期中（第1-3章）练习卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

期中（第1-3章）练习卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．在平面直角坐标系中，点P（m2+26，﹣27）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．5，12，15 4．下列实数中，是无理数的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 5．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 6．如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为105°，则此时乙位于A地的（　　） A．南偏东30° B．南偏东45° C．北偏西30° D．北偏西45° 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，若AB＝c，BC＝a，AC＝b，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积为（　　） A．20 B．28 C．8 D．18 9．新考向我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 10．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．﹣3b B．0 C．2a﹣b D．2a+b 二．填空题（共6小题） 11．若点A（a+5，a﹣6）在y轴上，则a的值为_______ ． 12．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是_____________ （写出一个即可）． 13．在平面直角坐标系中，已知点C（﹣2，﹣3）、D（4，﹣3），如果点P为直线CD上任意给定的一点，那么点P的纵坐标为_______ ． 14．已知2a﹣1和a﹣2分别是一个正数的两个平方根，3a+2b﹣1的立方根为2，则b的平方根为________________ ． 15．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，∠APC＞90°，则BP的长为____________ ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D是边AC上一点，且，点P从点B出发沿射线BC向右运动．过点D作DE⊥AP于点E．当DE＝CD时，BP的长为 _________ ． 三．解答题（共10小题） 17．计算： （1）； （2）； （3）． 18．在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣2，m+1）． （1）当点P到y轴的距离为2时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣1，﹣3）时，求出点P的坐标． 19．如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为24cm2和18cm2的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 20．已知2a﹣1的平方根是±3，25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根． （1）求2a+3b的平方根； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求y﹣x的值． 21．如图1，点A，B，C的坐标分别是A（0，3），B（0，﹣3），C（4，0）． （1）如图1，过点O作OD⊥AC于点D，OD•AC的值为_______ ； （2）如图2，点P为线段OB的延长线上的一动点，当点P在OB的延长线上向下运动时，作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，式子AC•（PM﹣PN）的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 22．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线，若AB＝15，AC＝20，AD＝12． （1）求证：∠BAC是直角； （2）求AE的长度． 23．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积． 24．认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成下列任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过固定的滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上（A、B、C可以视作三个点）； ②滑块B可在水平轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离AC为8dm，到滑块B的水平距离BC为6dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度为_______ dm； （2）若滑块B向左滑动到B'时，物体C上升到C'的位置，如图2．若CC'＝7dm，求滑块向左滑动的距离BB'的长度为多少dm？ 25．【应用举例】 观察3，4，5：5，12，13：7，24，25：… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4（9﹣1），弦5（9+1）； 当勾为5时，股12（25﹣1）弦13（25+1）； 当勾为7时，股24（49﹣1），弦25（49+1）． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝____________________ ，弦＝____________________ ； 【问题解决】 （2）如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，a＝8，请判断以a，b，c为三边长的三角形的形状． 26．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2， 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是____________________ ．_________________ ； （2）比较大小：_____ （填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）计算：； （4）若，求﹣2a2+12a﹣4的值． 期中（第1-3章）练习卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在平面直角坐标系中，点P（m2+26，﹣27）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【专题】平面直角坐标系；运算能力． 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+26＞0， ∵﹣27＜0， ∴点P在第四象限， 故选：D． 2．下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【专题】二次根式；运算能力． 【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．下列四组数中，是勾股数的是（　　） A．32，42，52 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．5，12，15 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【解答】解：A、（32）2+（42）2＝81+256＝337，（52）2＝625，（32）2+（42）2≠（52）2，故32，42，52不是勾股数； B、各数不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数； C、62+82＝102，故6，8，10是勾股数； D、52+122＝132≠152，故5，12，15不是勾股数． 故选：C． 4．下列实数中，是无理数的是（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【专题】实数；数据观念． 【解答】解：无限不循环小数是无理数， A．﹣1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 6．如图，甲、乙两人同时从A地出发，甲沿东北方向步行前进，乙沿图示方向步行前进．当甲到达B地，乙到达C地时，甲与乙前进方向的夹角∠BAC为105°，则此时乙位于A地的（　　） A．南偏东30° B．南偏东45° C．北偏西30° D．北偏西45° 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【解答】解：如图： ∵∠NAB＝45°，∠BAC＝105°， ∴∠CAS＝180°﹣∠BAC﹣∠BAN＝180°﹣105°﹣45°＝30°， ∴此时乙位于A地的南偏东30°， 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，若AB＝c，BC＝a，AC＝b，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2， ∵AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∴5﹣BD2＝7﹣（BD）2， ∴BD， ∴AD， 故选：C． 8．如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则最大正方形E的面积为（　　） A．20 B．28 C．8 D．18 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【解答】解：如图所示， ∵正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2， ∴正方形A，B，C，D的面积为4，9，1，4， ∴FM2＝GH2＝4+9＝13， 同理，HN2＝1+4＝5， ∴GN2＝GH2+HN2＝13+5＝18， 即大正方形E的面积为18， 故选：D． 9．新考向我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【专题】二次根式；运算能力． 【解答】解： ＝3+26 ， ∵9，6为有理数，是最简二次根式， ∴是型无理数， 故选：A． 10．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．﹣3b B．0 C．2a﹣b D．2a+b 【专题】二次根式． 【解答】解：由数轴上数a，b的位置得出，b﹣a＜0，a+b＜0，b＜0， ∴a﹣b﹣a﹣b+2b＝0， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．若点A（a+5，a﹣6）在y轴上，则a的值为　﹣5　 ． 【专题】平面直角坐标系；几何直观． 【解答】解：由条件可知a+5＝0，解得a＝﹣5， 故答案为：﹣5． 12．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是　6（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【专题】二次根式；运算能力． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣5≥0， 解得：x≥5， ∴实数x的值可以是6（答案不唯一）． 故答案为：6（答案不唯一）． 13．在平面直角坐标系中，已知点C（﹣2，﹣3）、D（4，﹣3），如果点P为直线CD上任意给定的一点，那么点P的纵坐标为　﹣3　 ． 【专题】平面直角坐标系；几何直观． 【解答】解：∵C（﹣2，﹣3）、D（4，﹣3）， ∴直线CD平行于x轴，直线CD上所有点的纵坐标都相等， ∵点P为直线CD上任意一点， ∴点P的纵坐标为﹣3． 故答案为：﹣3． 14．已知2a﹣1和a﹣2分别是一个正数的两个平方根，3a+2b﹣1的立方根为2，则b的平方根为　　 ． 【专题】实数；运算能力． 【解答】解：由条件可知2a﹣1+（a﹣2）＝0， ∴a＝1， ∵3a+2b﹣1的立方根为2， ∴3a+2b﹣1＝8， ∴3+2b﹣1＝8， ∴b＝3， ∴b的平方根为， 故答案为：． 15．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，∠APC＞90°，则BP的长为　12.5或11　 ． 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【解答】解：过A作AM⊥BC于M， ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴BM＝CMBC＝8，∠B＝∠C， 由勾股定理得到：AM6， 当∠APC﹣∠C＝90°时，如图， ∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠B＝∠C， ∴∠BAP＝90°， ∵∠PAM+∠BAM＝∠B+∠BAM＝90°， ∴∠PAM＝∠B， ∵∠AMP＝∠AMB＝90°， ∴△AMP∽△BMA， ∴MP：MA＝AM：BM， ∴MP：6＝6：8， ∴MP＝4.5， ∴BP＝BM+PM＝8+4.5＝12.5； 当∠APC﹣∠PAC＝90°时，如图， ∵∠APC+∠PAC+∠C＝180°， ∴2∠PAC+∠C＝90°， ∵∠MAC+∠C＝90°， ∴∠MAC＝2∠PAC， ∴AP平分∠MAC， 过P作PN⊥AC于N， ∵PM⊥AM， ∴PM＝PN， ∵△AMP的面积+△ACP的面积＝△AMC的面积， ∴AM•PMAC•PNMC•AM， ∴（AM+AC）•PM＝MC•AM， ∴（6+10）×PM＝8×6， ∴PM＝3， ∴BP＝MB+PM＝8+3＝11， ∴BP的长为12.5或11． 故答案为：12.5或11． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D是边AC上一点，且，点P从点B出发沿射线BC向右运动．过点D作DE⊥AP于点E．当DE＝CD时，BP的长为 　5或11　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【解答】解：如图2，连接PD， ∵AC＝4，CD， ∴AD＝AC﹣CD＝4， ∵DE＝CD， ∴DE， 由勾股定理得：AE2， 在Rt△PDC和Rt△PDE中， ， ∴Rt△PDC≌Rt△PDE（HL）， ∴PE＝PC， 设PE＝PC＝x，则AP＝x+2， 在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，即（x+2）2＝42+x2， 解得：x＝3， ∴BP＝BC﹣PC＝8﹣3＝5， 如图2，当点P在BC延长线上时，BP＝8+3＝11， 故答案为：5或11． 三．解答题（共10小题） 17．计算： （1）； （2）； （3）． 【专题】二次根式；运算能力． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 （62） ． 18．在平面直角坐标系中，已知点P（m﹣2，m+1）． （1）当点P到y轴的距离为2时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣1，﹣3）时，求出点P的坐标． 【专题】平面直角坐标系；推理能力． 【解答】解：（1）由条件可知点P（m﹣2，m+1）到y轴距离为 2， |m﹣2|＝2， ∴m﹣2＝2 或 m﹣2＝﹣2． ①当m﹣2＝2时，m＝4． 横坐标：m﹣2＝2，纵坐标：m+1＝5， 此时P（2，5）． ②当m﹣2＝﹣2时，m＝0． 横坐标：m﹣2＝﹣2，纵坐标：m+1＝1． 此时P（﹣2，1）． 综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣2，1）． （2）∵PA∥x轴，A（﹣1，﹣3）， ∴点P的纵坐标等于﹣3， ∴m+1＝﹣3， ∴m＝﹣4，则m﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6， ∴点P的坐标为（﹣6，﹣3）． 19．如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为24cm2和18cm2的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 【解答】解：（1）由题意得，两个小正方形木板的边长分别为，， ∴原大正方形木板的边长为； （2）由题意，结合（1）得，原大正方形木板的面积为：（cm2）， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为：（cm2）． ∴剩余木板（阴影部分）的面积为． 20．已知2a﹣1的平方根是±3，25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根． （1）求2a+3b的平方根； （2）若m的整数部分是x，小数部分是y，求y﹣x的值． 【专题】实数；运算能力． 【解答】解：（1）2a﹣1的平方根是±3，25+b的立方根是3，m是a+b的算术平方根． ∴2a﹣1＝（±3）2＝9， 解得a＝5， ∴25+b＝33＝27， 解得b＝2， ∴2a+3b＝2×5+3×2＝16， ∵（±4）2＝16， ∴2a+3b的平方根是±4； （2）由（1）可得，a＝5，b＝2， ∵m是a+b的算术平方根， ∴m， ∵， ∴的整数部分x＝2，小数部分， ∴． 故答案为：． 21．如图1，点A，B，C的坐标分别是A（0，3），B（0，﹣3），C（4，0）． （1）如图1，过点O作OD⊥AC于点D，OD•AC的值为　12　 ； （2）如图2，点P为线段OB的延长线上的一动点，当点P在OB的延长线上向下运动时，作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，式子AC•（PM﹣PN）的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【专题】平面直角坐标系；推理能力． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°，OA＝OB＝3，OC＝4，AB＝3﹣（﹣3）＝6． ∵OD⊥AC， ∴， ∴OD•AC＝OA•OC＝3×4＝12． 故答案为：12； （2）不变， ∵OA＝OB＝3，∠AOC＝∠BOC＝90°，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（SAS）， ∴AC＝BC． 如图所示，连接PC， ∵PM⊥AC，PN⊥BC，AC＝BC， ∴AC•（PM﹣PN） ＝AC•PM﹣AC•PN ＝AC•PM﹣BC•PN ＝2（S△APC﹣S△BPC） ＝2S△ABC． ∴， ∴AC•（PM﹣PN）＝2S△ABC＝2×12＝24． 22．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线，若AB＝15，AC＝20，AD＝12． （1）求证：∠BAC是直角； （2）求AE的长度． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12， ∴BD9， 在Rt△ACD中，AC＝20， ∴CD16， ∴BC＝BD+CD＝25， ∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝252＝625， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠BAC是直角； （2）解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG， ∵△ABC的面积＝△ABE的面积+△AEC的面积， ∴AB•ACAB•EFAC•EG， 解得：EF＝EG， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE∠BAC＝45°， ∴AEEF． 23．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积． 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识． 【解答】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3， ∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25， 又∵AC＞0， ∴AC＝5， 又∵BC＝12，AB＝13， ∴AC2+BC2＝52+122＝169， 又∵AB2＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC5×123×4＝30﹣6＝24（m2）． 24．认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成下列任务． 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过固定的滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上（A、B、C可以视作三个点）； ②滑块B可在水平轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 （图1）物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离AC为8dm，到滑块B的水平距离BC为6dm． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度为　18　 dm； （2）若滑块B向左滑动到B'时，物体C上升到C'的位置，如图2．若CC'＝7dm，求滑块向左滑动的距离BB'的长度为多少dm？ 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【解答】解：（1）∵AC为8dm，BC为6dm，∠ACB＝90°， ∴AB10（dm）， ∴绳子的总长度为：AC+AB＝8+10＝18（dm）， 故答案为：18； （2）由（1）可知，绳子的总长度为18dm， ∴B'A+AC'＝18（dm）， ∵AC'＝AC﹣CC'＝8﹣7＝1（dm）， ∴AB′＝18﹣AC′＝17（dm）， ∵∠ACB'＝90° ∴（dm）， ∴BB′＝B′C﹣BC＝15﹣6＝9（dm）， 即滑块向左滑动的距离BB'的长度为9dm． 25．【应用举例】 观察3，4，5：5，12，13：7，24，25：… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4（9﹣1），弦5（9+1）； 当勾为5时，股12（25﹣1）弦13（25+1）； 当勾为7时，股24（49﹣1），弦25（49+1）． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝　（n2﹣1）　 ，弦＝　（n2+1）　 ； 【问题解决】 （2）如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明其正确性； （3）已知在（2）的条件下，a＝8，请判断以a，b，c为三边长的三角形的形状． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【解答】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股（n2﹣1），弦（n2+1）， 故答案为：（n2﹣1）；（n2+1）； （2）证明：a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1， 则a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1，c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1， ∴a2+b2＝c2， ∴正整数a、b、c为勾股数； （3）解：当a＝8时，2m＝8， 则m＝4， ∴b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17， ∵a2+b2＝82+152＝64+225＝289，c2＝172＝289， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形． 26．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2， 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是　　 ．　1　 ； （2）比较大小：　＞　 （填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）计算：； （4）若，求﹣2a2+12a﹣4的值． 【专题】二次根式；运算能力． 【解答】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ； 故答案为：，； （2）分别化简再比较大小如下： ， ； ∵， ∴ ∴； 故答案为：＞； （3）原式 ＝2； （4）， ∴（a﹣3）2＝7， ∴a2﹣6a＝﹣2 ∴原式＝﹣2×（a2﹣6a）﹣4 ＝﹣2×（﹣2）﹣4 ＝0． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $