专题01 一元二次方程11大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材苏科版

专题01 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的概念 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的实际应用 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义含参 题型二 一元二次方程解的含参及估算 题型三 一元二次方程的解法 题型四 配方法的应用 题型五 换元法 题型六 根的判别式 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 一元二次方程根与系数的关系 题型九 一元二次方程的实际应用 题型十 一元二次方程的几何应用 题型十一 一元二次方程的新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一元二次方程在期中卷分值占比约 10%-15%，选择、填空、解答均有涉及。选择侧重概念辨析、根的判别式简单判断；填空常考韦达定理、参数求值；解答包含解方程、判别式参数题，压轴多为增长率、面积、利润应用题，部分试卷会和几何综合小压轴结合考查。 题型特点： 基础题重计算规范性，四种解法是必考内容，配方法高频出现。中档题集中在判别式、韦达定理，极易忽略二次项系数不为 0、Δ≥0 的前提。应用题核心是梳理等量关系，审题陷阱多，常结合实际舍去负根；压轴偏向方程与几何、动点结合，综合度高，区分度明显。 难度分布： 整体以基础、中档为主，基础题占该板块六成，只要计算稳就能拿分。中档题约三成，多为含参判别式、韦达代数式求值，易错点集中。难题约一成，一般是填空或解答压轴，以几何结合方程、复杂利润模型为主，侧重逻辑建模，对审题和综合分析能力要求较高。 备考规划： 第一阶段夯实概念与计算，每日限时练解方程，规范步骤。第二阶段专项突破判别式、韦达定理，整理参数题型易错清单。第三阶段主攻应用题，归纳面积、增长率、利润三类模板，训练检验取舍。最后限时综合卷复盘，重点盯压轴，考前回看错题，规避二次项系数、根的检验等典型丢分点。 识记 熟记一元二次方程定义，牢记一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，识别各项及系数。熟记直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，记住求根公式、根的判别式、韦达定理内容。准确识记增长率、面积、利润应用题的常见文字模型，清晰记下解方程、验根的基本书写要求。 理解 理解二次项系数不为 0 的深层原因，明白判别式与根的个数对应关系，读懂韦达定理适用前提。理解配方法转化为完全平方式的转化思想，能读懂实际问题中的等量关系。理解方程解要符合实际意义，懂得方程是刻画数量关系的模型，能区分一元一次、分式、一元二次方程。 应用 灵活选用合适方法解方程，利用判别式求参数取值范围、判断根情况，借助韦达定理代数式求值。会建立一元二次方程模型，解决增长率、图形面积、销售利润问题。能结合几何动点、图形变换综合解题，主动检验根，舍去不符合题意的解，规范书写解题步骤，减少计算失误。 考点一 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，ax2是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“a≠0，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. ⚠️避坑指南 关于一元二次方程根的结论： ❌①若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根x=1，反之也成立； ❌②若a-b+c=0，则ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根x=-1，反之也成立； ❌③若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根x=0，则 c=0，反之也成立. 考点二 一元二次方程的解法 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程x2=a： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 考点三 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 考点四 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型一 一元二次方程的定义含参 典例1（2025八年级上·江苏苏州·期中）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 💡破题要诀 先抓核心条件：未知数最高次数为 2，**二次项系数≠0**，同时整式方程。列式求解参数后，务必回代检验，排除使二次项系数为 0 的情况。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴或， ∵， ∴， ∴舍去， 故， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 题型二 一元二次方程解的含参及估算 典例2（26-27九年级上·全国·单元测试）若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A．2016 B．2017 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】将所求代数式变形，结合方程的解的性质整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， 将代入，得． 迁移应用 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 【答案】1 【分析】先将根代入方程得到的可能取值，再根据一元二次方程二次项系数不为零的要求，排除不符合条件的解，即可得到的值 【详解】解： 关于的一元二次方程有一个根为， 将代入方程得 ， 解得或， 又 一元二次方程的二次项系数不能为，即， 得， 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 题型三 一元二次方程的解法 典例3（26-27九年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得，． 💡破题要诀 先观察方程结构，优先因式分解、直接开平方法；不好分解用配方法或公式法。计算细心，公式法先算判别式，解完可口头验算，规范书写步骤。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： 移项得 开方得 解得 ，； （2） 移项得 因式分解得 得 或 解得 ，； （3） 因式分解得 得或， 解得，； （4） 这里 ，， ， ， 解得 ，． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴， ∴，； （2）解：， 移项，得， 配方，得， ， 开方，得， ∴，； （3）解：， 整理得， 移项，得， 左边因式分解，得， 即， ∴或， ∴，． 题型四 配方法的应用 典例4（26-27九年级上·江苏镇江·期中）求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？ 【答案】 当时，代数式的值最小，最小值是． 【分析】通过配方法将代数式变形为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求最值． 【详解】解： 对代数式进行配方，得 ∵ ∴ ∴ 当，即时，代数式取得最小值． 迁移应用 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    【答案】(1)， (2)长方形的面积存在最大值，最大值为9， 理由如下： 由题意可得长方形的面积为， ， ， 长方形的面积存在最大值，最大值为9． 【分析】本题主要考查配方法的应用． （1）根据题干中所给的配方法可进行求解； （2）由题意可得长方形的面积为，然后根据配方法可进行求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2） 略 题型五 换元法 典例5（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的方程，则_________． 【答案】 【分析】设，原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 又∵当时，；当时，，舍去， ∴， 即． 💡破题要诀 找到重复整体设新元，把复杂方程简化为熟悉的一元二次方程。求出新元的值后，回代求出原未知数，切记不能漏掉检验增根。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】， 【分析】令，代入，根据题意可得或，即可求解． 【详解】解：令，代入， 则， 则由题意得，或， ∴或， 解得或， ∴一元二次方程的解为，． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 题型六 根的判别式 典例6（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 【答案】(1)方程有两个实数根 (2)另一根为， 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式（，方程有两个实数根；方程没有实数根）即可知道方程根的情况． （2）将方程的其中一个根代入方程即可求出的值，将值代入方程，利用直接开平方法解出即可求出方程的另一个根． 【详解】（1）解：， ， 方程有两个实数根． （2）解：将代入方程得：， ， 将代入方程得：， ， ，， 方程的另一根为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：， ∵，即， ∴无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)，另一个根为 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）先把代入方程，求出，再把代入方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得：， 即， 解得：， 此时方程为， 即， ∴或， 解得：，, ∴另一个根为． 2．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 典例7（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且m为正数，求m的值以及另一个根． 【答案】(1) 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； (2)，另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，也考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算出，由此即可得证； （2）将代入方程并结合题意即可求出，从而可得出原方程为，再解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程的一个根为， ∴， 解得， ∵m为正数， ∴， ∴原方程为， 解得或， ∴，另一个根为． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围． (2)若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1) (2)3或4 【分析】（1）根据根的判别式，即可求出m的取值范围； （2）分3为腰与3为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：若3是腰，则为已知方程的解， 将代入方程得：， 解得：， 即方程为， 解得：或， 此时三角形三边为1，3，3，符合题意，即； 若3是底时，另两边长是该方程的两根， 另两边是腰长，故方程的两根相等， 即，方程为， 解得：， 此时三角形三边长为3，2，2，符合题意，即， 综上，m的值为3或4． 【点睛】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 题型八 一元二次方程根与系数的关系 典例8（26-27九年级上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，. ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ . ∴ ， ∴ . 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系列不等式求解； （2）根据根与系数的关系结合已知两根的数量关系推导证明. 【详解】（1）解： ∵ 一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ， 解得 . （2）略 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． (2)若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． (3)若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 【答案】(1)是“倍邻根方程”，判断如下： 解得，， ∵，符合“倍邻根方程”定义， ∴方程是“倍邻根方程”； (2) (3)证明：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得，，， 将代入得，， ∴， 将代入得，， ∴， 把代入上式得， ． 【分析】（1）先进行解方程，再根据新定义进行求解即可； （2）设方程的两根为、，根据新定义可得，再根据根与系数的关系得，将代入进行求解即可； （3）设方程的两根为、，根据新定义可得，由根与系数的关系得，，，将分别代入两式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为、，且， 由根与系数的关系得， ∴ 解得， ∴， ∴； （3）略 2．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 或 (3) 的最大值为 【分析】（1）直接利用根与系数的关系计算两根之积； （2）分和两种情况，时构造一元二次方程，结合根与系数的关系化简求值； （3）根据与的表达式构造以、为根的一元二次方程，利用判别式非负列不等式求解的最大值 【详解】（1）解：对于一元二次方程，由根与系数的关系得 ； （2）解：分两种情况讨论： ① 当时， ∵实数，满足，， ∴，可看作方程的两个不相等实数根， 由根与系数的关系得，， ∴； ②当时，； 综上所述，的值为或； （3）解：∵，， ∴可将，看作方程的两个实数根， ∵，为实数， ∴， 整理得， ∵， ∴， 不等式两边同时乘，得， 即， 两边开立方得， 解得， 当时，方程为，有两个相等实数根，符合题意， ∴的最大值为． 题型九 一元二次方程的实际应用 典例9（26-27九年级上·江苏盐城·期中）某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 【答案】(1) 该专卖店核桃销售量的月增长率为. (2) 每千克核桃应降价元或元. 【分析】（1）根据月增长率相同，结合7月与9月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据“每千克利润日销售量日总利润”的等量关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解： 设该专卖店核桃销售量的月增长率为， ∵7月份销售量为4000千克，从7月到9月销售量的月增长率相同，9月份销售量为5760千克， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：设每千克核桃应降价元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵降价后售价需高于进价，即， 解得， ∴，均符合题意， 答：每千克核桃应降价元或元． 💡破题要诀 读懂题意找准等量，设未知数列出方程。求出根后结合现实检验，舍去负数、超出范围等不合理解，答题带上单位，规范作答。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 (1)任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ (2)任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据该店5月份”加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份，列出方程进行计算即可； （2）设该款”常州麻糕”应该降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：任务1：设该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该美食店”加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； （2）设该款”常州麻糕”应该降价元，由题意，得： ， 解得：或； ∵要尽快减少库存， ∴； 答：该款”常州麻糕”应该降价3元． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． (1)求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； (2)店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【答案】(1) 年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率为． (2) 小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 【分析】（1）根据年和年的游客人次，利用增长率问题的等量关系列一元二次方程求解． （2）根据总利润的计算公式列函数关系式，通过配方法求最大值，再与元比较判断． 【详解】（1）解：设年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为， ∵年接待游客万人次，年接待游客万人次， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年至年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为． （2）解：设每碗冷粉降价元，店家每天的总利润为元， ∵每碗成本元，原售价元，原日销量碗，价格每降低元，日销量增加碗， ∴单碗利润为元 ，销售量为碗，自变量的取值范围为， ∴ ， ∵，且满足， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚元． 题型十 一元二次方程的几何应用 典例10（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，一块矩形场地，长米，宽米，场内小矩形为种菜区域，剩余区域为休闲区，其中米，休闲区每平方米可收集储存雨水升． (1)种菜区的面积为_____，休闲区能接的雨水量为_____．（用含有的代数式表示） (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区储存的雨水恰好能完全供给种菜区灌溉，求的值． 【答案】(1)；； (2)3． 【分析】先用含的代数式表示种菜小矩形的长和宽，写出种菜面积，再用总面积减去种菜面积得到休闲区面积，进而表示雨水总量；根据“雨水总量=种菜总需水量”建立方程，解一元二次方程后结合实际意义舍去不合题意的根． 【详解】（1）解：种菜区面积： 休闲区面积： 休闲区每平方米收集雨水升，故雨水总量：（升） ∴种菜区面积为，休闲区雨水为． （2）解：种菜区总需水量为．由“雨水恰好等于需水量”列方程： 两边同除以3： 移项整理： 因式分解： 得，． 结合实际：，故不合题意，舍去． ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图，利用一面墙（墙长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形菜园，且中间共留两个的小门，设栅栏长为． (1) _____________ （用含的代数式表示）； (2)若矩形菜园面积为，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设栅栏的长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形菜园面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：栅栏的长为米． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接、，是否存在t的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的长度等于 (3)存在，的值为或 【分析】（1）根据题意可得，，再根据求解即可； （2）在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可； （3）先求出，，和的取值范围，再分两种情况：①和②，分别建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴． （2）解：由题意得：点从点开始沿边运动到终点所需时间为，点从点开始沿边运动到终点所需时间为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：如图，连接，， 由上可知，，，且， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， 在中，， ①当时，是以为腰的等腰三角形， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）； ②当时，是以为腰的等腰三角形， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 综上，存在的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形，此时的值为或． 题型十一 一元二次方程的新定义问题 典例11（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，直接写出，满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】（1）解每个方程求出两根，计算两根之差，判断是否相差； （2）先写出方程两个根，根据两根差为，分两种情况列方程求； （3）利用韦达定理，结合变形，推出，满足的数量关系． 【详解】（1）解：， 则， 则或， 解得，， ， ①是“邻根方程”； ， 则， 则， 解得，两根相等， ②不是“邻根方程”； ， 则， 则或， 解得，， ， ③是“邻根方程”， 综上，①③是“邻根方程”． （2）解：，且是“邻根方程”， 则或， 解得，， 当时：，解得， 当时：，解得， 故的值为或． （3）解：已知一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”， 设方程的两个根为，， 可得，，， 则， 则， 可得． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程” (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，以及根据“对称方程”的概念来解答一元二次方程中相应参数的值，熟练掌握一元二次方程的解法以及根与系数的关系是解答此题的关键． （1）将这两个方程分别解出来，再看它们的两个根是否互为相反数，即可判断它们是否为“对称方程”； （2）根据“对称方程”的特点即可得出两根之和等于0，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，代入相应字母的值可得出一个关于的方程，解出该方程即可得到的值． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， ，， ∵该方程的两实数根不互为相反数， ∴此方程不是“对称方程”； ②， 整理得， ，， ∵该方程的两实数根互为相反数， ∴此方程是“对称方程”； （2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，原方程为，无解， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确关于的一元二次方程需满足仅含一个未知数、的最高次数为2、是整式方程，据此判断各选项. 【详解】解：A、B、D选项的方程均含有两个未知数，不满足一元的要求，且D为分式方程，均不符合题意； C选项的方程只含未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意. 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入，得， ，即 ， 解得． 3．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即， 解得． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这两年藏书的年均增长率是x，先表示出2024年底的藏书量、再表示出2025年底的藏书量，最后根据2025年底的藏书量为万册列出方程即可． 【详解】解：设这两年藏书的年均增长率是x， ∵2023年底藏书为5万册， ∴2024年底藏书量为万册， ∴2025年底藏书量为万册， ∵2025年底藏书为万册， ∴． 5．（26-27九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【详解】解：对移项，得， 整理得． ∵一元二次方程有一解为， ∴， 解得． 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）方程的根为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 7．（26-27九年级上·江苏南京·期中）某节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次，设该节目播放量的日均增长率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】根据平均增长率问题的公式，结合第三天的播放量列出方程． 【详解】解：∵第一天播放量为万次，日均增长率为， ∴第二天的播放量为万次， ∴第三天的播放量为万次， ∵已知第三天播放量为万次， ∴可列方程为． 8．（26-27九年级上·江苏南京·期中）设，是方程的两实数根，__________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴根据根与系数的关系可得： ，． 对通分变形得：． 将，代入得： ． 9．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知、是方程的两个实根，则________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到，根据方程的解的定义推出，据此代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 11．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】略 【详解】（1）解： （2） 12．（26-27九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1） 解： 移项得 开方得 或 ∴，； （2）解： 因式分解得 或 ∴，； （3）解： 移项得 配方得 即 开方得 ∴，； （4）解： 整理得 提取公因式得 或 ∴，． 13．（26-27九年级上·全国·期中）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 14．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据右边宽与天头长的比为，即可求解； （2）根据“装裱后作品总面积为”，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．12 B．13 C．14 D．12或14 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的候选值，再结合三角形三边关系筛选有效边长，计算周长. 【详解】解：， ， ∴，. 当第三边长为2时， ∵，不能构成三角形， 当第三边长为4时， ∵，能构成三角形， ∴三角形周长为． 17．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 【答案】B 【分析】根据根与系数的关系、根的判别式以及方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A．若两根为和，由根与系数的关系得，化简得，故A错误； B．设两根为，若两根互为相反数，则，由根与系数的关系得，又，故，B正确； C．方程判别式为，当时方程有两个相等的实数根，故C错误； D．将代入方程左边得，，D错误． 18．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将水平道路平移至矩形最上侧，竖直道路平移至矩形最左侧，剩余部分的面积不变．根据此时剩余部分的图形为矩形直接列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据图形列方程为：． 19．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】利用误方程的根得到、与的数量关系，再分别判断甲、乙说法的正误． 【详解】解：由题意得，误方程为 ∵，是误方程的根， ∴将代入得， 将代入得， 两式相减得，即， 将代入，得 甲：将代入原方程左边，得 将，代入，得 ∵， ∴，即不是原方程的根，甲错误； 乙：原方程的判别式 将，代入，得 ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙正确． 20．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（     ）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 【答案】B 【分析】设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 21．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为________________．（要求是一元二次方程的一般形式） 【答案】 【分析】根据题意设一元二次方程的两根为，，再根据根与系数的关系计算一次项系数和常数项，即可得到所求方程． 【详解】解：设一元二次方程的两根为，， ， ， ， 所求一元二次方程的一般形式为． 22．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】方程左边是实数的平方，恒大于等于0，若方程无实数根，则右边的代数式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 对任意实数，都有，方程没有实数根， ∴ ， 解得 ． 23．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 【答案】 是 或 【分析】先求解第一个方程得到两根，根据“邻根方程”定义判断，再对第二个一元二次方程求解得到两根，根据定义列方程计算的值． 【详解】解：解方程，因式分解得， 解得，， ，满足一个根比另一个根大，符合“邻根方程”定义， 方程是“邻根方程”。 对一元二次方程因式分解得：， 或， 解得或， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． 24．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，）有两个相等的实数根．若m，n为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，先计算系数和得到是方程的根，因此方程两个根都为，结合根与系数的关系推导得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，，， ， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根都为， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 代入，得： ， 整理得：， ，为非零实数，， ． 25．（26-27九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件，只需判断每个条件能否推出判别式，逐个验证即可． 【详解】解：一元二次方程（）有实数根的条件是判别式． ① 若，则，又， ，方程有实数根，①符合要求． ② 若，举反例：取 ，，，满足， 此时，方程无实数根，②不符合要求． ③若，则．代入判别式得， ，方程有实数根，③符合要求． ④若，则．代入判别式得． ，，又， ，方程有实数根，④符合要求． 综上，正确条件的序号是①③④． 【点睛】判断一元二次方程是否有实数根，关键是看判别式的符号；当条件能直接推出时，方程有实数根；不能推出的条件可举反例排除． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， 故； （2）解：化简得， ， 即， 故． 27．（26-27九年级上·江苏南京·期中）一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． (1)在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ (2)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 【答案】(1)每件服装的售价定为元． (2)解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， ， 方程无解，商家不能达到平均每天盈利元． 【分析】（1）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程求解； （2）设每件服装降价元，根据总利润单件利润日销售量的关系，列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实根求解． 【详解】（1）解：设每件服装降价元，则每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 由题意，得， 整理，得， 解得，， 需要尽可能让顾客受益， ． 每件服装售价定为（元）． 每件服装降价元时，即售价定为元时，能尽可能让顾客受益并且商家平均每天能盈利元． （2）略 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)已知方程是“邻根方程”，求的值； (3)若方程是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 (3)2 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义逐个判断即可； （2）先求出方程的两根，再根据“邻根方程”的定义建立方程，解方程即可； （3）利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得的值，再根据“邻根方程”的定义可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①的根为，，此时，则不是“邻根方程”； ②即，方程的根为，此时，则不是“邻根方程”； ③即，方程的根为，，此时，则是“邻根方程”． （2）解：方程的两根为，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴或， 解得或． （3）解：设的两根为，， 则，，方程根的判别式， ∴，， ∵方程是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， 解得，符合题意， ∴的值为2． 29．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． (1)解方程：； (2)已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察到方程中重复出现，通过换元将四次方程转化为一元二次方程求解，回代时注意平方数的非负性． （2）已知方程的四个根，将方程表示为因式乘积的形式，化简后对比系数得到各系数值，再计算和． 【详解】（1）解：令，则原方程化为． 解得，． 当时，，，解得，． 当时，，整理得，舍去． 综上所述，原方程的解为． （2）解：∵方程的根为，，，， ∴原方程可写为． 即． 对比原方程对应项系数，得，，，． ∴． 30．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）探究不同的情境，回答下面的问题． (1)下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． (3)若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 【答案】(1) ① (2) 条件：③，结论：② (3) 【分析】（1）分别解三个方程（或用判别式＋求根），逐一判断两个根是否都为整数，注意③只有一个根是整数，不符合题意； （2）先算判别式 ，由“两个相等的实数解”得 求出 ，回代验证两根都是整数，从而说明“条件③⇒结论②”是真命题； （3）设公共整数解为 ，代入两个方程后两式相减，由 得 ，进而得到 与 的关系式，把 化成只含 的式子，用 求最小值． 【详解】（1）解：① ，即 ， 解得 ，，两个解都是整数，符合题意； ② ，， 解得 ，两个解都不是整数，不符合题意； ③ ，即 ， 解得 ，，只有一个解是整数，不符合题意． 所以有两个整数解的是①． （2）解：选择的条件是③，结论是②．证明如下： 对于方程 ， ． 因为方程有两个相等的实数解， 所以 ，即 ， 解得 ． 此时方程为 ，即 ， 化为 ，解得 ． 因为 是整数，所以方程有两个整数解，结论②成立． 故“条件③⇒结论②”是真命题． （3）解：设这两个方程公共的整数解为 ，则 　①，　②． ①−②，得 ，即 ． 因为 ，即 ， 所以 ，解得 ． 把 代入①，得 ，即 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ， 当 （此时 ，满足 ）时取等号， 故 的最小值为 ． 【点睛】① 第（1）问③中 的两根是 和 ，“有一个整数解”≠“有两个整数解”，别误选③； ② 第（2）问“两个相等的实数解”是指 ，此时两根相等仍是“两个整数解”，这是③⇒②成立的关键；若选①作条件， 时两根为 与 ，不全是整数，推不出②； ③ 第（3）问两式相减后必须因式分解成 ，再由 得 ，不能漏掉 这个条件，否则会误认为 可取任意值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 一元二次方程的概念 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程根与系数的关系 考点四 一元二次方程的实际应用 05 重难题型突破 题型一 一元二次方程的定义含参 题型二 一元二次方程解的含参及估算 题型三 一元二次方程的解法 题型四 配方法的应用 题型五 换元法 题型六 根的判别式 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 一元二次方程根与系数的关系 题型九 一元二次方程的实际应用 题型十 一元二次方程的几何应用 题型十一 一元二次方程的新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一元二次方程在期中卷分值占比约 10%-15%，选择、填空、解答均有涉及。选择侧重概念辨析、根的判别式简单判断；填空常考韦达定理、参数求值；解答包含解方程、判别式参数题，压轴多为增长率、面积、利润应用题，部分试卷会和几何综合小压轴结合考查。 题型特点： 基础题重计算规范性，四种解法是必考内容，配方法高频出现。中档题集中在判别式、韦达定理，极易忽略二次项系数不为 0、Δ≥0 的前提。应用题核心是梳理等量关系，审题陷阱多，常结合实际舍去负根；压轴偏向方程与几何、动点结合，综合度高，区分度明显。 难度分布： 整体以基础、中档为主，基础题占该板块六成，只要计算稳就能拿分。中档题约三成，多为含参判别式、韦达代数式求值，易错点集中。难题约一成，一般是填空或解答压轴，以几何结合方程、复杂利润模型为主，侧重逻辑建模，对审题和综合分析能力要求较高。 备考规划： 第一阶段夯实概念与计算，每日限时练解方程，规范步骤。第二阶段专项突破判别式、韦达定理，整理参数题型易错清单。第三阶段主攻应用题，归纳面积、增长率、利润三类模板，训练检验取舍。最后限时综合卷复盘，重点盯压轴，考前回看错题，规避二次项系数、根的检验等典型丢分点。 识记 熟记一元二次方程定义，牢记一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，识别各项及系数。熟记直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，记住求根公式、根的判别式、韦达定理内容。准确识记增长率、面积、利润应用题的常见文字模型，清晰记下解方程、验根的基本书写要求。 理解 理解二次项系数不为 0 的深层原因，明白判别式与根的个数对应关系，读懂韦达定理适用前提。理解配方法转化为完全平方式的转化思想，能读懂实际问题中的等量关系。理解方程解要符合实际意义，懂得方程是刻画数量关系的模型，能区分一元一次、分式、一元二次方程。 应用 灵活选用合适方法解方程，利用判别式求参数取值范围、判断根情况，借助韦达定理代数式求值。会建立一元二次方程模型，解决增长率、图形面积、销售利润问题。能结合几何动点、图形变换综合解题，主动检验根，舍去不符合题意的解，规范书写解题步骤，减少计算失误。 考点一 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，ax2是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“a≠0，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. ⚠️避坑指南 关于一元二次方程根的结论： ❌①若a+b+c=0，则ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根x=1，反之也成立； ❌②若a-b+c=0，则ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根x=-1，反之也成立； ❌③若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根x=0，则 c=0，反之也成立. 考点二 一元二次方程的解法 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程x2=a： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 考点三 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 考点四 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 题型一 一元二次方程的定义含参 典例1（2025八年级上·江苏苏州·期中）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 💡破题要诀 先抓核心条件：未知数最高次数为 2，**二次项系数≠0**，同时整式方程。列式求解参数后，务必回代检验，排除使二次项系数为 0 的情况。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是_____． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为________． 题型二 一元二次方程解的含参及估算 典例2（26-27九年级上·全国·单元测试）若为方程的一个解，则代数式的值为（     ） A．2016 B．2017 C．2026 D．2027 迁移应用 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是 _____ ． 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（    ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 题型三 一元二次方程的解法 典例3（26-27九年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1) (2) (3) (4) 💡破题要诀 先观察方程结构，优先因式分解、直接开平方法；不好分解用配方法或公式法。计算细心，公式法先算判别式，解完可口头验算，规范书写步骤。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． 题型四 配方法的应用 典例4（26-27九年级上·江苏镇江·期中）求出当x取何值时，代数式的值最小？最小值是多少？ 迁移应用 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 2．（25-26九年级上·福建三明·期中）我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下列问题： (1)填空：按上面材料提示的方法配方：_____________=_____________． (2)应用：如图，已知线段是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以为一组邻边作长方形．问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．    题型五 换元法 典例5（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的方程，则_________． 💡破题要诀 找到重复整体设新元，把复杂方程简化为熟悉的一元二次方程。求出新元的值后，回代求出原未知数，切记不能漏掉检验增根。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 题型六 根的判别式 典例6（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判别方程根的情况； (2)如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 迁移应用 1．（26-27九年级上·广东汕头·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何实数，该方程总有实数根； (2)若该方程的一个根为2，求m的值及方程的另一个根． 2．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 典例7（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，且m为正数，求m的值以及另一个根． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围． (2)若等腰三角形的其中一边为3，另两边是这个方程的两根，求m的值． 题型八 一元二次方程根与系数的关系 典例8（26-27九年级上·江苏无锡·期中）关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求证：． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根的2倍大1，则称这样的方程为“倍邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“倍邻根方程”． (2)若一元二次方程是“倍邻根方程”，求k的值． (3)若一元二次方程（b为常数）是“倍邻根方程”，求证：． 2．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）阅读材料： 材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数，满足，，且，则可将，看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数，满足，，则可以将，看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则 ； (2)已知实数，满足，，求的值； (3)已知实数，，满足，，且，求的最大值． 题型九 一元二次方程的实际应用 典例9（26-27九年级上·江苏盐城·期中）某特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销售量，7月份销售量为4000千克，9月份销售量为5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率． (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，则每千克核桃应降价多少元？ 💡破题要诀 读懂题意找准等量，设未知数列出方程。求出根后结合现实检验，舍去负数、超出范围等不合理解，答题带上单位，规范作答。 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏常州·期中）【综合与实践】为了更好推广常州特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：常州特色美食销售方案制定问题 常州美食底蕴深厚，尤其是加蟹小笼包和常州麻糕．加蟹小笼包皮薄爆汁、蟹香浓郁，是百年早茶名点；麻糕酥香掉渣，咸甜适口，是常州人钟爱的传统点心！为吸引不同年龄段顾客到店消费，某美食店推出“加蟹小笼包”“常州麻糕”两款镇店招牌美食． 素材1 加蟹小笼包 常州麻糕 素材2 经统计，该美食店5月份“加蟹小笼包”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“常州麻糕”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“常州麻糕”作降价促销，已知每份“常州麻糕”的成本为9元．经试验，发现每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 (1)任务1：求该美食店“加蟹小笼包”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ (2)任务2：为使该店8月份“常州麻糕”总利润达到6300元，求“常州麻糕”应该每份降价多少元？ 2．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客万人次；年“五一”黄金周期间，接待游客已达万人次．千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗元，借鉴以往经验：若每碗卖元，平均每天将销售碗，若价格每降低元，则平均每天多销售碗． (1)求出年至年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； (2)店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 题型十 一元二次方程的几何应用 典例10（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，一块矩形场地，长米，宽米，场内小矩形为种菜区域，剩余区域为休闲区，其中米，休闲区每平方米可收集储存雨水升． (1)种菜区的面积为_____，休闲区能接的雨水量为_____．（用含有的代数式表示） (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区储存的雨水恰好能完全供给种菜区灌溉，求的值． 迁移应用 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）如图，利用一面墙（墙长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形菜园，且中间共留两个的小门，设栅栏长为． (1) _____________ （用含的代数式表示）； (2)若矩形菜园面积为，求栅栏的长． 2．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接、，是否存在t的值，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型十一 一元二次方程的新定义问题 典例11（26-27九年级上·江苏南京·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，是“邻根方程”的是_________（填序号） ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，直接写出，满足的数量关系． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·江苏南京·期中）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（     ） A．4 B． C．1 D． 4．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2023年底到2025年底两年内由5万册增加到万册．设这两年藏书的年均增长率是x，则可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·江苏南京·期中）方程的根为_________． 7．（26-27九年级上·江苏南京·期中）某节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次，设该节目播放量的日均增长率为，根据题意，可列方程为______． 8．（26-27九年级上·江苏南京·期中）设，是方程的两实数根，__________． 9．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知、是方程的两个实根，则________． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 11．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 12．（26-27九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（26-27九年级上·全国·期中）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 15．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．12 B．13 C．14 D．12或14 17．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（     ）． A．若方程的两个根是和3，则 B．若方程有两个根互为相反数，则 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程一定有一个根为 18．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 19．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）九年级一同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：甲：原方程必定有一个根是；乙：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（     ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 20．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（     ）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 21．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为________________．（要求是一元二次方程的一般形式） 22．（26-27九年级上·江苏南京·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 23．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．判断：方程_______“邻根方程”（填“是”“不是”）；若关于x的一元二次方程 （m是常数） 是“邻根方程”，则m的值为_____________． 24．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，）有两个相等的实数根．若m，n为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 25．（26-27九年级上·江苏南京·期中）对于一元二次方程（a，b，c为常数，且），下列条件：①；②；③；④；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是________． 26．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）解下列方程： (1)； (2)． 27．（26-27九年级上·江苏南京·期中）一款服装每件进价为元，售价为元时，每天可售出件．为了扩大销量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． (1)在尽可能让顾客受益的情况下，每件服装的售价定为多少元时，商家平均每天能盈利元？ (2)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明理由． 28．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)已知方程是“邻根方程”，求的值； (3)若方程是“邻根方程”，求的值． 29．（26-27九年级上·江苏南京·期中）在解方程时，我们可以把看作一个整体——令，则原方程可以转化为，解得． 当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，原方程的解为． (1)解方程：； (2)已知关于的一元四次方程的根为，，，，则______． 30．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）探究不同的情境，回答下面的问题． (1)下列一元二次方程中有两个整数解的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知关于x的一元二次方程：． 有以下3条信息：①；②方程有两个整数解；③方程有两个相等的实数解． 从上面3条信息中选择1条作为条件，1条作为结论组成一个真命题，并证明你的结论，你选择的条件是： ，结论是 （填序号）． (3)若关于x的一元二次方程和有一个公共的整数解，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $