2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02（春季高考适用）

2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 3．已知，那么角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 4．命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 7．某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（   ） A．540 B．600 C．660 D．720 8．如图所示，在正方体中，下列与平面平行的直线是（   ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，向量，夹角，若，则（     ） A． B． C． D． 11．已设，命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（     ） A． B． C． D． 15．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 16．设，，则有（     ） A． B． C． D． 17．函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 18．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为______. 21．若（）是奇函数，则_________． 22．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 23．为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 25．（本小题满分9分） 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 26．（本小题满分10分） 已知且，函数，. (1)求函数的定义域及其零点； (2)若存在实数使得成立，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 所以. 2．某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 3．已知，那么角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数值的符号即可得出答案. 【详解】或， 由得角为第二象限角；由得角为第四象限角． 角为第二或第四象限角． 故选：D 4．命题“，”的否定为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】将全称量词改为存在量词，变量取值范围保持不变，否定结论，因此原命题的否定为 5．若是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，写出的解析式，由是偶函数可得，化简即可求解参数. 【详解】由已知，， 函数为偶函数，所以，所以， 整理得：，所以. 6．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 则，所以的虚部是. 7．某中学高二年级有学生960人，为调查学生每天的睡眠时间，按性别采用分层随机抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为120的样本.已知样本中女生有45人，则该校高二年级男生的人数约为（   ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】B 【分析】根据题意，求得女生所占比例，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】由题意知，样本中女生所占比例为， 根据分层随机抽样按比例分配，高二年级女生约为（人）， 所以该校高二年级男生人数约为人. 8．如图所示，在正方体中，下列与平面平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，与平面相交于点，所以与平面相交，A错误; 对于B，与平面相交于点的中点，B错误; 对于C，与平面相交于点点，C错误; 对于D，平面，平面．平面． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 10．已知，，向量，夹角，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设得， 又，故， 即，解得. 11．已设，命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式可得命题， 易知命题， 显然是的真子集，因此p是q的充分不必要条件. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】由两边取平方，得， 即，解得. 13．已知，，，则实数，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于指数函数，由于底数，则其在定义域内单调递增． 由于，则． 对于对数函数，由于底数，则其在定义域内单调递减． 由于，则． 已知，，，故． 14．甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． 15．已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，，， 所以 当且仅当 ，即 时取等号； 即，时，的最小值为8. 选项A正确. 16．设，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】 ， 故. 17．函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移而得到（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】  因为， 根据图象平移规则，函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 18．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，向量，则向量在向量方向上的投影向量为 19．深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系可得，，再由对数的运算性质及对数式化为指数式可得. 【详解】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得. 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．已知正六棱柱的每条棱长都为1，则该正六棱柱的体积为______. 【答案】 / 【分析】先计算底面正六边形的面积，再根据正棱柱的体积公式求解即可. 【详解】正六棱柱的底面是边长为1的正六边形，可将其分割为6个全等的边长为1的正三角形， 单个正三角形的面积为， 因此底面面积为： . 所以正六棱柱的体积为. 21．若（）是奇函数，则_________． 【答案】 【详解】对于定义域为的函数， 若它是奇函数，则奇函数在处有定义时必有， 因此： ，由余弦函数零点性质得： ， 即， 结合约束条件，仅当时，满足范围， 代入验证得，确为奇函数. 22．命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】将全称命题为真等价转化为二次函数在全体实数域上恒大于0，结合开口方向通过判别式小于0求解参数范围. 【详解】命题“，”为真命题，等价于二次函数的函数值在上恒为正， 该二次函数二次项系数为，图象开口向上，因此只需其图象与轴无交点，即判别式， 即，解得. 23．为提高学生学习数学的热情，学校举行高二数学竞赛，以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）则这人成绩的第百分位数是____________. 【答案】 【详解】成绩按从小到大排列为 ， 第百分位数为第个和第个数据的算术平均数，即. 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 25．（本小题满分9分） 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 26．（本小题满分10分） 已知且，函数，. (1)求函数的定义域及其零点； (2)若存在实数使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据真数大于求定义域，解方程即可求零点； （2）问题为，分两种情况讨论，求出复合函数的最小值即可. 【详解】（1）， 由得，所以的定义域为； 令，得，得或（舍）， 故的零点为. （2）， 因为，的对称轴为，所以， 因为存在实数使得成立，所以， 若，则，得； 若，则，得，故， 综上，的取值范围为或 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷02·参考答案 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B B D A B A B D D D A D B A A C C B B 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20、/ 21、 22、 23、 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 【答案】(1)略(2) 【详解】（1）在中，分别是和的中点，..........1分 ，..........2分 又平面平面..........3分 平面．..........4分 （2）由题意得点到平面的距离为2..........5分 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ，..........6分 三棱锥的体积为．..........7分 三棱锥的体积为．..........8分 25．（本小题满分9分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，..........1分 即，即，..........2分 所以，..........3分 又，所以；..........4分 （2）由（1）知，又，..........5分 由正弦定理，..........6分 所以， 所以 ，.........7分 又，所以， 所以，.........8分 所以的取值范围是...........9分 26．（本小题满分10分） 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1），..........1分 由得，所以的定义域为；..........2分 令，得，得或（舍），..........3分 故的零点为...........4分 （2），..........5分 因为，的对称轴为，所以，..........6分 因为存在实数使得成立，所以，..........7分 若，则，得；..........8分 若，则，得，故，..........9分 综上，的取值范围为或..........10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2027年1月福建省高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 2 0 ． _______________________ 2 1 ． _______________________ 2 2 ． _______________________ 2 3 ． _______________________ 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24. （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续2 4 题） 2 5 ． （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $