2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（春季高考适用）

2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得正方体的对角线长为， 则，可得，所以外接球的表面积为. 2．已知平面向量，不共线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，由，不共线，零向量用，线性表示时，系数必须都为0，即可求出的值. 【详解】由平面向量，不共线，又，则，解得，所以. 3．二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】令，则，解得或， 故二次函数的零点为，． 4．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记两次结果为，则样本空间为 ， 记为事件，则， 所以． 5．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合元素特征判断两集合关系． 【详解】由可知，当，为偶数时， ，此时，与中元素相同， 当，为奇数时，与不相等，故． 6．已知，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】，故 . 7．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用负数不能开平方及分母不能等于0，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】解：函数， 则， 解得且， 则函数的定义域为. 9．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为． 10．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】，， 即不等式的解集为. 11．如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知开口向上，对称轴为，函数在上单调递增； 要使函数在上单调递增，需，所以a的取值范围为. 12．命题“，”的否定形式为（     ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“，”的否定形式为“，”. 13．若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 【答案】D 【详解】因，即直线所成的角是， 又，则直线所成的角也是 故． 14．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲、乙至少有1人猜对的概率. 15．如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，即. 17．已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，，都是单位向量， ∴， 即，即， ∴. 18．记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】在中，，， 由余弦定理 ，得， 故. 19．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】C 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以. 即函数的值域为. 21．设复数，则的共轭复数____________． 【答案】 【分析】根据复数除法的运算法则化简复数，再由共轭复数的定义求解. 【详解】因为，所以. 22．2026年度浙BA篮球联赛前8轮比赛中，某篮球运动员得分从低到高依次为3，5，8，9，12，16，16，18，则这8个数据的第75百分位数是__________． 【答案】16 【详解】已知数据总量为8，数据已从低到高排列，第分位数，位置为． 因为为整数，所以取第6项和第7项数据的算术平均数，故这8个数据第75％分位数为． 23．已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图象：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 25．（本小题满分9分） 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； (2)在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 【答案】(1)，周长为 (2) 【详解】（1）因为，，且，则， 所以，又，则，所以， 则，又，所以， 又的面积为，所以，得到， 又，在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以的周长为. （2）因为点为的中点，则， 所以， 由（1）知，，所以，故. 26．（本小题满分10分） 已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2027年1月福建省高中学业水平合格性考试 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学仿真模拟卷·答题卡 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） ) ( 2 0 ． _______________________ 2 1 ． _______________________ 2 2 ． _______________________ 2 3 ． _______________________ 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24. （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （续2 4 题） 2 5 ． （ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 6 ． （1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03·参考答案 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B D C A D C C C A A C C D D B C A D C 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20、 21、 22、16 23、 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）正方体中，平面平面，...........1分 所以棱长即为点到平面的距离............2分 所以............4分 （2）正方体中，，，...........5分 所以四边形为平行四边形，所以............6分 又平面，平面，所以平面............8分 25．（本小题满分9分） 【答案】(1)，周长为 (2) 【详解】（1）因为，，且，则，...........1分 所以，又，则，所以， 则，又，所以，...........2分 又的面积为，所以，得到，...........3分 又，在中，由余弦定理得，...........4分 所以，解得，所以的周长为............5分 （2）因为点为的中点，则，...........6分 所以，...........7分 由（1）知，，所以，...........8分 故............9分 26．（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增，...........1分 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立............2分 则，且，解得，故的取值范围为............4分 （2）令，由得，则，...........5分 当，即时，取最大值4............6分 “对，都有”等价于对恒成立， 即，则，...........7分 即对恒成立............8分 易得在上单调递减，在上单调递增，且，，...........9分 所以，即的取值范围为............10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．棱长为的正方体的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，不共线，若，则（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的零点为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．将一颗质地均匀的正四面体骰子（各面分别标有数字）连续抛掷两次，观察并记录，得到两次向下的面上的数字分别为，，则的概率为（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 8．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 10．不等式的解集是（ ） A． B．或 C．或 D． 11．如果函数在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．命题“，”的否定形式为（     ）. A．， B．， C．， D．， 13．若空间中三条不同的直线a，b，c满足，，则直线b与c（     ） A．可能平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 14．为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（   ） A． B． C． D． 15．如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 16．设，，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知单位向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 19．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．函数的值域为______. 21．设复数，则的共轭复数____________． 22．2026年度浙BA篮球联赛前8轮比赛中，某篮球运动员得分从低到高依次为3，5，8，9，12，16，16，18，则这8个数据的第75百分位数是__________． 23．已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24．（本小题满分8分） 如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 25．（本小题满分9分） 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； (2)在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 26．（本小题满分10分） 已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $