，，， ， ， 的面积为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，线段，线段即为所求． 【解析】 【分析】作边上的中线的操作如下：分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两侧的两个点． 连接两交点得到直线，该直线与的交点即为的中点E． 连接点B与点E，即为所求的边上的中线． 作的角平分线的操作如下 以点C为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交、于两个点． 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离的长为半径画弧，两弧在的内部交于一点． 连接点C与该内部交点，所得射线与的交点即为点D． 即为所求的的角平分线． 【详解】略 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ． 19. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【小问1详解】 解：是的高， ． ． 【小问2详解】 解∶是的角平分线． ． ． 20. 如图，是的角平分线，，交于点F．已知． （1）求的度数． （2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略 21. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，推导出，而，即可根据证明，则； （2）由，求得，由全等三角形的性质得A，则，即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ． ， ， ． 22. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】 ； ； ；… 【猜想】 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【验证】 （1）请通过计算验证对称数“616”是否满足【猜想】； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你说明【猜想】是正确的． 【答案】（1） 对称数“616”满足【猜想】，验证如下： ，； ∴对称数“616”是否满足【猜想】． （2） 证明：设对称数的百位、个位数字均为，十位数字为（，，且,为整数）， 则该对称数可表示为，其各位数字之和为， 两式相减得： ∵ 为整数， ∴ “对称数”减去其各位数字之和的结果能被9整除，【猜想】正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意将“对称数”减去其各位数字之和，验证能否被9整除即可； （2）用a，b表示对称数与各位数字之和的差，提取公因数9，即可得到结论 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略 23. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中 ， ； （2） 是直角三角形． 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是直角三角形； （3）、、 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及角度的计算可得，，，进而即可证明； （2）由是等边三角形，可得，证明，可得，根据即可求解； （3）根据题意分类讨论①，②，③，根据等边对等角，列一元一次方程解方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，，，， ①当时，， ， ； ②当时，， ， ； ③当时，， ， ． 所以，当为、、时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1） 证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2） 证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． （3）或． 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用． （1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出结论； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）过点作交的延长线于，由（1）可知，由（2）可知，再由 ，则，，，，进而得，，据此可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解点在射线上， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． （ⅱ）当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 由（2）可知：， 由（2）可知：， ， ， ，， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文理中学2026学年第一学期八年级10月作业回顾 数学卷 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列四个选项所描述的图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 五边形 C. 等边三角形 D. 平行四边形 2. 在中，，，那么的长度可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 3. 如图，是的外角，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题：①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线三线合一；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 7. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 9. 如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①； ②； ③点落在平分线上； ④． 正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 12. 年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 13. 如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为_____． 14. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 15. 如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 16. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，分别画出中，边上的中线，以及角平分线．（尺规作图，保留作图痕迹） 18. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 19. 已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 如图，是的角平分线，，交于点F．已知． （1）求的度数． （2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 21. 如图，已知和，与交于点P，点C在上． （1）试说明：； （2）若．求的度数． 22. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】 ； ； ；… 【猜想】 将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【验证】 （1）请通过计算验证对称数“616”是否满足【猜想】； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为a，十位数字为b，请你说明【猜想】是正确的． 23. 如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、． （1）求证：； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）当是等腰三角形时，求的度数． 24. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $