第十二章 三角形（单元测试）2026-2027学年数学新教材北京版八年级上册

第十二章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【解析】由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选D． 2．如果的三边长分别为5，7，m，那么m的值可能是（ ） A．2 B．5 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出m的取值范围即可得到答案． 【解析】∵的三边长分别为5，7，m， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意， 故选B． 3．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形两底角相等． 由于等腰三角形的一个内角为，但未明确是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：若是顶角，则顶角为；若是底角，再由三角形内角和定理求解顶角度数即可． 【解析】∵等腰三角形的一个内角为， ∴ 分两种情况： ① 若为顶角，则顶角度数为； ② 若为底角，则另一个底角也为， ∴ 顶角度数为：， ∴ 顶角为或， 故选A． 4．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 先根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为，判断内角为顶角，再计算底角的度数． 【解析】等腰三角形的两个底角相等． 当等腰三角形的底角为时，，这与三角形内角和为矛盾，故舍去； 当等腰三角形的顶角为时，底角为． 故选B． 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中线、角平分线、高的定义，解答即可． 【解析】，，分别是的中线、角平分线、高， ，，，，，不成立， 故ABC正确；D错误.故选D． 6．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【解析】∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选C 7．如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（ ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握等腰直角三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据作图得到以及垂直平分，从而推出，，；再结合等腰直角的性质得到，进而判断为等腰直角三角形，求出的长度；最后设，利用等腰直角三角形的边长关系建立方程，求解得到的长． 【解析】∵作图可知，，垂直平分， ∴，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 设， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，解得， ∴， 故选A． 8．如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可． 【解析】∵， ∴即， ∵，， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴，故选项B不符合题意； 添加，无法得出，故选项C符合题意； ∵，， ∴，故选项D不符合题意． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，是的中线，若的面积是5，则的面积为________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的中线．根据是的中线，可得，即可求解． 【解析】∵是的中线，的面积为5， ∴， ∴， ∴， 故答案为10． 10．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 【答案】19 【分析】对等腰三角形的腰长分两种情况讨论，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【解析】分两种情况进行讨论：若为腰长，为底边长， 此时三边长为，，，，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； 若为腰长，为底边长，此时三边长为，，，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴周长为．故答案为19． 11．在中，，，则________． 【答案】（或60度） 【分析】已知直角三角形的直角和两个锐角的度数比，利用三角形内角和定理计算即可得到的度数． 【解析】∵在中，， ∴， ∵， ∴．故答案为（或60度）． 12．已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握其定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据三角形三边数量关系，等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边的长，由此即可求解． 【解析】等腰三角形的两边长为和， 当腰长是5时，，符合题意， 此时周长为：； 当腰长是9时，，符合题意， 此时周长为； ∴该三角形的周长为或， 故答案为或 ． 13．如图，点D在上，E为的中点，，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题需要利用中点的性质，通过证明三角形全等得到线段相等关系，进而求出的长度． 【解析】∵为的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 故答案为2． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质以及中点的性质，掌握三角形全等的判定定理，全等三角形的对应边相等，中点将线段分成相等的两部分是解题的关键． 14．如图，在中，，于点，于点，和交于点，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】首先得到是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理求出，然后证明，得到，连接，然后利用等面积法求解即可． 【解析】∵，， ∴， ∵于点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴．故答案为$\frac{3}{5}$ ## $0.6$． 15．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为________； 【答案】（或5米） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【解析】如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边， 由题意得，，， 在中，， 即它所走的最短路线长度为， 故答案为． 16．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为________°． 【答案】31 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【解析】连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故答案为31． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【解析】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18．（5分）将如图所示的小平行四边形的边三等分，分点为，过作的平行线，交于点，得多边形，请用四个这样的小多边形，拼成一个形状相同的大多边形． 【答案】如图所示： 【解析】试题分析：根据所分图形的特征，分析图形即可得到结果，要注意多尝试． 如图所示： 考点：本题考查的是作图—应用与设计作图 点评：解答此类问题时，首先要分析图形的特征，再多尝试画图． 19．（6分）如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （________⑤________） 【答案】①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，逐步分析解答即可． 【解析】证明：∵， ． ， ，即． 在和中， ； ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为①，②，③，④，⑤内错角相等，两直线平行． 20．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点． （1）在图中，以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使它的斜边长为； （2）（1）中所画等腰直角三角形的面积为________． 【答案】（1）如下图，即为所求； （2） 【分析】（1）在正方形网格中作直角边为5的等腰直角三角形，结合勾股定理，即可获得答案； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：图略， 由图可知，，且， ∴斜边，故作图符合要求； （2）∵，且， ∴该等腰直角三角形的面积． 21．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． （1）应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； （2）延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 【答案】（1） ， 理由：如图： 构造，由勾股定理得： ， ， ， 在中：， ， （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质，对称的性质以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键． （1）画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． （2）取点关于的对称点，连接，利用勾股定理可知，根据图片可知，，是等腰直角三角形，由对称的性质可知，利用等量代换，可得，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：如图： 取点关于的对称点，连接，， 由对称的性质可知：， 由图可知：, 则， ， 是等腰直角三角形， , , ， 即：． 22．（8分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）相等．理由见解析 （2）相等．理由见解析 （3）相等．理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质得到对应边相等，推导夹角相等，通过证明三角形全等证线段相等； （2）根据等边三角形性质找出相等边，结合三点共线推导等角，借助证明全等； （3）由等边三角形边角特性，等式变形推导夹角相等，利用证明三角形全等． 【解析】（1）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． （2）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． ∵点为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧， ∴点，，这三点共线， ∴， 在和中： ∴， ∴． （3）解：相等． 理由如下：∵，是等边三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 在和中： ∴， ∴． 23．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为第二象限内一点，且，，满足． （1）求点的坐标； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，轴于点，交的延长线于点， ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)， （2）①； ②证明：如图，连接， 由①中的结论得，， 又，， ， ，， 轴， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定和性质、因式分解等知识，熟练掌握以上知识点，学会添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． （1）利用因式分解的方法将变形为，求出的值，即可得出点的坐标； （2）①结合图形和可得，得出平分，即可求出的度数；②连接，先证明得到，，进而得到，再证明，得出，利用线段和差即可得出结论． 【解析】（1）解：， ， ，， ，， （3），． （2）①解：， ， ， 平分， 又， ； ②略 24．（8分）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 【答案】 如图点即为所求： 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，圆的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，即可解答． 【解析】分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点，即为所求； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； 当时，作线段的垂直平分线，则点，即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为5个． 25．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【解析】（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 26．（10分）[概念认识]如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    （1）[问题解决]如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则________． （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． （3）[延伸推广]在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，并且．直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 【答案】（1）或； （2）； （3）或或或． 【分析】（1）分两种情况讨论，结合三角形外角的性质，分别求解即可； （2）根据题意，求得，即可求解； （3）根据“三分线”的定义，分四种情况，分别画图求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴ 当是“邻三分线”时，， ； 当是“邻三分线”时，， ； 故答案为或； （2）∵、分别是邻三分线和邻三分线 ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴； （3）分4种情况进行画图计算： 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，   ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，   ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，   ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 如下图，当和分别是邻三分线、邻三分线时，且   ， ∴ ∵ ∴ ∴ ； 即； 综上，或或或． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形外角性质，注意分情况讨论． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2．如果的三边长分别为5，7，m，那么m的值可能是（ ） A．2 B．5 C．12 D．15 3．等腰三角形的一个内角是，则它的顶角的度数为（ ） A．或 B． C． D．或 4．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（ ）． A． B． C． D． 5．如图，，，分别是的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 7．如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（ ）      A． B． C． D． 8．如图，，，要使，则以下条件错误的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，是的中线，若的面积是5，则的面积为________． 10．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 11．在中，，，则________． 12．已知等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为________． 13．如图，点D在上，E为的中点，，则的长为________． 14．如图，在中，，于点，于点，和交于点，若，，则的长为________． 15．如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为，和，A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为________； 16．如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为________°． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）如图，在中，，，平分交于D，交于E，求和的度数． 18．（5分）将如图所示的小平行四边形的边三等分，分点为，过作的平行线，交于点，得多边形，请用四个这样的小多边形，拼成一个形状相同的大多边形． 19．（6分）如图，，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵， ① ． ， ② ，即． 在和中， （ ④ ）； ． （________⑤________） 20．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点． （1）在图中，以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使它的斜边长为； （2）（1）中所画等腰直角三角形的面积为________． 21．（6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C，D都在格点上． 问题：比较与的大小； 如图1，在正方形网格中构造△ABC，可以比较与的大小， 其理由如下：在中，， 根据勾股定理，得，． ∵，∴． （1）应用：请参考上述方法，在图2中构造图形，比较+与的大小，并说明理由； （2）延伸：请在图3中构造图形，求的度数．（直接写出答案，不必说明理由）． 22．（8分）解决下列问题． （1）如图①，为线段上一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． （2）如图②，为线段上一点，等边三角形和等边三角形在的异侧，此时与相等吗？请说明理由． （3）如图③，为线段外一点，，是等边三角形，与相等吗？请说明理由． 23．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为第二象限内一点，且，，满足． （1）求点的坐标； （2）如图2，若点在轴的正半轴上，且满足，轴于点，交的延长线于点， ①求的度数； ②求证：． 24．（8分）如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，在图中标出所有符合条件的点． 25．（10分）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 26．（10分）[概念认识]如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．    （1）[问题解决]如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则________． （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数． （3）[延伸推广]在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，并且．直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $