第十二章 三角形（单元测试提升卷） 2026-2027学年北京版八年级数学上册

第十二章 三角形（单元测试提升卷）数学北京版 2026-2027学年八年级上册 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意； D、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 3．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 4．如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由勾股定理得到的长，然后由作图步骤可知，再结合数轴即可得解． 【详解】解：，， ， 由作图步骤可知，， 点表示的数为． 5．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点． （4）连接，则即为所求． 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角，根据作图过程，利用可证明． 【详解】解：根据作图过程，得，，， ， 故选：C． 6．已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角和、含角直角三角形的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识；过点B作，交延长线于点E，根据三角形外角和等腰直角三角形的性质，得，再根据含角直角三角形、勾股定理的性质列方程计算得，再通过勾股定理计算即可得到答案． 【详解】如图，过点B作，交延长线于点E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ 设 ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 7．如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 8．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． ①根据角平分线的性质即可对结论①进行判断；②如图：过点D作于点H，根据角平分线性质得，，则，由此可对结论②进行判断； ③根据角平分线的性质得到，根据得到；④证明和全等得，同理证明和全等得，由此得，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①平分，，， ，故结论①正确； ②如图：过点D作于点H， 平分，，， ， 又， ， 点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③由②可知， 在与中， ， ，故③正确； ④在和中， ， ， ， 同理证明：， ， ，即，故结论④正确， 故选：D． 二、填空题（每题 2分，共14分） 9．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据作图得到，进而得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴； 故答案为： 10．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据题中条件证明，可得． 【详解】解：由题知，，， ， 又点E、C、A在同一直线上， ， 又， ， ， A，B两点的距离是． 故答案为：． 11．如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形性质、勾股定理及坐标与图形，先求出等边三角形边长，以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H，求出，，进而求出结论． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 以点B为坐标原点，所在直线为横轴建立坐标系，作轴于点H， ， ， 设， ， ， ∴， ， 解得：， ∴， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点落在点处．若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为______． 【答案】6或8 【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题．先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 当，点在上，点在上，如图所示： 此时， ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 和重合，和重合，（不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或， 故答案为：6或8. 14．如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值______． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 过点E作交延长线于点G，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作交延长线于点G ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 15．如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，根据可证明，得，，再证明是等边三角形，得，再由，，，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（共70分） 16．若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求代数式的值，等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 对于（1），先根据二次根式的性质求出c，再根据绝对值和二次根式的非负性求出a,b,然后求出代数式的值； 对于（2），根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； （2）解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 17．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） (1)画出格点关于直线的对称的； (2)的面积为_______； (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) (3) 如图所示，点即为所求． 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及最短路线求法，求解网格三角形的面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）从三角形各顶点向引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接． （2）利用割补法求解三角形面积即可． （3）利用轴对称图形的性质可作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为： ． （3）略 18．如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵点是底边的中点， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由等边对等角可得，再证明即可求证； （）由得，再证明为等边三角形的，根据等边三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是底边的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形的， ∴的周长． 19．下面是小刚同学设计“作一个角的平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使平分． 作法：①在的边上任取一点，并过点作的垂线（如图2）； ②在边上截取； ③过点作的垂线与直线交于点； ④作射线． 则平分． 根据上述作图过程，回答问题： (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：， ． 在和中， （___________）（填推理依据）． ． 即平分． 【答案】(1) 如图所示： (2)（或） ；． 【分析】本题主要考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作圆弧，交于，再以为圆心，为半径作圆弧，交于，再分别以为圆心，相同半径作圆弧即可作出垂线，交于点，连接即可； （2）根据全等三角形的判定补充证明即可． 【详解】（1）略 （2）证明：， ． 在和中， ， ， ， 即平分． 故答案为：（或） ；． 20．在中，，，E为直线上一点，D为直线上一点，且． （1）当点D在线段上时，如图①，易证：（不需证明）； （2）当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并证明图②． 【答案】 如图②中，结论：． 如图③中，结论：． 证明如图②中，结论：． 作交于M， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变． 图②中，结论：，作交BC于M，先证明是等边三角形得，再证明，得由此可以对称结论．图③中，结论：，证明方法类似． 【详解】略 21．如图，在中，，是，平分线的交点． (1) ； (2)若是两条外角平分线的交点，则         ； (3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ，理由如下： ∵是的平分线， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案． （2）根据三角形的外角的性质可求得的值，根据角平分线的定义可求得，据此即可求得答案． （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质可求得，结合即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （2）∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （3）略 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的外角的性质（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和）是解题的关键． 22．如图，在四边形中，是的中点，垂直平分交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分交于点， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； (2) 【分析】（1）易得是的中位线，则，结合，即可得出结论； （2）根据三角形的中位线定理，平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵垂直平分交于点，， ∴． 23．如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点．    (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (3)当的度数为或时，是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （）根据求解即可； （）先求，，从而得出，再由，，得，又由，即可由证明，从而得出结论； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 24．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示） (2)如图①当t为多少时，的面积等于； (3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)点的运动速度为或或或 【分析】（1）根据点P的运动速度求出，即可； （2）分两种情况：当点P在上时，当点P在上时，分别画出图形，根据三角形面积公式，列出方程，求出结果即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当P运动在边上时，；当P运动在边上时，． （2）解：当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 当点P在上时，如图所示： ， 解得：； 综上分析可知：当或时，的面积等于； （3）解：设点的运动速度为， ∵点在边上，点在边上， ∴ ∴， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ④当点在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得：； ∴点的运动速度为或或或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，勾股定理，列代数式，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． 25．在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明；若不全等，请说明你的理由； (3)若等边的边长为6，，求的长（用含m的式子表示）． 【答案】(1) 证明：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴ ∴， 则； (2)与是否始终保持全等， 证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (3)或或 【分析】（1）先根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得，，再根据已知得到垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质求得，进而可得结论； （2）由可得，得出，，得出，，由得，可知，再证明，进而再利用证明，可得结论； （3）分当点D在线段上移动时、当点D在线段的延长线上移动且H在线段上时、当点D在线段的延长线上移动且H在线段上的延长线上时三种情况，分别画出图形，证明得，由可得，再由或或可得结论． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：当点D在线段上移动时，如图2， 由（2）知，，且， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上移动且H在线段上时，如图，过点D作交延长线于点F，    则，，， ∴，则， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，又， ∴； 当点D在线段的延长线上移动且H在线段的延长线上时，如图，    同理可证，则， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，又， ∴； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理及外角性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形以及分类讨论是解答的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 三角形（单元测试提升卷）数学北京版 2026-2027学年八年级上册 （卷面总分100分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共16分） 1．下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 3．如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，长方形放置在数轴上，已知，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 5．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点． （4）连接，则即为所求． 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．已知，如图在三角形中，，，，延长到点，使得，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 7．如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，平分交于点D，于点E，点F在上，点G在上，，平分，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每题 2分，共14分） 9．如图，请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是______． 10．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是___________． 11．如图，D为等边外一点，，，，过点A作于点E，过点C作于点F，连接，则的长为______． 12．如图，点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点落在点处．若，，则的度数为______． 13．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为______． 14．如图，在中，分别以和为边作和，，，连接，延长交于F．若，求的值______． 15．如图，是等边三角形，E、D分别为边上的动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一点，连接，．当时，线段的长为______． 三、解答题（共70分） 16．若实数，，满足． (1)求的值． (2)若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 17．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分） (1)画出格点关于直线的对称的； (2)的面积为_______； (3)在上画出点P，使最小． 18．如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， (1)求证：； (2)若，，求的周长． 19．下面是小刚同学设计“作一个角的平分线”的尺规作图过程． 已知：如图1，． 求作：射线，使平分． 作法：①在的边上任取一点，并过点作的垂线（如图2）； ②在边上截取； ③过点作的垂线与直线交于点； ④作射线． 则平分． 根据上述作图过程，回答问题： (1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：， ． 在和中， （___________）（填推理依据）． ． 即平分． 20．在中，，，E为直线上一点，D为直线上一点，且． （1）当点D在线段上时，如图①，易证：（不需证明）； （2）当点D在线段的延长线上时，如图②、图③，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并证明图②． 21．如图，在中，，是，平分线的交点． (1) ； (2)若是两条外角平分线的交点，则         ； (3)在（2）的条件下，若是内角和外角的平分线的交点，试探索与的数量关系，并说明理由． 22．如图，在四边形中，是的中点，垂直平分交于点，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 23．如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点．    (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． 24．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒． (1)如图①当P运动在边上时， ________；当P运动在边上时， ________（用含t的代数式表示） (2)如图①当t为多少时，的面积等于； (3)如图②，点在边上，点在边上，，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 25．在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明；若不全等，请说明你的理由； (3)若等边的边长为6，，求的长（用含m的式子表示）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $