第十四章《全等三角形》期中复习2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章《全等三角形》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 图形的全等 题型8 添加条件使三角形全等（常考点） 题型2 全等三角形的概念 题型9 灵活选用判定方法证全等（常考点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型10 全等三角形综合问题（难点） 题型4 全等的性质和SSS综合（重点） 题型11 尺规作图（重点） 题型5 全等的性质和SAS综合（重点） 题型12 角平分线的性质定理（易错点） 题型6 全等的性质和ASA（AAS）综合（重点） 题型13 角平分线的判定定理（易错点） 题型7 全等的性质和HL综合（重点） 题型14 角平分线性质的实际应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 全等三角形的概念和性质 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【针对训练】 【典例】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1)5，3 (2)①；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【规范解答】（1）解：，，， ，， ； （2）解：① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 知识点02 全等三角形的判定 1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【针对训练】 【典例2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 知识点03 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 3. 角平分线的性质定理与判定定理的联系与区别 两个定理是将题设(已知)和结论互换，因此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据的定理是不同的.在具体运用这两个定理时，一定要分清楚各自的题设是什么、结论是什么，不要混淆. 【针对训练】 【典例3】如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高． （1）先利用为边上的高得到，再根据是的角平分线，得到，最后利用外角求； （2）先根据尺规作图作出图形，再根据角平分线得到，，最后根据求解即可； （3）作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，，，再证明，从而得到，接着证明得到，所以，得到． 【规范解答】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，在线段上作一点，使平分， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，连接交于点，过点作于点，于点， 平分，，， ， ∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 典例精析 题型一 图形的全等 【例1】下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 题型二 全等三角形的概念 【例2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 题型三 全等三角形的性质 【例3】如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型四 全等的性质和SSS综合 【例4】三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 题型五 全等的性质和SAS综合 【例5】如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（      ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】列代数式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段n等分点的有关计算、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】设运动时间为秒，点的运动速度为，则，，，根据三等分点求出，根据全等三角形的判定得出：当，时；当，时；能够使得与全等，分别列方程求解，即可求出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为， 则，，， 点是线段的三等分点（靠近处）， ， ， 要使与全等，则必须满足，或，， 分两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与全等， 故选：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，线段等分点的有关计算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例6】如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 全等的性质和HL综合 【例7】将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（2）中的结论不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）连接，根据全等三角形的性质可得，可证明，即可解答； （2）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可求证； （3）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 添加条件使三角形全等 【例8】如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 【详解】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 题型九 灵活选用判定方法证全等 【例9】下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定， 根据直角三角形全等的判定定理逐个解答即可． 【详解】解：因为两个锐角对应相等，没有边的参与，这两个三角形不全等，所以①不符合题意； 因为两条直角边对应相等，根据“边角边”可知这两个直角三角形全等，所以②符合题意； 因为斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可知这两个直角三角形全等，所以③符合题意； 因为一锐角和斜边对应相等，根据“角角边”可知这两个直角三角形全等，所以④符合题意； 因为一锐角和一直角边对应相等，根据“角角边或角边角”可知这两个直角三角形全等，所以⑤符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：B． 题型十 全等三角形综合问题 【例10】问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】探究延伸1：上述结论仍然成立，理由见详解 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由见详解 实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【知识点】与方向角有关的计算题、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的计算，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究延伸1：延长到，使，连接，证明，可得，，再证，得到，由，即可求解； 探究延伸2：方法同上，延长到，使，连接，先证明，再证，即可求解； 实际应用：方法同上，如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点，先证，再证，得到，由行程问题可得海里，海里，由此即可求解． 【详解】解：探究延伸1：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∵，延长到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 实际应用：如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，瓦良格号以海里/小时的速度前进，行驶时间为小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 题型十一 尺规作图 【例11】作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)； (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了利用割补法求一个图形的面积、作一个图形关于轴对称的图形、尺规作图． 过三角形的三个顶点、、构造正方形，利用正方形解决三角形的面积问题； 分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到，则与关于轴对称； 利用尺规作图做一个角的平分线作图即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点、、构造正方形， 正方形的边长为， ， 故答案为； 如下图所示， 分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、得到，则与关于轴对称； （2）解：如下图所示， 题型十二 角平分线的性质定理 【例12】如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 题型十三 角平分线的判定定理 【例13】如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握以上知识是解题的关键； 先过点D作，然后证明，得到，然后即可求解； 【详解】证明：过点D作，垂足为F，如图： ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线； 题型十四 角平分线性质的实际应用 【例14】如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 题型十五 一线三等角模型 【例15】阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【详解】（1）解：由题意知，依据为直角三角形的两个锐角互余，， 故答案为：直角三角形的两个锐角互余，； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴． （3）解：（或），（或）； 选择． 理由：， ∴． ∵， ∴． ∴． 选择． 理由：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 4．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 5．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 6．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 7．如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分， ， ． 9．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12.5 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 10．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 11．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“对顶角相等”判断A选项，再根据全等三角形的性质判断其余三项． 【详解】解：与交于点， 与是对顶角， ， 故A选项正确； ， 、、、， 故B、C选项正确，D选项错误． 12．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∵， ∴． 13．将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可证明，则，因此． 【详解】解：根据题意可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（   ） A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶16 【答案】A 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是2，3，4，所以面积之比就是2：3：4． 【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是三条角平分线的交点， ∴OE=OF=OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO =•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD =AB：BC：AC =2：3：4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等是解题的关键． 16．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 【答案】90 【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可． 【详解】解：取格点F，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理和线段的和差计算．根据角平分线的性质定理可得，继而根据线段的和差关系得到． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，且， ∴. 19．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 21．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 22．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图，    由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 24．如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理分别求出、、，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：，， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25．如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 【答案】 /93度 【分析】证明，得出，根据等边对等角求出，，根据角的和差关系求出，根据三角形外角的性质求出，即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 26．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 27．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）； （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章《全等三角形》 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1 图形的全等 题型8 添加条件使三角形全等（常考点） 题型2 全等三角形的概念 题型9 灵活选用判定方法证全等（常考点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型10 全等三角形综合问题（难点） 题型4 全等的性质和SSS综合（重点） 题型11 尺规作图（重点） 题型5 全等的性质和SAS综合（重点） 题型12 角平分线的性质定理（易错点） 题型6 全等的性质和ASA（AAS）综合（重点） 题型13 角平分线的判定定理（易错点） 题型7 全等的性质和HL综合（重点） 题型14 角平分线性质的实际应用 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 全等三角形的概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 【针对训练】 【典例1】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 知识点02 全等三角形的判定 1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【针对训练】 【典例2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 知识点03 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等. 3. 角平分线的性质定理与判定定理的联系与区别 两个定理是将题设(已知)和结论互换，因此在证明两个直角三角形全等时，应用的条件和所依据的定理是不同的.在具体运用这两个定理时，一定要分清楚各自的题设是什么、结论是什么，不要混淆. 【针对训练】 【典例3】如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 典例精析 题型一 图形的全等 【例1】下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念 【例2】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型三 全等三角形的性质 【例3】如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 题型四 全等的性质和SSS综合 【例4】三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 题型五 全等的性质和SAS综合 【例5】如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（      ）． A． B．或 C． D．或 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 【例6】如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型七 全等的性质和HL综合 【例7】将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 题型八 添加条件使三角形全等 【例8】如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 题型九 灵活选用判定方法证全等 【例9】下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 题型十 全等三角形综合问题 【例10】问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 题型十一 尺规作图 【例11】作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 题型十二 角平分线的性质定理 【例12】如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 题型十三 角平分线的判定定理 【例13】如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 题型十四 角平分线性质的实际应用 【例14】如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 题型十五 一线三等角模型 65.（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 4．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 6．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 7．如图，在的方格纸中，__________ ． 8．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 9．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 10．如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 11．如图，与交于点，，点，是对应点，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 12．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13．将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，且左边滑梯水平方向长度与右边滑梯高度相等．若右边滑梯与地面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（   ） A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶16 16．如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 17．如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度． 18．如图，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，，则的长为___________． 19．如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 20．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 22．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 23．如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 24．如图，、、三点在同一直线上，在中，，若，则 ___． 25．如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，若，，则______． 26．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 27．综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $