第十六章 轴对称和中心对称（单元自测）数学新教材冀教版八年级上册

第十六章 轴对称和中心对称 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解析】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选C 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，是解题的关键；根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【解析】A选项：既是轴对称图形又是中心对称图形； B选项：不是轴对称图形，是中心对称图形； C选项：既不是轴对称图形也不是中心对称图形； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选A． 3．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（ ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【解析】如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选C 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解析】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选C． 5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解析】A、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 6．下列说法正确的是（ ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．角平分线上的点到角两边距离相等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，角平分线的性质，对称轴的定义，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握相关定义、性质和判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的定义、角平分线的性质、对称轴的定义、等边三角形的判定逐项分析判断即可． 【解析】A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原说法不正确，故选项不符合题意； B．角平分线上的点到角两边距离相等，原说法正确，故选项符合题意； C．等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，原说法不正确，故选项不符合题意； D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原说法不正确，故选项不符合题意； 故选B． 7．下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 【答案】D 【解析】选项A，全等三角形仅表示两个三角形形状、大小完全相同，与位置无关，轴对称要求两个图形沿某条直线折叠后完全重合，对位置有要求，因此两个全等三角形不一定关于某条直线成轴对称，选项错误，不符合题意； 选项B分析：线段的对称轴有2条，分别是线段本身所在的直线、线段的垂直平分线，并非只有1条，选项错误，不符合题意； 选项C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的中线是线段，不符合对称轴的定义，应为等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，选项错误，不符合题意； 选项D，等边三角形的三条高（或三条角平分线、三条中线）所在的直线都是它的对称轴，共3条，选项正确，符合题意．故选D． 8．如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（ ） A． B．和关于直线成轴对称 C．直线是线段的垂直平分线 D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，轴对称的核心性质包括：对称轴垂直平分对应点连线、两侧图形全等、对应点到对称轴距离相等，以及对称轴上的点位置不变．根据轴对称的性质可直接得出答案． 【解析】A、直线与不一定平行，该选项符合题意； B、和关于直线成轴对称，该选项不符合题意； C、直线是线段的垂直平分线，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选A． 9．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（ ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查利用轴对称来设计轴对称图形，直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解析】符合题意的三角形如图所示：    满足要求的图形有5个 故选A． 10．下列各组图案中，右边的图形与左边的图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解析】选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B的图形能找到这样的一条直线（如图所示），使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选B． 11．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，三角形的内角和，全等三角形的性质，角平分线，掌握知识点是解题的关键． 由翻折得到，推导出，继而求出，则，即可解答． 【解析】∵分别沿向外翻折至， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选B． 12．如图，把沿线段折叠，使点落在点处．若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用等腰三角形求出底角，结合平行线性质得到相关角相等，再由折叠性质得到对应角相等，最后通过平角计算出的度数； 先根据等腰三角形内角和求出和的度数，再由得到，然后利用折叠性质得到，最后根据平角为计算的度数． 【解析】∵，， ∴． ∵， ∴． 由折叠的性质可知，， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【解析】没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 14．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【解析】若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为，，，，． 15．如图，在中，，，，动点在边上运动，连接，将沿向上折叠，得到，其中点落在点处，交于点，当是直角三角形时，的长是________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含30度角的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． 由折叠的性质得：，，然后分两种情况：，，即可求解． 【解析】由折叠的性质得：，， 如图1，为直角三角形，且， ，，， ， ， ∴， ∴为等边三角形， ， ， ； 如图2，为直角三角形，且，则， ， ∴， ∴， ， ∵， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长度为或．故答案为或． 16．如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． （1）甲折出的是的________． （2）乙折出的是的________． （3）丙折出的是的________． 【答案】 高 角平分线 中线 【分析】（1）（2）（3）根据折叠得到的垂直、等角、等线段条件，结合三角形高、角平分线、中线的定义填空． 【解析】（1）甲图中，折叠后，根据三角形高的定义，可知是 的高； （2）乙图中，折叠后，根据三角形角平分线的定义，可知是 的角平分线； （3）丙图中，折叠后，根据三角形中线的定义，可知是的中线．故答案为高 角平分线 中线． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． （1）折痕a是的________；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，，求的度数． 【答案】（1）高 （2） 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，即，即可求解； （2）先根据三角形外角的性质求出，根据折叠可知，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【解析】（1）解：由折叠可知， ， 折痕a是的高． （2）解：，， ， 由折叠可知， ， ． 18．（8分）在中，． （1）如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； （2）如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； （3）如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2） （3） 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【解析】（1）略 （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（8分）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、多边形的内角和公式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据轴对称图形的性质可求得、的度数，然后用五边形的内角和减去、、、的度数即可． 【解析】直线是多边形的对称轴， ，， ． 20．（8分）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． （1）要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． （2）拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 【答案】（1）如图： （2）如图： 【分析】本题考查了轴对称的性质、线路最短的问题等知识；熟练掌握轴对称的性质，确定点P、Q的位置是解题的关键． （1）作点A关于直线x的对称点，连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）过A作关于x轴的对称点，过B作关于y轴的对称点，连接，交x轴于点P，交y轴于点Q，即可得出答案． 【解析】（1）解：①作点A关于直线x的对称点 ②连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）解：①分别作点B关于直线y的对称点，点A关于直线x的对称点； ②连接交直线x于点P，交直线y于点Q； ③连接、，则四边形就是所求的四边形． 21．（9分）如图1，在中，，P是边上的一点，，是点P关于，的对称点，连接，分别交，于点D， （1）请直接写出与的数量关系； （2）如图2，在中，若，用三角板作出点P关于，的对称点，，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点，与点A是否在同一直线上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：点与点A在同一条直线上． 理由如下：连接． 根据轴对称的性质，可得， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴点与点A在同一条直线上． 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．熟练掌握相关定理和轴对称的性质是解题的关键． （1）①由轴对称的性质可得：，由三角形外角的性质以及三角形内角和为得到，进而可得出，进而可得出． （2）连接．根据轴对称的性质，可得：，由，得到，即有，从而得到结论． 【解析】（1）解：，是点P关于，的对称点， ，， ，， ，， （2）略 22．（9分）如图，是内的一点，分别画出关于，的对称点、，连接、交于，交于，若，则的周长为多少？ 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到相等的线段，即可求得的周长． 【解析】根据轴对称的性质，得，， 的周长为：． ∴的周长为． 23．（11分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； （2）在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 【答案】（1） 解：如图，四边形即为所求作的； （2） 解：如图，四边形即为所求作的； （3） 解：如图，四边形即为所求作的； 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （3）根据矩形的判定与性质以及题目要求作出图形即可． 【解析】（1），， 四边形是以为边的平行四边形， 四边形只是中心对称图形，且四边形的面积为， 故满足要求； （2）， 四边形是菱形，， ，即， ， 四边形是正方形， 四边形是以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）由图可知，，，， 四边形是平行四边形，，即， ， 四边形是矩形， 即四边形是以为对角线的矩形，且使得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形的对称性，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各图形的性质与特征． 24．（12分）在中，，直线l过点C．               （1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； （2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①________；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ________；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 【答案】（1）； （2）①；②；③当与全等时，或5或． 【分析】（1）利用垂直与三角形内角和定理，得到，，利用“”证明，得到，，即可求出的长； （2）①利用，即可求出的长； ②利用对称性，得到，再根据，即可求出的长； ③根据三角形全等，得到，分四种情况讨论：点在上；点在上；点在上；点在上，分别表示出的长，再根据对应边相等即可求出值． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ； （2）解：①由题意得：， , ， 故答案为； ②由题意得：， 点与点关于直线对称， ， ， 故答案为； ③当与全等时，和是对应边， ， 当点在时，， 即， 解得，不符合题意； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：； 当点在时，， 即， 解得：， 综上所述，当与全等时，或5或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对称的性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 轴对称和中心对称 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．   B．   C．   D．   3．如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（ ） A．M B．N C．P D．Q 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（ ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．角平分线上的点到角两边距离相等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．有一个角是的三角形是等边三角形 7．下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称 B．线段的对称轴只有一条 C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D．等边三角形有三条对称轴 8．如图，线段与关于直线对称，交直线于点，连接，，下列说法不正确的是（ ） A． B．和关于直线成轴对称 C．直线是线段的垂直平分线 D． 9．如图，在2×2的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，是一个格点三角形，图中与成轴对称的格点三角形共有（ ）    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．下列各组图案中，右边的图形与左边的图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，则的度数为（ ）    A． B． C． D． 12．如图，把沿线段折叠，使点落在点处．若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 14．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 15．如图，在中，，，，动点在边上运动，连接，将沿向上折叠，得到，其中点落在点处，交于点，当是直角三角形时，的长是________． 16．如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． （1）甲折出的是的________． （2）乙折出的是的________． （3）丙折出的是的________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕a． （1）折痕a是的________；（填“角平分线”“中线”或“高”） （2）若，，求的度数． 18．（8分）在中，． （1）如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； （2）如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； （3）如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 19．（8分）如图，直线m是多边形的对称轴，其中，．求的度数． 20．（8分）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． （1）要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． （2）拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 21．（9分）如图1，在中，，P是边上的一点，，是点P关于，的对称点，连接，分别交，于点D， （1）请直接写出与的数量关系； （2）如图2，在中，若，用三角板作出点P关于，的对称点，，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点，与点A是否在同一直线上，并说明理由． 22．（9分）如图，是内的一点，分别画出关于，的对称点、，连接、交于，交于，若，则的周长为多少？ 23．（11分）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； （2）在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 24．（12分）在中，，直线l过点C．               （1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E，，，求的长； （2）当，时，如图2，点B与点F关于直线对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为秒． ①________；（用含t的代数式表示） ②当N在路径上时， ________；（用含的代数式表示） ③直接写出当与全等时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $