第十二章 分式和分式方程（单元自测）数学新教材冀教版八年级上册

第十二章 分式和分式方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 5．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 6．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 7．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ） A． B． C． D． 8．若关于的分式方程有解，则a的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D．且 9．现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错 10．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 11．已知，则（ ） A． B． C． D． 12．已知分式方程有增根，则的值为（ ） A．4 B． C．0 D．2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）________． （2）________． 14．计算：的值为________． 15．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为________ ． 16．现有，两个圆，圆的半径为（，），圆的半径为，则圆的面积是圆面积的________倍． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）解下列分式方程： （1）； （2）． 18．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 19．（8分）已知，其中、为常数，求的值． 20．（8分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 21．（9分）化简 （1）； （2） （3）； （4）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 22．（9分）分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．（11分）已知分式，请解决以下问题． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x为何值时，该分式的值为1？ 24．（12分）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） （2）分式的“可存异分式”是________； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 分式和分式方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【解析】∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选B． 2．下列说法正确的是（ ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【解析】A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选B 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的性质与二次根式的运算，解题的关键是掌握分式的基本性质、分式加减法法则，二次根式的乘法法则及混合运算．对于分式的运算，要根据分式的基本性质和运算法则进行判断；对于二次根式的运算，要根据二次根式的乘法法则和混合运算法则进行计算． 【解析】A选项：中，根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时减去，不符合分式的基本性质，所以，故A选项不合题意； B选项：先将进行变形，因为，所以，故B选项不合题意； C选项：，，故C选项不合题意； D选项：，故D选项符合题意； 故选D． 4．若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 【答案】C 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可． 【解析】设， 根据分式的性质，得， 故分式的值不变．故选C． 5．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 【解析】， 故选A． 6．如表为张小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名张小亮________得分________ 判断题（每小题20分，共100分） （1）当时，分式有意义．（√） （2）当时，分式的值为0．（√） （3）．（×） （4）．（√） （5）．（√） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，分式性质等知识，根据相关知识判断每个小题的正误，统计答对题数，计算得分． 【解析】（1）当时，分式有意义，正确； （2）当时，分式的分子为0，分母不为0，值为0，正确； （3）（反例：），错误； （4）（反例：），错误； （5），正确； 张小亮判断（1）√、（2）√、（3）×、（4）√、（5）√， 答对4题， 得分分． 故选C． 7．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【解析】∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选B 8．若关于的分式方程有解，则a的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】从分式方程有解的两个条件入手，先化为整式方程再求解． 【解析】原方程可化为． 去分母得． 去括号得． 移项、合并同类项得． ∵分式方程有解， ∴，且． 当时，． 将代入，得，解得． ∴且．故选D． 9．现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．嘉嘉、琪琪都对 D．嘉嘉、琪琪都错 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．嘉嘉设时间为变量，方程正确；琪琪设乙的速度为变量，但方程中甲的速度表示错误，应为乙的速度加，而非减． 【解析】∵甲型机器人比乙型每小时多搬运，且甲搬时间等于乙搬时间．嘉嘉设甲搬用时小时，则甲速度为，乙速度为，由速度差得方程：，化简为，解得，验证：甲速度，乙速度，差，符合题意，∴嘉嘉正确． 琪琪设乙每小时搬运，则甲速度应为，但琪琪列方程为，其中甲速度误为，解该方程得，不合理，∴琪琪错误． 故嘉嘉对、琪琪错． 故选A． 10．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，分式的值以及分式有意义的条件．先化简得到最简分式，再根据整数条件求的取值． 【解析】 ，，． ①正确． ②要使为整数，则为的约数，即，，，得，，，，，． 但，故有种情况，②错误． 故选A． 11．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件式可推出，再根据代入求值即可． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴．故选C． 12．已知分式方程有增根，则的值为（ ） A．4 B． C．0 D．2 【答案】A 【解析】∵分式方程有增根， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得， 代入得．故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）________． （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质． （1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变． （2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变． 【解析】（1）； （2）； 故答案为；． 14．计算：的值为________． 【答案】 【分析】先对分式做乘方，分子分母分别平方；再做分式乘法，分子乘分子、分母乘分母，约去公因式化简． 【解析】原式 ．故答案为$\frac{2n}{3m}$． 15．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解析】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为． 16．现有，两个圆，圆的半径为（，），圆的半径为，则圆的面积是圆面积的________倍． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出两个圆的面积，圆的面积圆的面积圆的面积是圆面积的多少倍． 【解析】由题意，得．故答案为$\frac{a^{2}}{36}$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的相关方法是解此题的关键． （1）首先确定最简公分母，此方程中两个分式的分母均为，所以最简公分母为，方程两边同时乘以最简公分母，可消除分母，转化为整式方程进行求解； （2）先确定最简公分母，方程中两个分式的分母分别为和x，所以最简公分母为，方程两边同时乘以最简公分母，可消除分母，将分式方程转化为整式方程进行求解，最后进行验证即可． 【解析】（1）解：去分母，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴． （2）解：去分母，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴． 18．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 【答案】（1）真 （2） （3） 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为真； （2）解：， 故答案为； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 19．（8分）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【解析】 ， ， ， 解得：， ． 20．（8分）某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景 某校元旦期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息1 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务1 嘉嘉设■________．依题意，得方程． 淇淇设每包彩纸元．依题意，得方程▲________． 信息2 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 任务2 求珍珍每天可以制作小飞马的个数． （1）①任务1中“■”处的内容为________，“▲”处的内容为________． ②任选一个人的思路，求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）完成任务2中的问题． 【答案】（1）①元买到的竹条捆数为捆；；②每捆竹条元，元能买到彩纸包 （2）珍珍每天可以制作小飞马个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题干中描述的数量之间的关系找到相等关系，根据相等关系列方程． （1）①根据方程中每一个分式表示的意义确定■表示元买到的竹条捆数为捆；根据淇淇设的表示每包彩纸的价格，列方程即可； ②分别用淇淇的方法和嘉嘉的方法求解； （2）制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样，列方程求出的值． 【解析】（1）①解：表示每捆竹条的价格， ■表示元买到的竹条捆数为捆； 淇淇设每包彩纸元， 依题意得方程：； 故答案为元买到的竹条捆数为捆，； ②解：选淇淇的方法： 设每包彩纸元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； 选嘉嘉的方法： 设元买到的竹条捆数为捆， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， (元)，(元)， (包)， 答：每捆竹条元，元能买到彩纸包； （2）解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 珍珍每天可以制作小飞马个． 21．（9分）化简 （1）； （2） （3）； （4）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1） （2） （3） (4)，时，值为 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，化简求值； （1）把除法化为乘法，再约分即可； （2）直接约分即可得到结果； （3）先乘方，再计算乘除运算即可； （4）先把除法化为乘法，再约分得到化简 的结果，再选取代入计算即可； 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 由分式有意义可得，，， ∴当时， 原式； 22．（9分）分式计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查的是分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算； （2）根据分式的除法法则计算； （3）根据分式的加减法法则计算； （4）先算分式的除法，再算减法即可． 【解析】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（11分）已知分式，请解决以下问题． （1）当x取何值时，该分式无意义？ （2）当x为何值时，该分式的值为1？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为1的条件是解题关键． （1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可； （2）根据分式值为1的条件可得，解出分式方程，由此求解即可． 【解析】（1）解：当时，分式无意义， 所以时，分式无意义； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根， 即当时，分式的值为1． 24．（12分）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． （1）填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） （2）分式的“可存异分式”是________； （3）已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （4）若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】（1）不是 （2） （3）①；②分式A的值是1，3，5； （4）520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $