第十七章 特殊三角形（单元自测）数学新教材冀教版八年级上册

第十七章 特殊三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 2．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（ ） A． B． C． D．和 4．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是（ ）    A．3 B．5 C．6 D．7 6．如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．下面四组数，属于勾股数的是（ ） A．2，3，4 B．6，8，10 C．，， D． 8．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为________． 14．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则的长为________． 15．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 16．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出________，________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 18．（8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． （1）求风筝的垂直高度； （2）要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 19．（8分）如图将长方形沿着所在的直线折叠，交于点． （1）是________三角形． （2）当，时，求的面积． 20．（8分）综合与实践 【情境】通过学习《勾股定理》和《实数》，嘉琪同学发现，借助网格可以构造无理数． 【感知】如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点，，为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． （1）线段，的长分别是________，________； 【探究】嘉琪同学发现借助网格还可以解决以下问题“在中：三边长分别为，，，求这个三角形的面积．” 方法如下： 建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出这个三角形，（即三个顶点都在小正方形的顶点处）如图2所示，这样不用求三角形的高，就借用网格纸就能计算出它的面积．我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法． （2）直接写出图2中的面积是________； （3）若的边长分别为，，（，，且），试运用构图法在图3中画出相应的，并求出的面积． 【拓展】（4）直接写出代数式最小值． 21．（9分）如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 22．（9分）【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？ 23．（11分）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． （1）求； （2）求代数式的值． 24．（12分）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． （1）当为何值时，四边形的面积为36？ （2）时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 特殊三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【解析】A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选B ． 2．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定． 利用“”判定即可． 【解析】根据题意，当，时，，故选项A符合题意． 故选A． 3．如图，在中，，点D在边上，，则图中的等腰三角形是（ ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】根据等腰三角形定义，由两边相等判断即可． 【解析】， 是等腰三角形， ，， ， 不是等腰三角形 ∵与不一定相等， 不一定是等腰三角形， 只有是等腰三角形．故选B． 4．如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【解析】当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选C． 5．如图，在中，．点是边上任意一点，则的长不可能是（ ）    A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并求出的取值范围是解题的关键． 先通过等腰三角形“三线合一”的性质，确定是边上的高和中线，同时平分顶角；再利用含角的直角三角形性质求出的长度，得到的最小值；结合得到的最大值，从而确定的取值范围，最后判断选项． 【解析】过点作于，   ， ，， ， ， ， ， 的长度不可能是3， 故选A． 6．如图所示，将两个完全相同的直尺按照下图位置放置，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，过点A作，过点C作，先证明，可得，从而得出，即可得出结论． 【解析】如图，过点A作，过点C作， 两个完全相同的直尺， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故选B． 7．下面四组数，属于勾股数的是（ ） A．2，3，4 B．6，8，10 C．，， D． 【答案】B 【分析】根据勾股数需要为正整数且较小两数平方和等于最大数平方的要求，先排除不是正整数的选项，再对剩余选项计算平方进行验证，选出符合条件的答案. 【解析】中三个数均为小数，中三个数均为无理数，都不是勾股数. 选项：，，，不是勾股数. 选项：，且均为正整数，是勾股数. 故选. 8．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【解析】 ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是．故选D． 9．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（ ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【解析】如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选C． 10．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【解析】根据题意可得：平分，即， 故选C． 11．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【解析】如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选D． 12．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【解析】∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【解析】如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为8． 14．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． 由作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得到，从而证得，根据全等三角形的性质得到的长，再通过勾股定理计算即可． 【解析】∵在中，，， ∴， 由作图可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ 故答案为 15．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，注意隐含的已知条件来解答此类题．根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出． 【解析】风车的外围周长（虚线部分）为76， ． ， ，． 在中，． 故答案为5． 16．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为________． 【答案】 【分析】分类讨论腰长的两种可能，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，得到正确结论． 【解析】分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形的三边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 舍去这种情况； 当腰长为时，三角形的三边长为， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 这个等腰三角形的腰长为．故答案为$5$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（7分）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出________，________，________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）13、52、65； （2） 解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【解析】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为13、52、65； （2）略 18．（8分）周末，小明和小亮去公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了测量，得到如下数据： ①牵线放风筝的小明的身高为m；②风筝与小明的水平距离的长为m；③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为m． （1）求风筝的垂直高度； （2）要使风筝沿方向下降m，则小明应该往回收风筝线多少m？ 【答案】（1）m （2）m 【分析】（ ）在直角三角形中，已知斜边，根据勾股定理在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，可算出另一直角边，由图可知米(人的高度)，根据风筝垂直高度，即可解答． （ ）根据题意风筝下降米后，得米．在新直角三角形中，用勾股定理算出此时风筝线米，即可解答 回收线长度为原线长与现线长的差． 【解析】（1）解：由题意可知m，m，，m． 在中，由勾股定理， 得， m（负值已舍去）， m． 答：风筝的垂直高度为m． （2）如答图，风筝沿方向下降m至处，保持不变，连结，此时m． 在中，m， m， 小明应该往回收风筝线m． 【点睛】本题主要考查勾股定理的概念，关键是观察图形找到数量关系．通过已知直角三角形的两边，利用勾股定理求出第三边，即可解答． 19．（8分）如图将长方形沿着所在的直线折叠，交于点． （1）是________三角形． （2）当，时，求的面积． 【答案】（1）等腰 （2）10 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，从而得到的形状； （2）设，表示出，然后在中利用勾股定理列出方程求解即可得到的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解析】（1）解：由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，，即， 解得， 的面积． 20．（8分）综合与实践 【情境】通过学习《勾股定理》和《实数》，嘉琪同学发现，借助网格可以构造无理数． 【感知】如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为单位长度1，为格点三角形，，，其中线段的长为无理数．点，，为格点，，，以点为圆心，长为半径画弧交网格线于点，连接，，其中线段的长为无理数． （1）线段，的长分别是________，________； 【探究】嘉琪同学发现借助网格还可以解决以下问题“在中：三边长分别为，，，求这个三角形的面积．” 方法如下： 建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出这个三角形，（即三个顶点都在小正方形的顶点处）如图2所示，这样不用求三角形的高，就借用网格纸就能计算出它的面积．我们把上述求三角形面积的方法叫做构图法． （2）直接写出图2中的面积是________； （3）若的边长分别为，，（，，且），试运用构图法在图3中画出相应的，并求出的面积． 【拓展】（4）直接写出代数式最小值． 【答案】（1）， （2） （3）如图构造三角形： （4）45 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）用一个长方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据勾股定理构造图形，进而解题； （4）根据勾股定理构造图形，结合轴对称和最短路径问题解题即可． 【解析】（1）由题意知，， ， ∴， 故答案为，； （2）由图可知，； 故答案为； （3），， ， ∴ ； （4）构造图形如下： 其中，， ∵， 而， ∴的最小值为45， 即代数式的最小值为45． 21．（9分）如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【解析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 22．（9分）【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【解析】由题意，，， ， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务． 23．（11分）如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． （1）求； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握实数的定义是解题的关键． （1）由勾股定理得到，再结合顶点A表示的数是，求即可． （2）估算得到，，再代入计算即可． 【解析】（1）解：由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴． 24．（12分）如图，在梯形中，，点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度在线段间往返运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动． （1）当为何值时，四边形的面积为36？ （2）时，若，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）或 【分析】本题考查梯形的面积，全等三角形的判定及性质，勾股定理和等腰三角形的判定及性质，根据设问找到对应线段之间的等量关系是解题关键． （1）分两种情况讨论，用含t的代数式表示出对应线段，通过梯形的面积公式求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不确定，分两种情况讨论，借助勾股定理和全等三角形的判定与性质，用含t 的代数式表示出对应线段，利用腰相等列方程求解即可． 【解析】（1）解：分两种情况讨论： 第一种：点P抵达点C前，则，，，， 由题意，可得，， ∴即为梯形的高， 由梯形的面积公式可得，梯形的面积为， 令， 解得， 第二种：点P抵达点C后， ，， ∴当点P抵达点C时，，， ∴， 故梯形的面积为， 故该种情况不存在， ∴； （2）解：由（1）可知，此时点P在抵达点C前，则，，，， 分两种情况讨论： 第一种：如图，，过点Q作于点E，连接， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 解得； 第二种，如图，，过点P作于点E， 同第一种情况，可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $