第12章全等三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级上册

第12章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知平分，于点A，于点B，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，然后根据全等三角形的性质即可判断. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 故A、B、C均正确， 对于D，是的斜边，故， 同理， 但与的大小关系随的度数变化而变化，不一定相等， 故D错误. 2．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得． 3．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”可证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”可证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”可证明，可判断D不符合题意． 4．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义得到的度数，再由全等三角形的性质得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 5．将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得到，，，，以此为基础推导其余结论．因为，所以是等腰三角形，可得与的关系。根据等腰三角形内角和关系，结合已知的度数推导旋转角的大小．因为点、、共线，所以，结合前面得到的角的等量关系，可推导和的数量关系．因为题目未给出的相关确定条件，所以判断该选项是否存在确定性，其余选项结合上述推导验证是否成立． 【详解】由旋转的性质可得， ∴， 当时，， ∴； A正确； B正确； 根据现有条件无法得到， C不正确； ； D正确． 6．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：在等边三角形中，∵是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 综上所述，与相等的线段条数为7． 7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．嘉琪设计了下面的方案： 如图，将两根小棒，的中点O固定在一起，将两根木棒的A、B端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得C，D之间的距离即为内径的长度．对于嘉琪的方案，珍珍和亮亮有如下判断，则下列判断正确的是（     ） 珍珍：嘉琪的方案中，必须保证两根小棒的长度相等（即）； 亮亮：根据嘉琪的方案，判定图中三角形全等的依据是． A．只有亮亮的判断正确 B．只有珍珍的判断正确 C．珍珍和亮亮的判断都正确 D．珍珍和亮亮的判断都错误 【答案】A 【分析】由线段中点的定义可得，由“对顶角相等”可得，进而利用“”证明，据此分析判断即可． 【详解】解：∵O为，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 即利用“”可证明， ∴， ∴C，D之间的距离即为内径的长度，该方案中不需要， ∴亮亮的判断正确，珍珍的判断错误． 8．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（   ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 【答案】C 【分析】延长到使得，利用倍长中线模型证明得到，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过作交的延长线于，证明，得，，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接， 则； 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 如图，过作交的延长线于，则， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在 中，， 即， ， ， 的长不可能是5； 综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确． 9．如图，，的延长线经过点E且交于点F，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的外角可得，再由全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 11．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵ ， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 12．已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】若，点运动路程为，点运动路程为，据此可判断①；求出此时点P和点Q的路程，根据二者的运动时间相同建立方程求解即可判断②；可证明，则可推出，进而得到，据此可判断③；若与全等，则或，据此建立方程组求解即可判断④． 【详解】解：若，点运动路程为，点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的2倍，故①的说法正确； 若两点同时到达点，点运动路程为6，点运动路程为， ， ，故②的说法正确； 若，如图， 此时，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴， ， ∴， ， ， 与不垂直，故③的说法不正确； 如图， 由题意得：， 若与全等，则或， 或． 或． 或，故④的说法正确． 综上，正确说法有：①②④． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的另外两边长分别为______． 【答案】6、8或7、7 【分析】把边长为分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：若是腰，则另一腰为，底边，可以构成等腰三角形； 若是底边，则两腰均为．，可以构成等腰三角形． 14．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【答案】3 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，由的周长即可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴， ∵的周长是， 即， ∴． 15．如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∴． 16．如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 【答案】3 【分析】延长，使，连接，证明，根据全等三角形的性质，等边对等角，结合等角对等边，以及线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图，延长，使，连接， 是的中线， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， . 17．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交AC于点E，，若，则_________． 【答案】 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 18．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①； ②； ③； 其中所有正确结论的序号为________． 【答案】 ①② 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线定义求出的度数，进而求出判断；通过计算角度证明，结合角平分线及公共边利用证明判断②；利用全等三角形性质及外角性质判断③，进行解答，即可． 【详解】解：在中，， ， 分别平分，， ，， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论②正确； ，， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角， ， ， ，故结论③错误， 正确的是①②． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，在中，，，交边于点，是边上的点，． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：．理由如下： 由（1）知． ， ． ， ， ， ． 由（1）知， ． 【分析】（1）先根据直角三角形的两个锐角互余，得出，根据等边对等角得出，运用三角形内角和性质，得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角即可求出的度数； （2）由（1）知，结合三角形内角和得出，根据直角三角形的两个锐角互余得出，则，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ． ， ， ． ， ， ． （2）略 20．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． (1)当时，求的长度； (2)当时，判断与的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质容易判断是等边三角形，则； （2）证明，则，由等腰直角三角形的性质与旋转的性质可得，因此． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：由题意可得，是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． (1)求证：． (2)当时，点E运动了多长时间？ 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． (2)或 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到结论； （2）分点在直线的上方和点在直线的下方两种情况进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 由题意可分为，当点在直线的上方时， 在和中， ， ∴， ∴； ∴， ∴点的运动时间为， 当点在直线的下方时， 同理可得， ∴， ∴点的运动时间为， ∴点的运动时间为或 22．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图       步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是______的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； (3)请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】(1)小涵 (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． (3)解：对小宇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行； （3）对于小宇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． 【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即， 而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． （2）解：略． （3）解：略． 23．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 24．阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1)① 证明：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． ② 理由：， ， 又，， ， ， ， ， 即． (2)， 【分析】(1) ① 在和中，利用、、，由SAS证全等，得对应角相等，从而证平行． ② 由平行得同位角相等，结合已知角等和边等，由AAS证，得，再由得出数量关系． (2) 分别过点M作于点E，于点F，于点Q，由角平分线性质定理可知，，由，可证，则平分，进而证明，同理，证明，可证明，， 设，则可依此证明，，则由可求． 【详解】（1）略 （2）分别过点M作于点E，于点F，于点Q， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴平分， ∵于点E，于点F，于点Q， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．   思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，   所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．    【答案】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下： 所以，， 所以， 所以 (3)30 【分析】（1）依据为角平分线的性质； （2）利用三角形的面积为底乘以高除以2即可求证； （3）先求出，进一步得出，再利用中线平分三角形面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵在中， 平分，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 已知的面积为6， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 26．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (3)4 【分析】（1）利用折叠性质得到，结合直角推导出一组夹角相等，再匹配两组对应边相等，用证明全等； （2）先由等腰直角三角形求出，借助第（1）问的全等转移角，然后通过三角形内角和计算，得到两角相等，判定等腰三角形； （3）倍长中线构造平行四边形，转化边与角的关系，然后证明是等腰三角形的角平分线，由三线合一得到垂直平分线，完成线段等量代换，最后利用（1）的全等，把转化成求出长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 全等三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知平分，于点A，于点B，下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与全等 B．如图2，，与全等 C．如图3，线段相交于点E，已知，，，与全等 D．如图4，已知，与全等 4．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，是边上的高，，则与相等的线段条数为（     ） A．2 B．5 C．7 D．9 7．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．嘉琪设计了下面的方案： 如图，将两根小棒，的中点O固定在一起，将两根木棒的A、B端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得C，D之间的距离即为内径的长度．对于嘉琪的方案，珍珍和亮亮有如下判断，则下列判断正确的是（     ） 珍珍：嘉琪的方案中，必须保证两根小棒的长度相等（即）； 亮亮：根据嘉琪的方案，判定图中三角形全等的依据是． A．只有亮亮的判断正确 B．只有珍珍的判断正确 C．珍珍和亮亮的判断都正确 D．珍珍和亮亮的判断都错误 8．老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（   ） A．5    B．7    C．8    D．9 甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（     ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都不正确 9．如图，，的延长线经过点E且交于点F，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 12．已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的另外两边长分别为______． 14．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 15．如图，在中，是的垂直平分线，与交于点，，，则的长为__________． 16．如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，则的长度为____________ 17．如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交AC于点E，，若，则_________． 18．如图，在中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论： ①； ②； ③； 其中所有正确结论的序号为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，在中，，，交边于点，是边上的点，． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并说明理由． 20．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，． (1)当时，求的长度； (2)当时，判断与的位置关系． 21．如图，在中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F． (1)求证：． (2)当时，点E运动了多长时间？ 22．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图       步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是______的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； (3)请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 23．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 24．阅读下面材料，完成探究与求解． 【问题探究】 如图1，在中，点D是的边的中点，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F．若，，则线段，，之间有什么数量关系？ 小明通过探究发现，可以在线段上取一点G，使得，这样只需要找出和之间的数量关系即可． (1)请你根据小明的思路，解答下列问题： ①求证：； ②探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，是一片林地，是林地内一条护林小路，点P在边上且平分，为了方便护林工人巡逻，现计划作的平分线，交于点M，在上取一点N，使得，连接，并沿和修建两条新的护林小路，若测得，，，请分别求出和的长．（护林小路的宽度均忽略不计） 25．阅读与思考 下面是小明同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． ×年×月×日                                  星期日                             晴 巧用角平分线构造比例关系 在学习完角平分线的性质一节后，我经过思考发现里面还有一个有趣的结论：如图1，是的角平分线，，，，之间的关系为：．    思路：“关联”角平分线的性质，过点D分别作垂足为E，作垂足为F，再结合“等面积法”即可得到结论． 证明：如图2，过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，因为是的角平分线，且，，   所以（依据）． 因为，， 所以． 因为， 所以   …… 解后反思： 关联思想是数学的核心思维之一．当题目涉及角平分线时，可向角的两边作垂线，利用角平分线的性质完成线段、面积等条件转化，进而简化问题． 任务： (1)任务一：材料中证明过程中的依据指的是： ； (2)任务二：请将小明同学的证明过程补充完整； (3)任务三：如图3，在中，点E为的中点，平分，，与交于点O，于点P，于点Q，已知的面积为6，则的面积为 ．    26．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12章全等三角形（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 6 7 8 10 11 12 D C C A C C A B B D 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.6、8或7、7 14.3 15.9 16.3 8*45心 18.①② 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】(1)60 (2)详见解析 【解析】(1)解：.∵CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠BDC=90°， ∴.∠A=90°-∠ACD=90°-15°=75°. ·AB=BC, ∴.∠BCA=∠A=75°， ∴.∠B=180°-∠A-∠BCA=30 BE=DE, ∴.∠EDB=∠B=30, .∴.∠DEC=∠B+∠EDB=60°」 (2)解：∠DEC=4∠ACD.理由如下： 由(1)知∠A=∠BCA」 .∠B+∠A+∠BCA=180°， 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B+2∠A=180 .CD⊥AB, .∴.∠ADC=∠BDC=90°， .∴.∠A+∠ACD=90°， ∴.∠B=2∠ACD 由(1)知∠DEC=∠B+∠EDB=2∠B, .∠DEC=4∠ACD. 20.【答案】(1)2 (2)OA‖AB 【解析】(1)解：由旋转的性质可得，∠AOA=30°，OA=OA=OB=OB=2, .∠AOB=90°， ∴.∠AOB=∠AOB-∠AOA=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴.AB=OA=2: (2)解：由题意可得，△OAB是等腰直角三角形， .∠OAB=∠OBA=45°， 由旋转的性质可得，OA=OA=OB=OB=2,∠OAB=∠OAB=45°， 在△OAA和△OBA中， OA=OB OA=OA AA-AB △OAA≌△OB A'SSS) ∠AOA=∠BOA=)∠A0B=45, ∴.∠AOA=∠OAB, .OA‖AB. 21.【答案】(1)详见解析 【解析】(1)证明：∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=90°， 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD为边AB上的高， .∠BCD+∠B=90°， .∠A=∠BCD 26s或1s (2)解：，CD⊥AB,∠ACD=90°，EF⊥BC, :.∠ACD+∠A=∠ACD+∠DCB=90°，∠ACB=∠CEF=90°， ∴.∠A=∠DCB=∠ECF」 由题意可分为，当点E在直线CD的上方时， 在△ACB和△CEF中， ∠A=∠ECF ∠ACB=∠CEF=90, CF=AB ∴.△ACB≌△CEF AAS, ∴.CE=AC=7cm: .'BE=BC+CE=5+7=12cm, ∴.点E的运动时间为12÷2=6s, 当点E在直线CD的下方时， 同理可得CE=AC=7cm, ∴.BE=CE-BC=7-5=2cm, .点E的运动时间为2÷2=1s, ∴，点E的运动时间为6s或1s 22.【答案】(1)小涵 (2)小涵同学方案可行. (3)详见解析 【解析】(1)解：，小涵的方案可以证明△ABO≌△CDO,即AB=CD, 而小宇的方案无法证明△ABO≌△CBO,也就不能证明AB=BC, 小涵同学方案可行。 (2)证明：在△ABO和△CDO中， 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DO=BO ∠AOB=∠COD, CO=AO .△ABO≌△CDO SAS, ∴.AB=CD, 故小涵同学方案可行. (3)解：对小宇方案增加“使OB⊥AC”； 理由：.OB⊥AC, ∴.∠ABO=∠CBO=90°， 在△ABO和△CBO中， t, ,△ABO≌△CBO ASA, ..AB=CB 23.【答案】(1)详见解析； (2)详见解析. 【解析】 (1)证明：，∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ACF=180°-∠ACB=90°，∠ABC=∠CAB=45°， 在△ACF和△BCD中， AC=BC ∠ACF=∠BCD CF=CD ∴.△ACF≌△BCD SAS, ∴.∠CAF=∠CBD, .∠ACF=90°，CF=CD, ∴.∠CDF=∠CFD=45°， .∠AFD+∠DAF=∠CDF=45°，∠ABD+∠CBD=∠ABC=45°， ∴.∠AFD=∠ABD: (2)解：AD=2CG,理由如下： 如图，作EH⊥CB交CB的延长线于点H, 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E H'、 图2 则∠EHB=90°， .∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ABC=∠ACB=45°，∠BCD=180°-∠ACB=90°， .∠ABD+∠CDE=180°，∠ABD=∠ABC+∠CBD=45°+∠CBD, ∴.45°+∠CBD+∠CDE=180°， .∠CDE=∠CDB+∠BDE, .45°+∠CBD+∠CDB+∠BDE=180°， .∠CBD+∠CDB=180°-∠BCD=90°， .∠BDE=45°， ..BD=BE, ∴.∠BED=∠BDE=45 .∠DBE=180°-∠BED-∠BDE=90°， .∠CBD+∠EBH=180°-∠DBE=90°， ,∠CBD+∠CDB=90°， ∴.∠CDB=∠EBH, ,∠BCD=∠EHB=90°，BE=DB, .△BCD≌△EHBAAS, ∴.BH=CD,EH=BC, .AC=BC, ..AC=EH, ,∠ACB=∠EHG=90°，∠AGC=∠EGH, ∴.△ACG≌△EHG AAS, ∴.CG=GH, ∴.CH=2CG, .CH=BC+BH=AC+CD=AD. 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.AD=2CG. 24.【答案】(1)详见解析 (2)MN=1.4km'CN=1.5km 【解析】(1)①证明：.D是BC的中点， ∴CD=BD 在△CDE和△BDG中， CD=BD ∠CDE=∠BDG, DE=DG ∴.△CDE≌△BDG SAS, .∴.∠DCE=∠DBG, .AC‖BG ②DF=DE+BC 理由：，AC‖BG, .∴.∠BAC=∠GBF, 又.∠F=∠C,AB=CE=BG, ∴.△ACB≌△BFG, .∴BC=FG FG=DF-DG=DF-DE, ∴.BC=DF-DE, 即DF=DE+BC. (2)分别过点M作ME⊥AB于点E,MF⊥BC于点F,MQ⊥AC于点Q, ,CP平分∠ACB,AM平分∠CAB, ∴.ME=MF=MQ,∠MEP=∠MFN=90°， ∴.∠AMQ=∠AME, .AM平分∠QME, ,ME⊥AB于点E,MF⊥BC于点F,MQ⊥AC于点Q, ∴.AQ=AE, 同理，CQ=CF,BF=BE, 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MNC=∠CPB, .∠MNF=∠MPE, ∴.△MPE≌△MNFAAS, .'MN=MP=1.4km,NF=EP, 设NF=EP=X,BF=BE=y, .AP=2.5km, ∴.AQ=AE=|2.5-xkm, .AC=4km, ..CF=CQ=AC-AE=4-2.5-x=1.5+xkm, .'CN=CF-NF=1.5+x-x=1.5km. EP 25.【答案】（1)详见解析 (2)详见解析 (3)30 【解析】(1)角平分线上的点到角两边的距离相等 (2)补充如下： 所以SAABD= 号0AG,Sn号CDAG, 所以SA ABD:S△ACD=BD:CD, 所以AB:AC=BD:CD (3)解：，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD:DB=4:3, .AC:AB=4:3, ,点E为AC的中点， .AE-AC, .AE:AB=2:3, .OE:OB=2:3, 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.SAA0E:S△A0B=2:3 己知△AOE的面积为6， .S△A0B=9, ∴.SAABE=9+6=15, ,点E为AC的中点， ∴.S△ABC=2S△ABE=30. 26.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)4 【解析】(1)证明：如图， D E .AC=AD .∠ACD=∠ADC, ,∠ACB=∠CDE=90, ,∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°， ∴.∠BCD=∠ADE. .CA=CB,AC=AD. .'.DA=CB, 在△ADE和△BCD中， DA=CB ∠ADE=∠BCD DE=CD ∴.△ADE≌△BCD SAS. (2)解：结论：△AEF是等腰三角形， 理由：如图， 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CA=CB,∠ACB=90°， ∴.∠CAB=∠B=45°， .AC=AD、 ∴.∠ACD=∠ADC=67.5 ,据(1)可知△ADE≌△BCD, .∠DAE=∠B=45°， ∴.∠EAF=∠DCF, ,∠AFE=∠CFD ∴∠AEF=∠CDF=67.5, ∴.∠AFE=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴.∠AFE=∠AEF=67.5°， ∴.△AEF是等腰三角形. (3)解：如图，延长CF到T,使得FT=CF,连接AT,DT, B .AF=DF,CF=FT, ∴.四边形ATDC是平行四边形， .AC=DT,AC‖DT, ∴.∠CAD=∠ADT, .AC=AD」 .'.DA=DT, 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+2∠ACD=180°， ~5∠CAD+∠ACD=90° ·∠DCB=∠CAD, ∴.∠CAD=∠ADT=2∠DCB, 据(1)可知△ADE≌△BCD, .∠DCB=∠ADE .∠ADE=∠TDE. .DA=DT, ∴.DE⊥AT, .DE平分AT, .AF=FD, ∴.ET=2EF=4, ,DE垂直平分线段AT, ∴.EA=ET=4, ,△ADE≌△BCD .BD=AE=4」 10110