专题05 二次函数17大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题05 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移规律 考点四 二次函数解析式的三种形式 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点六 二次函数的实际应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义及其含参问题 题型二 二次函数的图象 题型三 二次函数的顶点式 题型四 二次函数图象与各项系数关系 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 题型七 二次函数的最值 题型八 二次函数图象的平移 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数实际应用之销售问题 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 题型十三 二次函数与方程关系 题型十四 二次函数与不等式关系 题型十五 二次函数中的角度问题 题型十六 二次函数中的面积问题 题型十七 二次函数中的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九上期中二次函数一般占 18～26 分，约试卷 14%～20%。选择、填空、解答均有设置，常和一元二次方程结合考查，是函数板块重点，压轴常出自本模块。 2. 题型特点 选择填空侧重开口、对称轴、增减性、平移、符号判断；解答多用待定系数法求解析式，考最值、与方程结合，期中综合难度适中，贴合课本例题。 3. 难度分布 基础题过半，直接考查图像基础性质；中档题考查对称性、区间最值；难题多为填空或解答压轴，结合图像、参数讨论，容易忽略自变量取值范围。 4. 备考方向 熟练掌握三种解析式互化，抓对称轴、顶点、判别式；强化区间最值训练，看懂图像符号信息；重点区分全体实数与限定范围下最值的不同情况。 识记 熟记二次函数三种解析式：一般式、顶点式、交点式；牢记开口方向、对称轴、顶点坐标公式。记住抛物线平移规律、增减性、最值结论，会识别a、b、c、△对应的图像信息，分清二次函数与一元二次方程的相关概念，准确背诵基础结论，杜绝公式记错。 理解 理解参数a、b、c对抛物线形状、位置的影响，明白对称轴由a、b共同决定；理解顶点是最值点，区分全体实数和给定自变量范围的最值差异；理解抛物线与 x 轴交点个数由判别式决定，能结合图像解释函数变化，理清图像与代数式的对应关系。 应用 能根据条件灵活选解析式，用待定系数法求表达式；会利用对称性、增减性比较函数值，求解限定区间最值；能结合图像判断代数式符号，解决二次函数与一元二次方程综合题，规范步骤，注意自变量取值限制，应对期中基础与中档综合题型。 考点一 二次函数的相关概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 考点二 二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 考点三 二次函数图象的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 考点四 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 考点六 二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 题型一 二次函数的定义及其含参问题 典例1（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知函数是二次函数： (1)求m的值； (2)当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)点在这个二次函数的图象上吗？ 题型二 二次函数的图象 典例2（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线_________； (2)直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … (3)在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； (4)由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 迁移应用 1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数中的，满足下表． … … … … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为直线______； (2)在平面直角坐标系中画出这条抛物线； (3)当时，取值范围是______． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 题型三 二次函数的顶点式 典例3（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)当取何值时，随增大而增大？ (2)若函数的顶点在直线上，求的值． 迁移应用 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法求该二次函数的顶点和对称轴； (2)求当时函数值y的取值范围． 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，y的最大值为______，最小值为______． 题型四 二次函数图象与各项系数关系 典例4（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 2．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 典例5（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（2026九年级上·上海·专题练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 典例6（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 迁移应用 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线上有两点、，若，则________． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 题型七 二次函数的最值 典例7（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）当时，二次函数的最大值为______． 迁移应用 1．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 题型八 二次函数图象的平移 典例8（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 迁移应用 1．（2026·四川宜宾·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线的顶点重合，则的值为________． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型九 待定系数法求二次函数解析式 典例9（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求抛物线的解析式及表格中的值； (2)当时，求的取值范围． 迁移应用 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 题型十 二次函数实际应用之销售问题 典例10（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． (1)请求出关于之间的关系式． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并求出当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 2．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 典例11（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为第二象限的抛物线上一点，于H，若，则点C的坐标为______． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 典例12（2026·河南周口·二模）河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … (1)求与的函数表达式； (2)当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 2．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 题型十三 二次函数与方程关系 典例13（25-26九年级上·广东佛山·期末）根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是_______  ． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十四 二次函数与不等式关系 典例14（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______． 迁移应用 1．（2026·江西九江·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·广西防城港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． (1)求A，B两点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 题型十五 二次函数中的角度问题 典例15（2026·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 迁移应用 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，直线与抛物线交于点D和点，且与y轴交与点． (1)求直线l的函数表达式； (2)若P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． 2．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 题型十六 二次函数中的面积问题 典例16（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 迁移应用 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 2．（2026·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 题型十七 二次函数中的存在性问题 典例17（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 9．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 11．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 14．（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 15．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 19．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 20．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 23．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，点在轴正半轴上．且轴，则菱形的边长为________． 24．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线（其中是常数，且）． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）若分别取，0，3，4这4个数所得的函数值中只有一个值小于0，则的取值范围是______． 25．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 26．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数， (1)画出此二次函数的图象； (2)结合图象，当时，直接写出的取值范围． 27．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． (1)求2026年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 29．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 30．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； (2)若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移规律 考点四 二次函数解析式的三种形式 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 考点六 二次函数的实际应用 05 重难题型突破 题型一 二次函数的定义及其含参问题 题型二 二次函数的图象 题型三 二次函数的顶点式 题型四 二次函数图象与各项系数关系 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 题型七 二次函数的最值 题型八 二次函数图象的平移 题型九 待定系数法求二次函数解析式 题型十 二次函数实际应用之销售问题 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 题型十三 二次函数与方程关系 题型十四 二次函数与不等式关系 题型十五 二次函数中的角度问题 题型十六 二次函数中的面积问题 题型十七 二次函数中的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1. 分值占比 苏科版九上期中二次函数一般占 18～26 分，约试卷 14%～20%。选择、填空、解答均有设置，常和一元二次方程结合考查，是函数板块重点，压轴常出自本模块。 2. 题型特点 选择填空侧重开口、对称轴、增减性、平移、符号判断；解答多用待定系数法求解析式，考最值、与方程结合，期中综合难度适中，贴合课本例题。 3. 难度分布 基础题过半，直接考查图像基础性质；中档题考查对称性、区间最值；难题多为填空或解答压轴，结合图像、参数讨论，容易忽略自变量取值范围。 4. 备考方向 熟练掌握三种解析式互化，抓对称轴、顶点、判别式；强化区间最值训练，看懂图像符号信息；重点区分全体实数与限定范围下最值的不同情况。 识记 熟记二次函数三种解析式：一般式、顶点式、交点式；牢记开口方向、对称轴、顶点坐标公式。记住抛物线平移规律、增减性、最值结论，会识别a、b、c、△对应的图像信息，分清二次函数与一元二次方程的相关概念，准确背诵基础结论，杜绝公式记错。 理解 理解参数a、b、c对抛物线形状、位置的影响，明白对称轴由a、b共同决定；理解顶点是最值点，区分全体实数和给定自变量范围的最值差异；理解抛物线与 x 轴交点个数由判别式决定，能结合图像解释函数变化，理清图像与代数式的对应关系。 应用 能根据条件灵活选解析式，用待定系数法求表达式；会利用对称性、增减性比较函数值，求解限定区间最值；能结合图像判断代数式符号，解决二次函数与一元二次方程综合题，规范步骤，注意自变量取值限制，应对期中基础与中档综合题型。 考点一 二次函数的相关概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 考点二 二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 考点三 二次函数图象的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 考点四 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 考点六 二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 题型一 二次函数的定义及其含参问题 典例1（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知函数（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数要求自变量最高次数为2，并且二次项系数不能等于0，据此列出方程组求解，舍去不符合条件的解． 【详解】解：函数（为常数）是二次函数， 且． 由，得， 解得或． 由，得 ． 综上，． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知函数是二次函数： (1)求m的值； (2)当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)当时，的值随值的增大而增大 (3)不在 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据顶点坐标及表达式即可判断； （3）将点P的横纵坐标代入函数表达式即可验证； 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：把代入原函数，得到二次函数解析式：， 该函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，也就是时，的值随值的增大而增大； （3）解：把点的横坐标代入函数解析式得：， 和点的纵坐标不相等， ∴点不在这个二次函数的图象上． 题型二 二次函数的图象 典例2（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线_________； (2)直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … (3)在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； (4)由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 【答案】(1)直线 ． (2)，． (3)描点并画出抛物线如图． (4)当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小． 【分析】（1）由顶点式 直接读出对称轴； （2）把 、 分别代入解析式求出、； （3）在坐标系中描出表中五个点，并用光滑曲线顺次连接； （4）由图象（开口向下、顶点在对称轴上）判断随增大而增大、减小的范围． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为 ，其中 ， ∴ 对称轴为直线． （2）解：当 时， ． 当 时， ． （3）解：在坐标系中描出点、、、、， 并用光滑曲线把它们顺次连接起来，即得抛物线（见答案处图形）． （4）解：由图象可知，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且开口向下． 在对称轴左侧，抛物线上升；在对称轴右侧，抛物线下降， ∴ 当 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 迁移应用 1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）二次函数中的，满足下表． … … … … (1)观察表中信息，发现______，抛物线的对称轴为直线______； (2)在平面直角坐标系中画出这条抛物线； (3)当时，取值范围是______． 【答案】(1)， (2)如图，抛物线即为所求： (3) 【分析】（1）根据表中数值解答即可求解； （2）根据表中数值描点、连线即可作出图象； （3）结合图象即可求解； 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 与的函数值相等， 对称轴为直线； （2）略 （3）解：由图可知，当时，取值范围是． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5 (3)画出这个二次函数的图象，如图： (4) 【分析】（1）由表格得：当和时，，函数值均相等，可得该函数图象的对称轴为直线，即可求解； （2）根据抛物线的对称性解答即可； （3）利用描点法画出函数图象，即可； （4）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：由表格得：当和时，，函数值均相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴此二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即． （3）略 （4）解：观察图象得：：当时，的取值范围是． 题型三 二次函数的顶点式 典例3（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)当取何值时，随增大而增大？ (2)若函数的顶点在直线上，求的值． 【答案】(1)当时，随的增大而增大． (2)的值为． 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式，得到抛物线开口向上，对称轴为直线，据此即可得到答案； （2）求出抛物线的顶点坐标，代入一次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点为， ∵函数的顶点在直线上， ∴， 解得． 迁移应用 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法求该二次函数的顶点和对称轴； (2)求当时函数值y的取值范围． 【答案】(1) 顶点坐标为，对称轴为直线. (2) 当时，的取值范围是. 【分析】（1）通过配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴； （2）结合二次函数的开口方向与对称轴，分析区间内函数的增减性，确定最值边界，进而得到的取值范围. 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为，对称轴为直线. （2）解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵对称轴为直线，且， ∴当时，值最大为11，当时，值为； ∴当时，的取值范围是. 2．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，y的最大值为______，最小值为______． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3)， 【分析】（1）根据二次函数的定义得到，，然后求解即可； （2）将代入表达式，然后配方成顶点式求解即可； （3）首先判断出二次函数图象开口向下，然后求出y的最大值，然后分别将和代入表达式求解比较得到最小值． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵的二次项系数为， ∴二次函数图象开口向下， ∵顶点坐标为， ∴当时，当时，y的最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最小值为． 题型四 二次函数图象与各项系数关系 典例4（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知关于的二次函数经过原点和一、二、四象限，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数过原点得，再结合图象经过的象限判断、的符号． 【详解】解：∵ 二次函数经过原点， ∴ 将代入解析式，得， 故选项A、C不符合要求； ∵ 函数图象经过一、二、四象限， ∴ 抛物线的顶点一定在第四象限，且， ∴，， 结合， 解得，， 故选项B不符合要求， 选项D符合要求． 迁移应用 1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 2．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，根据对称轴可得，则可得①错误；将点代入函数的解析式即可得②正确；根据二次函数的对称性可得③错误；根据二次函数的最值可得④正确；根据二次函数的对称性可得抛物线经过点，据此可得⑤正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴，则说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则说法②正确； ∵，是抛物线上的两点，且， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴，则说法③错误； 当时，， 由二次函数的图象可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴，则说法④正确； ∵抛物线经过点，且其对称轴为直线， ∴抛物线经过点， ∴，则说法⑤正确； 综上，正确的结论是②④⑤． 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 典例5（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察选项可知二次函数可以从开口方向以及与轴的交点考虑，一次函数可以从直线所经过的象限考虑；如选项， 当，时，的开口向上，对称轴为轴，经过第一、三象限，此选项不符合；同理再分析其他情况即可． 【详解】解：当的开口向上，对称轴为轴时， ， ，经过第一、三象限，A选项不符合； 当的开口向上，对称轴在y轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，B选项不符合； 当的开口向上，对称轴在轴右侧时，，，经过第一、三、四象限，C选项符合； 当的开口向上，对称轴在轴左侧时，，，经过第一、二、三象限，D选项不符合． 迁移应用 1．（2026九年级上·上海·专题练习）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为，即交于y轴，且抛物线开口向上， A、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴ ∴， 又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、抛物线开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，即其中一个为负数，另一个即为正数，再结合图像分析即可． 【详解】解：当时，则， 则开口向下，，随的增大而增大，且与轴交于负半轴； 看图，选项符合． 当时，则 则开口向上，，随的增大而减小，且与轴交于正半轴； 发现没有选项符合． 则为正确选项． 题型六 根据二次函数的对称性求对称轴、函数值 典例6（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（m为常数）． (1)若，请通过配方将二次函数的表达式化成顶点式，并写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)已知点，是两个不同的点，都在该二次函数图象上，求n的最大值． 【答案】(1)，开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为； (2)6 【分析】（1）将代入函数解析式，然后化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）根据函数解析式得出对称轴为：，，然后建立方程得出，代入函数解析式利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∵， ∴开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）∵， ∴对称轴为：， ∵点，都在该二次函数图象上， ∴对称轴为：， ∴， ∴， ∴， ∴，即n的最大值为6． 迁移应用 1．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线上有两点、，若，则________． 【答案】 【分析】先求得抛物线的对称轴为，利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称列式计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和关于直线对称， ∴， 解得：． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，若点A的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意，易得点关于对称轴对称，即可得出结果. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点关于对称轴对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为. 题型七 二次函数的最值 典例7（26-27九年级上·宁夏固原·阶段检测）当时，二次函数的最大值为______． 【答案】10 【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据开口方向向上，结合x的取值范围，与对称轴距离越大的函数值越大，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵，，，且， ∴时，函数取得最大值，最大值为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知二次函数，当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线，在和之间，可确定的最大值在处取得，再求出和时的值，可得出的最小值，即可确定的范围． 【详解】解：由二次函数得，二次项系数，抛物线开口向下，且， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 2．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 题型八 二次函数图象的平移 典例8（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）在平面直角坐标系中，把抛物线先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为________ 【答案】 【分析】根据二次函数平移法则进行计算，得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， ∵先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴． 迁移应用 1．（2026·四川宜宾·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线的顶点重合，则的值为________． 【答案】 【分析】先对原抛物线配方得到原顶点坐标，根据平移规律得到平移后的顶点坐标，再写出抛物线的顶点式，展开对比系数得到和的值，最后再计算即可． 【详解】解：对抛物线配方化为顶点式， ， ∴原抛物线的顶点坐标为． 将原抛物线的顶点式向右平移个单位长度，即顶点的横坐标加；向下平移个单位长度，即顶点的纵坐标减， ∴得到平移后的新顶点坐标为． ∵新抛物线顶点与顶点重合， ∴的顶点为， 写出的顶点式：， 展开得， 对比得，， ∴． 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出平移后的解析式，分别将正方形的临界顶点坐标代入求出的值，从而确定取值范围． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，设平移后的解析式为， 当抛物线经过点时，取得最小值，即， 解得； 当抛物线经过点时，取得最大值，即， 解得； 的取值范围是． 题型九 待定系数法求二次函数解析式 典例9（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）抛物线（，，为常数）上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求抛物线的解析式及表格中的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为，的值为 (2)的取值范围是. 【分析】（1）找出顶点坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，再将代入求出的值； （2）根据二次函数的增减性确定在取得的最大值与最小值，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标相等， ∴对称轴为直线， ∴点是抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； 将代入中，解得． （2）解：∵， ∴二次函数开口向上， ∵对称轴直线在范围内， ∴在对称轴处取得最小值， ∵当时，； 当时，， ∴当无限接近时，无限接近， ∴在时，． 迁移应用 1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】(1) (2) 点在这个二次函数的图象上 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）令，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得， ∴； （2）解：将代入二次函数解析式，得， ∵计算所得的函数值与点的纵坐标相等， ∴点在这个二次函数的图象上. 2．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数解析式． (2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：二次函数的解析式为，且， 该二次函数在时取最小值，离对称轴越远值越大，在这个范围内， 时，取最小值， 又， 时，取最大值为， 故当时，的取值范围为． 题型十 二次函数实际应用之销售问题 典例10（2026·江苏盐城·三模）某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． (1)请求出关于之间的关系式． (2)设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并求出当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为： (2)与之间的函数关系式为，当时，的值最大，最大值是600 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润总销售额总成本，进而得出与的函数关系式，进而根据二次函数的性质得出最值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：，将和代入得： ， 解得：． 故与之间的函数关系式为：； （2）解：由题意可得出： ， ∵销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，即． 又对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，； 答：与之间的函数关系式为，当时，的值最大，最大值是600． 2．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）小明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的． (1)设小明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于元，那么小明每月的成本最少需要多少元？成本进价销售量 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元 (3)想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 【详解】（1）解：由题意，得：， 即； （2）对于函数 当时， 答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． （3）取得， 解这个方程得：，． 当时，． 当时，． 设每月的成本为元，由题意，得： 当时，的值最小，． 答：想要每月获得的利润不低于元，小明每月的成本最少为元． 题型十一 二次函数实际应用之图形问题 典例11（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为第二象限的抛物线上一点，于H，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】首先求出，，过作轴于，过作于，构建直角三角形，证明，列比例式，根据等角的三角函数可得：，设，则，，得，，根据列式可得的值，写出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过作轴于，过作于， ∵抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点 ∴当时， ∴ ∴ ∴当时， 解得 ∴ ∴ ， ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴， ， ， ， 设，则，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， ∴点C的横坐标为，代入 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数，一次函数和几何综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的根据是正确作出辅助线构造相似三角形． 2．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 题型十二 二次函数实际应用之拱桥、投球、喷水问题 典例12（2026·河南周口·二模）河南辉县太行山的网红愚公隧道是自媒体人的打卡地之一．该隧道口的横截面是抛物线型，右图是横截面的示意图，已知隧道底部宽为5m，抛物线的最高点C与路面的距离为7.5m，以的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)某部门为推进公路隧道提质升级养护工作，决定对隧道顶部原有的灯管进行美化升级，原有灯管M，N与最高点的水平距离为1m．现需要工人站在升降梯上更换灯管，已知工人工作时灯管到工人脚部的垂直距离为1.8m，请问升降梯的最低高度应为多少? 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)升降梯的最低高度应为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线的顶点为，对称轴是y轴，从而可设抛物线为，又B为，故求得a的值，进而可以得解； （2）依据题意，由原有灯管M，N与最高点的水平距离为，故可令，则，从而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线的顶点为，对称轴是y轴， ∴可设抛物线为． 又B为， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，如图所示， 当时，， 即， 在上取点，使，如图所示， 则升降梯的最低高度． 升降梯的最低高度应为． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … (1)求与的函数表达式； (2)当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 【答案】(1) (2)小亮在此次投掷中没有得满分 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，通过待定系数法计算可以得解； （2）依据题意，将代入，求出的值与满分标准比较，进而判断得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； （2）解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 2．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)应把水管加长 【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答； （2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴水管的长度为； （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长． 题型十三 二次函数与方程关系 典例13（25-26九年级上·广东佛山·期末）根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围是_______  ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质以及二次函数与一元二次方程的联系，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键．由抛物线对称轴求出参数b的值，将一元二次方程转化为二次函数与水平直线的交点问题，通过求函数在开区间内的函数值范围从而可确定t的取值范围． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据对称轴公式，其中，得，解得， 于是原方程化为，即， 令函数，求其在的范围内的y的取值范围， 该函数开口向上，对称轴在区间内， 当时取得最小值，当时，； 当时，；当时，， 因此函数值的范围为． 故方程在区间内有实数根时，t需满足， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为，其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了的图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a符号，然后根据抛物线与x轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴，，故①正确，②错误； 把点代入，得： ， ∴，即，故③正确； ∵抛物线的顶点在x轴的上方，且开口向上， ∴抛物线与直线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④错误； 如图， 设过点的直线的解析式为， ∴，解得：， ∴过点的直线的解析式为， 观察图象得：当时，抛物线的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，正确个数为3个， 故选：B 题型十四 二次函数与不等式关系 典例14（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 迁移应用 1．（2026·江西九江·一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②为任意实数时，；③；④不等式的解集为．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由抛物线开口向上、对称轴、交y轴正半轴，得、、，故、；顶点最小值为1，恒成立；将变为，结合图象即可判断四个结论． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，抛物线对称轴为，抛物线与轴交于正半轴， ∴，对称轴为，常数项， ∴， ∴； ∴，①正确； ∵抛物线顶点坐标为，即函数的最小值为，且抛物线开口向上， ∴对任意实数，都有，②正确； ∵ ∴，③正确； 由题意得， ， ∴二次函数值小于一次函数的值， ∵二次函数过点和，这两个点也在直线上， ∴两个函数的交点为和， 由图可得，在两个交点之间，抛物线在直线的下方， ∴不等式成立的范围是，④正确． 综上所述，正确的个数有4个． 2．（25-26九年级上·广西防城港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． (1)求A，B两点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数解析式的求解、二次函数与一次函数的图象关系，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式的关系是解题的关键． （1）分别令直线方程中、，求解对应的坐标； （2）将A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数； （3）根据图象，确定抛物线在直线上方的x取值范围． 【详解】（1）解：令，代入得， 解得， ∴， 令，代入得， ∴； （2）解：∵抛物线经过、， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵直线与坐标轴交于、， ∴由图象可知，不等式的解集是． 题型十五 二次函数中的角度问题 典例15（2026·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为． 【分析】（1）先求解点，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解，如图，过点作．记与轴的交点为，，同理可得：的解析式为．再进一步求解交点坐标即可． 【详解】（1）解： ， 点，， ，解得； 二次函数的解析式为． 设直线的解析式为．将点，代入， 得解得 直线AC的解析式为． （2）∵， ∴， 解得：，， ∴， 如图，过点作． ， ， ． 记与轴的交点为， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为． 联立得， 解得（舍去）或； 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与角度的综合应用，函数交点的求法，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 迁移应用 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，直线与抛物线交于点D和点，且与y轴交与点． (1)求直线l的函数表达式； (2)若P为抛物线上一点，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)y=﹣2x+2 (2)(1，﹣2)或（﹣3，﹣6） 【分析】（1）先求出F(，1)，再把(，1)，(0，2)代入y=kx+b，即可得出答案； （2）分当OPl时，P1OE=CEH =OED和当P2OA=P1OH时两种情况讨论即可点P的坐标. 【详解】（1）解：把(，n)代入y=−2x2−3x+3中， n=﹣2-+3=1, ∴F(，1)， 把(，1)，(0,2)代入y=kx+b， ∴， ∴， ∴y=﹣2x+2; （2）解：设l与x轴交于点H, ∵ ∴如图：当OP1l时，P1OE=CEH =OED, ∵直线l的解析式为y=﹣2x+2， ∴直线OP1所在直线为y=﹣2x， ∴ 解得，（舍去） ∴P1(1，﹣2); 如图：当P2OA=P1OH时， ∵P2OA+AOE=EOH+P1OH 即P2OE=P1OH=OED ∵P1(1，﹣2) ∴tanP1OH= ∴tanP2OA = ∵P2在第三象限， ∴设P2（x，2x）, 代入y=−2x2−3x+3 解得，（舍去） ∴P2（﹣3，﹣6） 综上所述，点P的坐标为(1，﹣2)或（﹣3，﹣6）. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求直线的解析式，三角函数等，正确的进行分类讨论是解决问题的关键． 2．（2025·福建莆田·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 题型十六 二次函数中的面积问题 典例16（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴相交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)若抛物线上存在一点（不与点重合），使得，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数的解析式， 对于（1），根据抛物线与轴相交于两点，可以直接写成交点式，再化为一般式； 对于（2），由，可以得出点的纵坐标为3或，再分别令或，列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， . 设P点纵坐标为m， ∵， ∴， 整理得：， ， 点的纵坐标为3或， 令，得， 令，得（舍去），， ∴点的坐标为或或． 迁移应用 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的解析式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形的问题， 对于（1），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出点C的坐标，可知，再根据面积相等得出点P的纵坐标，然后解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，， ∴   ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设（，）， 在中， 当时，，    ∴， ∵    ∴    ∴， ∵点在二次函数图象上，   ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 2．（2026·上海·模拟预测）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 题型十七 二次函数中的存在性问题 典例17（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为不存在． (2) 解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）略 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 2．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列函数，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二次函数的三个特征：整式形式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，自变量最高次数为1，不符合题意， B选项，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，符合题意， C选项，自变量在分母上，不符合题意， D选项自变量最高次数为3，不符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标是． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，得，再向下平移3个单位长度，得． 4．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从二次函数增减性与对称轴的关系入手，推导的取值范围后对照选项判断． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵当时，随的增大而减小 又∵当时，随的增大而减小 ∴ ∴的取值可以是2． 5．（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 6．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线顶点坐标为． 7．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是函数①，②，③的图象，比较，，的大小，________（用“”连接）． 【答案】 【分析】当时函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：如图， 因为直线与三条抛物线的交点从上到下依次为，，， 所以． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）某化肥厂10月份生产某种化肥，如果11、12月的月平均增长率为x，则12月份化肥的产量与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列函数解析式，根据月平均增长率问题，11月份产量为，12月份产量为，从而得到函数关系式． 【详解】解：依题意，月平均增长率为，则11月份化肥产量为，12月份化肥产量为， 故， 故答案为：． 9．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，当时，的取值范围为___________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上性质是解题的关键．首先将代入求出二次函数解析式，确定最值，再分别讨论，0，2时y的最值即可． 【详解】解：把代入中， 得， 解得， 二次函数解析式为， 由可知顶点坐标为， ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）二次函数的图象与直线交于点. (1)求、的值； (2)指出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)直接写出二次函数中，当时，的取值范围. 【答案】(1)， (2)顶点坐标，对称轴为直线 (3)或 【分析】本题考查了求一次函数，求二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出的值，再把代入求出，即可作答． （2）理解，则顶点坐标，对称轴为直线； （3）由（2）得，令，则，解得，根据的开口方向向上，得出当时，的取值范围为或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入，得， 则， 把代入， 得 解得； （2）解：由（1）得，则， ∴顶点坐标，对称轴为直线； （3）解：由（2）得， 其开口方向向上， 令，则， ∴， 解得， ∵的开口方向向上， ∴当时，的取值范围为或． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）某商店销售一种齐齐哈尔特色手工艺品，进价为每件元，经市场调查发现，售价（元/件）与销售量（件）之间满足一次函数关系． (1)设该商店销售这种手工艺品的利润为元，求与之间的函数解析式； (2)当售价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价元时，利润最大，最大利润元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意确定等量关系并据此列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“每件利润销售量总利润”，列出与之间的函数关系式即可； （2）根据（1）中与之间的函数关系式，然后利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 将代入，得， 整理得， 故与之间的函数解析式为． （2）解： ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 故售价元时，利润最大，最大利润元． 14．（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解． （1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方程组得到b和c的值；之后令二次函数，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标； （2）对于的最大值，先设出点P的坐标，根据轴得到E点坐标，进而表示出的长度；再结合，建立与的数量关系，将转化为关于P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． （2）设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 15．（2025·陕西榆林·三模）乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在上得到，依次把四个选项中点的横坐标代入计算函数值，验证得到横坐标为时函数值等于，确定在抛物线上． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ． ∵抛物线可以看作是抛物线向右平移 1 个单位得到，函数平移规律为左加右减． 将各选项坐标代入验证： 选项：把代入右边：， ∵ ， ∴ ， ∴ 点满足解析式． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 选项：把代入右边：， ∵ 不一定等于， ∴ 该点不一定在抛物线上． 故选：． 17．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 的符号判断直线经过的象限及抛物线开口方向、对称轴位置，逐一排查选项． 【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ． 选项A中：抛物线开口向下， ， 对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾． 选项B中：抛物线开口向上， ， ∵对称轴为直线 ， 对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾． 选项C中： 抛物线开口向下， ， 直线 应随 增大而减小，与图象矛盾． 选项D中： 抛物线开口向上， ， 对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符． 故选：． 18．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：），如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（     ） A． B．点的纵坐标为204 C． D．点在该函数图象上 【答案】A 【分析】过点作于点，先结合函数图象可得，，，，且，再在中，利用勾股定理可得的值；根据对称性可得的值；然后求出的值，据此即可得点的纵坐标；最后设，求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，，（理由是垂线段最短），且， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去），则选项C错误； 由对称性可知，，即， 解得，则选项A正确； 在中，， ∵点的横坐标为0，表示的是，此时点与点重合， ∴此时，即点的纵坐标为205，则选项B错误； 如图，设，则， 在中，， ∴当时，， 即点在该函数图象上，而点不在该函数图象上，则选项D错误． 19．（2026·江苏泰州·二模）平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定直线的方程，设出抛物线上点的坐标，分别表示出点到直线的距离和的长度，根据题意列等式化简，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 20．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入已知点坐标得到和关于的表达式，再根据顶点在第一象限的条件确定的取值范围，最后将表示为的一次式，即可求出的取值范围. 【详解】解：∵二次函数过点和， ∴ ， 整理得， ∵抛物线顶点在第一象限，且过和， ∴抛物线的开口向下，即，顶点横坐标为， ∴， ∴， 即，综上得 ， ∵，代入，得：， ∵， ∴， ∴，即. 21．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根与（），则实数a的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义得到二次项系数不为，再结合有两个不相等实数根，得到根的判别式大于，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 计算判别式： ， 由得： 整理得： 解方程，由求根公式得： ， ∵二次函数开口向上，不等式的解集为两根之间， ∴， 结合，可得的取值范围是且． 22．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数图象平移规律得到平移后的解析式，令求出抛物线与轴交点的横坐标，再计算两点之间的距离即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为，即， 令，则，解得，， ∴抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为2018和2020， ∴． 23．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，点在轴正半轴上．且轴，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设与y轴交于点E，证明是等边三角形，求出，设，，利用勾股定理和含角直角三角形的性质表示出，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设与y轴交于点E ∵四边形是菱形 ∴， ∵轴 ∴轴 ∵菱形的顶点，在二次函数的图象上 ∴点B和点C关于y轴对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的顶点在二次函数的图象上 ∴ 解得（舍去）， ∴ ∴菱形的边长为． 24．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线（其中是常数，且）． （1）抛物线的顶点坐标为______； （2）若分别取，0，3，4这4个数所得的函数值中只有一个值小于0，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式即可； （2）得出对称轴为，根据点到对称轴的距离越远对应的函数值越小，结合题意可知时值小于0，时大于等于0，求出a的取值范围． 【详解】解：（1）， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 函数的对称轴为， ， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远对应的函数值越小， 与对应的函数值相等，到距离为2，到的距离为1，到的距离为3， 距离对称轴最远， 4个数所得的函数值中只有一个值小于0， 当时值最小于0，其他的值都大于等于0， 当时，，解得；当时，，解得， ． 25．（2026·江苏南京·模拟预测）已知一次函数与二次函数（为常数）的图象在同一平面直角坐标系．若两个函数图象没有交点，则的取值范围是_________；若时，点和点分别是两个函数图象上的任意一点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】①联立一次与二次函数解析式消去得到一元二次方程，利用两函数无交点等价于判别式小于列不等式求解即可；②先代入得到两个函数解析式，根据垂线段最短确定最短的条件，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点，通过求直线与坐标轴交点证明是等腰直角三角形得到角，即可得，设抛物线上点的横坐标为，表示出铅垂距离，利用三角函数将转化为关于的二次函数，最后根据二次函数性质即可求得的最小值． 【详解】解：①联立两个函数解析式，得 ， 把①代入②，得 ， 整理，得 ， ， ∵两函数图象无交点， ∴一元二次方程无实数根，即， ∴， 解得； ②当时， 一次函数， 二次函数， 由垂线段最短可知，当垂直于直线时，的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交直线于点， 令，代入一次函数得， 令，代入一次函数得，解得， ∴、， ∴，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， 设抛物线上点的横坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴ 在中，， ​∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值． 26．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数， (1)画出此二次函数的图象； (2)结合图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)绘制二次函数的图象如下： (2) 【分析】（1）根据解析式得到二次函数的顶点坐标和对称轴，根据描点作图，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的图象和性质，得到抛物线在轴下方时，的取值范围即为答案． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴为， ∴自变量选取对称轴及两侧对称的值求函数值，并列表如下： 描点，绘图即可； （2）解：∵结合图象可知函数与轴交点坐标是和，且二次项系数， ∴当时，自变量的取值范围是：． 27．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，有长为米的篱笆，一面利用院墙围成一个外形为矩形的花园，花园中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的最大长度为米，院墙的一边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数解析式； (2)能围成面积比平方米更大的花园吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)（） (2)不能，理由： ∵， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，在对称轴右侧，随增大而减小， ∴取最小值时，取得最大值，即， ∴当时，， ∴不能围成面积比平方米更大的花园． 【分析】（1）根据为米，得到为米，利用院墙的最大长度为米，得到的取值范围，根据矩形的面积计算公式列式即可得到答案； （2）将与的二次函数的解析式转化为顶点式，继而根据二次函数的图象和性质得到取值范围的的最值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为米， ∴为米， ∵院墙的最大长度为米， ∴，解得：， ∴（）； （2）略． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）某旅游景区年“十一”接待游客万人次，年“十一”接待游客万人次．该景区内一家小吃店售卖特色小吃，每份成本7元，当售价为元时，平均每天销售份；售价每降低1元，平均每天多销售份． (1)求2026年至年“十一”假期游客人次的年平均增长率； (2)店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利元．你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 【答案】(1) (2)该想法不对，最大利润为元 【分析】（1）设年平均增长率为，则，解方程即可； （2）总利润等于单份利润乘以销量，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求解即可 ． 【详解】（1）解：设年平均增长率为，根据题意可得： 或 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以年平均增长率为． （2）解：设每份降价元，则售价为元，每份利润为元，每天销量为份． 设每天利润为元，则， 因为，所以当时，取最大值， 因为，所以即使把价格调到最优，每天也获利不到元，店员的想法不对． 29．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图是新能源汽车充电站遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点和点的水平距离为米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)一辆观光车需要充电，如图，已知车身长约米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1)； (2)观光车可以完全停进遮阳棚正下方； (3) 的最大值为米． 【分析】第问已知顶点优先用顶点式求解析式； 第问已知纵坐标求对应横坐标，比较水平可利用长度与车长判断能否停进； 第问构造竖直方向线段关于的二次函数，利用顶点求最值． 【详解】（1）解：由题意，顶点． 设顶点式，顶点为： 把代入： ∴，即． （2）解：车最高点离地，令： 在到顶点这一段，取． 该位置向右可利用的水平长度为． ， ∴观光车可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 点在抛物线上，在直线上，轴： 设,则 时，取得最大值： 答：的最大值为米． 【点睛】本题是二次函数实际应用题，考查建模能力与三类常见设问．已知顶点坐标，优先设顶点式求解析式；竖直方向线段的长度，等于上方点纵坐标减下方点纵坐标，构造差函数；二次函数最值：开口向下，在对称轴处取最大值；计算时注意先求对称轴再代入． 30．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为； (1)抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________； (2)若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式． (3)已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ①求抛物线C的对称轴； ②当时，y的最大值为3，求a的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)①抛物线C的对称轴为直线； ②的值为或． 【分析】（1）由新定义可得抛物线的友好抛物线的解析式为，再进一步求解即可； （2）由抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，可得，由抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，可得抛物线的顶点纵坐标为，再进一步求解即可； （3）①由的顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：，结合抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点，可得，进一步求解即可； ②分，，结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的友好抛物线的解析式为， ∵， ∴“友好抛物线”的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同， ∴， ∵抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2， ∴抛物线的顶点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴抛物线M的解析式为：． （3）解：①∵抛物线（其中）的“友好抛物线”为， 而的顶点横坐标为， ∴顶点纵坐标为， ∵抛物线（其中）经过其“友好抛物线”的顶点， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴抛物线C的对称轴为直线． ②∵， ∴抛物线， 当时， 解得：， 即抛物线交轴于， 当时，如图， ∵， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 当时，如图， ∴当时，函数取最大值3， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 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