第3章 图形的平移与旋转（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第3章 图形的平移与旋转（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 7．（19-20九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·湖南张家界·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形，，，将其中一块三角板绕着点按顺时针方向旋转（）得到．若，则= ． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 16．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 17．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．在中，，，点的坐标为，点的坐标为． （1）若为直线上的一点，当时，的取值范围是 ． （2）将沿轴向左平移，平移距离为．当与直线有交点时，的取值范围为 ． 18．（2023·安徽滁州·二模）如图，在中，，，点M是上的一点，过点M作交于点N，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接，． （1）若，则 ． （2）若，点M是的中点，且点A，D，E在一条直线上，则的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到点Q，点Q在直线上． （1）求p的值和点Q的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点D在边上，连接． （1）若，则_____________度； （2）求证：． 21．（本小题满分10分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：如图，中，，．在直线的下方，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）沿直线平移线段至，连接，若直线，求的度数． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点A沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知是等边三角形，点P是平面内一动点． （1）如图1，若点P是等边三角形内的一点，，，．若是外的一点，且，求点P与点之间的距离及的度数． （2）如图2，若点P在等边三角形外部，当，，时，求的面积． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江西南昌·期末）课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 图形的平移与旋转（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 解：．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·河北邢台·模拟预测）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 解：将绕点顺时针旋转得到， 则点与点是对应点，点与点是对应点， 则， ． 但不一定等于． 故选C． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故选：C． 4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 5．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键． 将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得． 解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： ，，， ∴ ∴ ∵平移至处，． ∴ ∴ ∴ 故选：C． 6．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，在等边中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转后得到，连接，那么线段的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可得，由线段中点的定义可得，由三线合一可得，则，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，，由此可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，于是得解． 解：是等边三角形， ， 又是的中点， ，， ， ， 将线段绕点逆时针旋转后得到， ，， 是等边三角形， ， 故选：． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三线合一，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 7．（19-20九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 8．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，先根据旋转的性质得出，，然后根据等边三角形的判定与性质得出，，则，，最后根据三线合一的性质求解即可． 解：∵线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 故选：D． 9．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 10．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及坐标与图形变化﹣平移，根据题意得出，当点A在直线上时，n取得最小值，当点C在直线上时，n取得最大值，据此可解决问题． 解：由题知，将代入得，， 所以点N的坐标为， 将代入得，， 所以点M的坐标为， 因为点P为的中点， 所以点P的坐标为， 将点N和点P的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为， 根据所给平移方式可知，平移后各点坐标为，，， 当点A在直线上时，n取得最小值，此时将代入得， ， 解得； 当点C在直线上时，n取得最大值，将代入得， ， 解得， 所以n的取值范围是：． 故选：B． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·湖南张家界·一模）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再将点向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，利用关于轴对称的点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出的坐标，再直接利用平移的性质得出答案．正确掌握坐标变换的性质是解题关键． 解：作点关于轴的对称点， 的坐标为， 将点向右平移3个单位得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为4，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，再证明，于是可得，，从而求出点的坐标． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是由两块完全相同的三角板组成的等腰三角形，，，将其中一块三角板绕着点按顺时针方向旋转（）得到．若，则= ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，图形的旋转．根据题意得，推出再分两种情况讨论即可． 解：根据题意得，，，， ，， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 当在右侧时，， 当在左侧时，． 故答案为：或． 14．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 解：当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：或或． 15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点在点的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键． 解：当点在点的左侧时，如图所示， 由平移可知，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，如图所示， 同理可得，，， 由平移可知，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或， 故答案为：或 ． 16．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 【答案】逆时针旋转（答案不唯一） 【分析】本题考查了旋转和翻折的性质； 画出图形，根据求出，根据旋转和翻折的性质可得，求出，然后可得旋转的方向和角度． 解：如图，∵，， ∴， 由旋转和翻折得：， ∴， ∴旋转方向和旋转角度数可以是逆时针旋转， 故答案为：逆时针旋转（答案不唯一）． 17．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．在中，，，点的坐标为，点的坐标为． （1）若为直线上的一点，当时，的取值范围是 ． （2）将沿轴向左平移，平移距离为．当与直线有交点时，的取值范围为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意并结合勾股定理可求出点，再求出，根据当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最小，当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最大，即可求解． 解：（1）为直线上的一点， ， 当时，， 解得：， 故答案为：； （2）点的坐标为，点的坐标为， ， ，， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， 当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最小，的最小值为， 在中，令，则， 解得：， 当点平移到点时，与直线有交点，此时平移距离为最大，的最大值为， 的取值范围为， 故答案为：． 18．（2023·安徽滁州·二模）如图，在中，，，点M是上的一点，过点M作交于点N，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接，． （1）若，则 ． （2）若，点M是的中点，且点A，D，E在一条直线上，则的长是 ． 【答案】 / 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质可证是等腰直角三角形，即，从而可证，即可求出结果； （2）由（1）可得，，可得，再由点A，D，E在一条直线上，可得，根据，可得，从而求得，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理即可求得结果． 解：∵，， ∴， ∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可得，， ∴， ∵点A，D，E在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：或（舍）， 故答案为：． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24八年级上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到点Q，点Q在直线上． （1）求p的值和点Q的坐标； （2）若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了坐标与图形变化﹣平移，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）先求得Q的坐标，代入即可求得p的值； （2）分别求出一次函数的图象过点P、点Q时m的值，再结合函数图象即可求出m的取值范围． 解：（1）解：∵点向右平移3个单位长度，得到点Q， ∴点， 又∵点在直线上， ， ， ． （2）解：当一次函数的图象过点时，， 当一次函数的图象过点时，， 如图，若一次函数与线段有公共点，则m的取值范围是． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点D在边上，连接． （1）若，则_____________度； （2）求证：． 【答案】（1）65；（2）证明见分析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）利用旋转的性质和三角形内角和定理即可证明． 解：（1）解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：由旋转得，， ， 由旋转得，， ， ．                            ， ， ． 21．（本小题满分10分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知：如图，中，，．在直线的下方，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）沿直线平移线段至，连接，若直线，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】（）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，进而由平行线的判定即可求证； （）根据图形平移的性质得出的度数，即可得的度数，由，直线可得，得，即可得的度数，最后由三角形内角和定理即可求解； 本题考查了平移的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 解：（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：沿直线平移线段至， ∴， ∴， ∴， ∵，直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，将三角形平移，使点沿的延长线移至点得到三角形，连接，交于点，平分． （1）猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，将三角形平移，使点A沿移至点得到三角形．如果平分，那么平分吗？为什么？ 【答案】（1），理由见分析；（2）平分，理由见分析 【分析】本题主要考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握并根据平移的性质得出对应角、对应边之间的关系是解题的关键． （1）由平移的性质，得，，根据角平分线，可知进而得出，进而得出答案； （2）由平移的性质，得，，从而知道，根据角平分线，可知，进而得出，即平分． 解：（1）解：．理由如下： 平分 ∴ 由平移的性质，得， ∴ （2）解：平分．理由如下： 由平移的性质，得， ∴ 平分 ∴，即平分 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）已知是等边三角形，点P是平面内一动点． （1）如图1，若点P是等边三角形内的一点，，，．若是外的一点，且，求点P与点之间的距离及的度数． （2）如图2，若点P在等边三角形外部，当，，时，求的面积． 【答案】（1）点P与点之间的距离为6；；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）连接，证明是等边三角形，得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）把绕点逆时针旋转至，连接，过点作于点，先证明是等边三角形，再证明点三点共线，在中，求出高即可． 解：（1）解：连接，如图所示：   是等边三角形内的一点， ， ， ， ，即， 是等边三角形， ，， 在中， ， ； （2）解：在等边中，， 把绕点逆时针旋转至，连接，过点作于点，   ， ，，， ， 即， 是等边三角形， ， ， 点三点共线， 在中，， ， ． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·江西南昌·期末）课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 【答案】（1），理由见分析；（2）①；②；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到，进而根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）①证明得到； ②根据得到，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 解：（1），理由如下， 和都是等边三角形， ， ，即． 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， 故答案为：． ② ， ， ， 故答案为：． （3）， 是等边三角形， ， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$