2026-2027学年北师大版八年级数学上册 期中质量检测模拟试题

2026—2027学年度上学期期中质量检测 北师大版 八年级数学 考试范围：第一章至第三章　　考试时间：120 分钟　　满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 若 √(x－3) 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A. x＞3　　　　B. x≥3　　　　C. x≤3　　　　D. x≠3 2. 立方根等于它本身的数共有（　　） A. 0 个　　　　B. 1 个　　　　C. 3 个　　　　D. 无数个 3. 已知点 P(a，a－2) 在第四象限，则 a 的取值范围是（　　） A. a＞2　　　　B. a＜0　　　　C. 0＜a＜2　　　　D. －2＜a＜0 4. 在实数 3.14，√2，∛27，0.21 中，无理数的个数是（　　） A. 1 个　　　　B. 2 个　　　　C. 3 个　　　　D. 4 个 5. 直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长为（　　） A. 5　　　　B. 7　　　　C. 5 或 √7　　　　D. 无法确定 6. 已知点 M(2m－1，3) 与点 N(5，2n＋1) 关于 y 轴对称，则 m＋n 的值为（　　） A. 1　　　　B. －1　　　　C. 3　　　　D. －3 7. 下列各数中，比 3 大且比 4 小的无理数是（　　） A. √5　　　　B. √15　　　　C. √17　　　　D. ∛8 8. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AB＝13，BD＝5，CD＝9，则 AC 的长为（　　） 9. 如图，一个长方体包装盒的长、宽、高分别为 12 cm、5 cm、4 cm。现要用一根丝带沿盒子表面从顶点 A 包扎到与 A 相对的顶点 B（丝带紧贴盒面且不允许穿入盒内），则所需丝带的最短长度为（　　） A. 15 cm　　　　B. 16 cm　　　　C. √281 cm　　　　D. √305 cm 10. 对于平面直角坐标系中的任意一点 P(x，y)，定义它的“绝对坐标”为 |x|＋|y|。已知点 M(－3，m) 的绝对坐标为 5，则 m 的值为（　　） A. 2　　　　B. －2　　　　C. 2 或 －2　　　　D. 8 或 －8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 计算：|1－√2|＋√4＝＿＿＿＿。 12. 已知实数 x、y 满足 √(2x－1)＋√(1－2x)＋y＝3，则 x＋y＝＿＿＿＿。 13. 若点 M(a＋1，3－2a) 落在第二象限内，则 a 的取值范围是＿＿＿＿。 14. 已知 √5 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a²＋b 的值为＿＿＿＿。 15. 在平面直角坐标系中，点 A(1，2)、B(4，6)，则 A、B 两点之间的距离为＿＿＿＿。 16. 如图，在 4×3 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，四边形 ABCD 的顶点都在格点上，则四边形 ABCD 的面积为＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17.（6 分）计算： (1) |－4|＋√16－∛(－8) (2) (√5－√2)(√5＋√2)－(√2－1)² 18.（6 分）根据平方根与立方根的意义，求下列各式中的 x： (1) 4x²－36＝0 (2) 2(x＋1)³＝54 19.（8 分）如图，一架长 5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上，梯子底端 B 到墙根的距离为 3 m，梯子顶端 A 到地面的距离为 4 m。 (1) 请用勾股定理验证“梯长 5 m、底端距墙 3 m、顶端高 4 m”的数量关系； (2) 若梯子顶端 A 沿墙下滑 1 m 到达点 A′，底端 B 滑到点 B′，求梯子底端向外移动的距离 BB′。 20.（9 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(－2，3)、B(－4，1)、C(－1，1)，顺次连接 A、B、C 得到 △ABC。 (1) 求 △ABC 的面积； (2) 将 △ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到 △A₁B₁C₁，写出 A₁、B₁、C₁ 的坐标； (3) 说明 △A₁B₁C₁ 与 △ABC 的面积之间的关系。 21.（9 分）如图，工人师傅要检验一根横梁与一根立柱是否垂直，方法如下：点 A 是横梁与立柱的交点，在横梁上截取 AB＝30 cm，在立柱上截取 AC＝40 cm（点 B 在横梁上，点 C 在立柱上），然后测量 BC 的长度。 (1) 若测得 BC＝50 cm，判断横梁与立柱是否垂直，并说明理由； (2) 若测得 BC＝48 cm，判断横梁与立柱是否垂直，并说明理由。 22.（10 分）阅读材料： 当一个数的算术平方根不是整数时，可以用“夹逼法”估算它的大小。例如估算 √13：因为 9＜13＜16，所以 √9＜√13＜√16，即 3＜√13＜4，因此 √13 的整数部分是 3。 根据材料回答下列问题： (1) 仿照材料中的方法，直接写出 √22 的整数部分； (2) 已知 5＋√7 的整数部分为 a，5－√7 的整数部分为 b，求 a＋b 的值； (3) 已知 √10 的整数部分为 m，小数部分为 n，求 m²＋n 的值。 23.（12 分）如图，直线 l（即 x 轴）表示一条小河，牧马人从 A 地出发，要先到河边让马饮水，再到 B 地。在平面直角坐标系中，A(1，3)、B(5，1)。 (1) 在图中作出点 A 关于直线 l 的对称点 A′，并写出 A′ 的坐标； (2) 说明沿“A→河边点 P→B”的路径行走时，最短路程为线段 A′B 的长，并求出这个最短路程； (3) 设最短路径与直线 l 的交点为 P，求 △PAB 的周长。 24.（12 分）如图，在 6×5 的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A、B 在格点上。 (1) 求 AB 的长； (2) 在网格中找出所有的格点 C，使 △ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形（点 C 不与 A、B 重合）； (3) 求 (2) 中满足条件的所有 △ABC 面积的最大值与最小值。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】B 【详解】二次根式有意义，要求被开方数为非负数，即 x－3≥0，解得 x≥3。故选 B。易错提醒：被开方数等于 0 时 √0＝0 也有意义，所以不能漏掉“等于”。 2．【答案】C 【详解】设这个数为 x，则 ∛x＝x，即 x³＝x，逐一检验：0 的立方根是 0 ✔；1 的立方根是 1 ✔；－1 的立方根是 －1 ✔；2 的立方根不是 2 ✘；－2 的立方根不是 －2 ✘。所以立方根等于它本身的数是 0，±1，共 3 个。故选 C。 3．【答案】C 【详解】第四象限的点的横坐标为正、纵坐标为负，所以 a＞0 且 a－2＜0，即 0＜a＜2。故选 C。 4．【答案】A 【详解】无理数是无限不循环小数。3.14 是有限小数，是有理数；√2 是无限不循环小数，是无理数；∛27＝3，是有理数；0.21 是有限小数，是有理数。所以无理数只有 1 个。故选 A。 5．【答案】C 【详解】已知两边 3 和 4，但没有指明 4 是直角边还是斜边，要分类讨论：① 当 4 是斜边时，第三边＝√(4²－3²)＝√7；② 当 3 和 4 都是直角边时，第三边（斜边）＝√(3²＋4²)＝√25＝5。所以第三边长为 5 或 √7。故选 C。 6．【答案】B 【详解】关于 y 轴对称的两个点：横坐标互为相反数，纵坐标相等。所以 2m－1＝－5，解得 m＝－2；3＝2n＋1，解得 n＝1。所以 m＋n＝－2＋1＝－1。故选 B。 7．【答案】B 【详解】逐项估算：√5：4＜5＜9，所以 2＜√5＜3，不符合；√15：9＜15＜16，所以 3＜√15＜4，且 √15 是无限不循环小数（15 不是完全平方数），是符合题意的无理数 ✔；√17：16＜17＜25，所以 4＜√17＜5，不符合；∛8＝2，不符合。故选 B。 8．【答案】C 【详解】先在 Rt△ABD 中用勾股定理：AD＝√(AB²－BD²)＝√(13²－5²)＝√144＝12。再在 Rt△ACD 中：AC＝√(AD²＋CD²)＝√(12²＋9²)＝√(144＋81)＝√225＝15。故选 C。本题两次使用勾股定理：先求公共直角边 AD，再求 AC。 9．【答案】A 【详解】丝带必须贴着盒面走，因此要把它所在的两个面展成同一个平面，再用“两点之间线段最短＋勾股定理”求解。长方体从 A 到相对顶点 B 的展开共有三种方式：① 展开“底面＋后面”：长度＝√((12＋5)²＋4²)＝√(17²＋16)＝√305；② 展开“底面＋右侧面”：长度＝√((12＋4)²＋5²)＝√(16²＋25)＝√281；③ 展开“左侧面＋右侧面”：长度＝√((4＋5)²＋12²)＝√(9²＋12²)＝√225＝15。比较：√305≈17.5，√281≈16.8，15 最小，所以所需丝带的最短长度为 15 cm。故选 A。规律：三种展开中，把“最长的棱单独作一条直角边、另两条棱的和作另一条直角边”时得到最小值。 10．【答案】C 【详解】由“绝对坐标”的定义得 |－3|＋|m|＝5，即 3＋|m|＝5，所以 |m|＝2，解得 m＝2 或 m＝－2。故选 C。 二、填空题 11．【答案】√2＋1 【详解】因为 1＜√2，所以 |1－√2|＝√2－1；√4＝2。原式＝(√2－1)＋2＝√2＋1。易错提醒：1－√2＜0，去绝对值时要变号。 12．【答案】 【详解】√(2x－1) 与 √(1－2x) 都有意义，所以 2x－1≥0 且 1－2x≥0，即 2x≥1 且 2x≤1，于是 2x＝1，x＝。代入原式：0＋0＋y＝3，y＝3。所以 x＋y＝＋3＝。 13．【答案】a＜－1 【详解】第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，所以 a＋1＜0 且 3－2a＞0。由 a＋1＜0 得 a＜－1；由 3－2a＞0 得 2a＜3，即 a＜。两者取公共部分，得 a＜－1。注意：两个不等式同向时取“较小的那一边”，不要误写成“a＜－1 或 a＜”。 14．【答案】2＋√5 【详解】因为 4＜5＜9，所以 2＜√5＜3，整数部分 a＝2，小数部分 b＝√5－2（小数部分＝原数－整数部分）。所以 a²＋b＝4＋(√5－2)＝2＋√5。易错提醒：小数部分不是“去掉根号”，而是 √5－2。 15．【答案】5 【详解】A(1，2)、B(4，6)，水平方向相距 4－1＝3，竖直方向相距 6－2＝4。连接 AB，构造直角三角形（两直角边分别为 3 和 4），由勾股定理得 AB＝√(3²＋4²)＝√25＝5。 16．【答案】 【详解】方法：割补法。连接 BD，把四边形分成 △ABD 和 △BCD。S△ABD＝AD×AB÷2＝3×4÷2＝6（A(0，0)、D(0，3)、B(4，0)，是直角三角形）；S△BCD：以 BD 为底，BD＝√(4²＋3²)＝5，点 C(3，2) 到直线 BD 的距离为 h，由面积关系可得 S△BCD＝2.5（也可用包围矩形减去周围三个直角三角形验证）。所以四边形 ABCD 的面积＝6＋2.5＝。 三、解答题 17．【答案】(1) 10；(2) 2√2 【详解】(1) |－4|＝4，√16＝4，∛(－8)＝－2。原式＝4＋4－(－2)＝4＋4＋2＝10。注意减去一个负数等于加上它的相反数。 (2) 先用平方差公式： (√5－√2)(√5＋√2)＝(√5)²－(√2)²＝5－2＝3。再用完全平方公式： (√2－1)²＝(√2)²－2×√2×1＋1²＝2－2√2＋1＝3－2√2。所以原式＝3－(3－2√2)＝2√2。 18．【答案】(1) x＝3 或 x＝－3；(2) x＝2 【详解】(1) 移项得 4x²＝36，即 x²＝9。因为 (±3)²＝9，所以 x＝3 或 x＝－3。也可以先两边同除以 4 再开平方，注意不要漏负根。 (2) 两边同除以 2 得 (x＋1)³＝27。因为 3³＝27，所以 x＋1＝3，解得 x＝2。 19．【答案】(1) 验证见详解；(2) BB′＝1 m 【详解】(1) 设墙根为点 C，则 △ABC 中 ∠C＝90°，AC＝4 m，BC＝3 m。由勾股定理：AC²＋BC²＝4²＋3²＝16＋9＝25＝5²＝AB²。所以 AB＝5 m，与梯长一致，“3、4、5”是一组勾股数，数量关系成立。 (2) 下滑后顶端 A′ 到地面距离 A′C＝AC－AA′＝4－1＝3（m）。梯子长度不变，A′B′＝AB＝5 m。在 Rt△A′B′C 中，由勾股定理得 B′C＝√(A′B′²－A′C²)＝√(25－9)＝√16＝4（m）。所以梯子底端向外移动的距离 BB′＝B′C－BC＝4－3＝1（m）。 20．【答案】(1) 3；(2) A₁(2，1)，B₁(0，－1)，C₁(3，－1)；(3) 面积相等，均为 3 【详解】(1) B(－4，1)、C(－1，1)，BC 在直线 y＝1 上，BC＝(－1)－(－4)＝3。点 A(－2，3) 到直线 BC 的距离＝3－1＝2。所以 S△ABC＝BC×2÷2＝3×2÷2＝3。 (2) 向右平移 4 个单位：横坐标加 4；向下平移 2 个单位：纵坐标减 2。所以 A(－2，3)→A₁(2，1)，B(－4，1)→B₁(0，－1)，C(－1，1)→C₁(3，－1)。 (3) 平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以 △A₁B₁C₁ 与 △ABC 面积相等，均为 3。 21．【答案】(1) 垂直；(2) 不垂直 【详解】(1) 因为 AB＝30 cm，AC＝40 cm，BC＝50 cm，计算：AB²＋AC²＝30²＋40²＝900＋1600＝2500，而 BC²＝50²＝2500。所以 AB²＋AC²＝BC²。由勾股定理的逆定理知 ∠A＝90°，即横梁与立柱垂直。 (2) 若 BC＝48 cm，则 BC²＝48²＝2304。而 AB²＋AC²＝2500≠2304，即 AB²＋AC²≠BC²。由勾股定理的逆定理的逆用可知 ∠A≠90°，所以横梁与立柱不垂直。 22．【答案】(1) 4；(2) 9；(3) 6＋√10 【详解】(1) 因为 16＜22＜25，所以 √16＜√22＜√25，即 4＜√22＜5，所以 √22 的整数部分是 4。 (2) 因为 2＜√7＜3，所以各加 5：7＜5＋√7＜8，整数部分 a＝7；各取相反再移项：由 2＜√7＜3 得 －3＜－√7＜－2，各加 5：2＜5－√7＜3，整数部分 b＝2。所以 a＋b＝7＋2＝9。 (3) 因为 3＜√10＜4，所以 √10 的整数部分 m＝3，小数部分 n＝√10－3。所以 m²＋n＝9＋(√10－3)＝6＋√10。 23．【答案】(1) 图略，A′(1，－3)；(2) 最短路程为 4√2；(3) 4√2＋2√5 【详解】(1) 点 A(1，3) 关于 x 轴（直线 l）的对称点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以 A′ 的坐标为 (1，－3)。在图中描出 A′ 即可。 (2) 由轴对称的性质知 A 与 A′ 关于直线 l 对称，所以对河边任意一点 P，都有 AP＝A′P。于是路程 AP＋PB＝A′P＋PB。连接 A′B，由“两点之间线段最短”得 A′P＋PB≥A′B，当且仅当 P 是线段 A′B 与直线 l 的交点时取等号。所以最短路程就是线段 A′B 的长。A′(1，－3)、B(5，1)，由勾股定理得 A′B＝√((5－1)²＋(1＋3)²)＝√(16＋16)＝√32＝4√2。 (3) △PAB 的周长＝AP＋PB＋AB。由 (2) 知 AP＋PB＝A′B＝4√2。再由勾股定理求 AB：A(1，3)、B(5，1)，AB＝√((5－1)²＋(1－3)²)＝√(16＋4)＝√20＝2√5。所以 △PAB 的周长＝4√2＋2√5＝4√2＋2√5。 24．【答案】(1) 2√5；(2) 图略，共 6 个：网格坐标 (2，0)、(4，0)、(2，4)、(4，4)、(1，3)、(5，1)；(3) 最大值 5，最小值 3 【详解】(1) 点 A 到 B 水平相距 5－1＝4，竖直相距 3－1＝2。由勾股定理得 AB＝√(4²＋2²)＝√20＝2√5，即 AB²＝20。 (2) 以 AB 为斜边，则需要格点 C 满足 AC²＋BC²＝AB²＝20。在网格中逐一检验格点，可找到 6 个：(2，0)：AC²＝1²＋1²＝2，BC²＝3²＋3²＝18，2＋18＝20 ✔；(4，0)：AC²＝3²＋1²＝10，BC²＝1²＋3²＝10，和为 20 ✔；(2，4)：AC²＝1²＋3²＝10，BC²＝3²＋1²＝10 ✔；(4，4)：AC²＝3²＋3²＝18，BC²＝1²＋1²＝2 ✔；(1，3)：AC²＝2²＝4，BC²＝4²＝16 ✔；(5，1)：AC²＝4²＝16，BC²＝2²＝4 ✔。在图中把这 6 个点描出并各与 A、B 相连即可。 (3) 三类直角三角形的面积：① AC²＝2（网格坐标 (2，0)、(4，4)），此时 BC²＝18，面积＝√2×√18÷2＝√36÷2＝3；② AC²＝BC²＝10（网格坐标 (4，0)、(2，4)），面积＝√10×√10÷2＝5；③ AC²＝4（网格坐标 (1，3)、(5，1)），此时 BC²＝16，面积＝2×4÷2＝4。所以面积的最大值为 5，最小值为 3。 1 学科网（北京）股份有限公司 $