第十七章 特殊三角形 单元测试 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

**基本信息** 冀教版2024八年级上特殊三角形单元卷，聚焦单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级设计，覆盖等边三角形判定、直角三角形斜边中线、HL全等及新定义“友爱三角形”等核心知识，适配新课标几何直观、推理能力与模型意识培养要求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|等边三角形判定（题1）、直角三角形性质（题3）|结合公路距离（题3）等实际情境，考查直观想象| |填空题|5|等腰三角形三线合一（题16）、直角三角形分类讨论（题13）|设置多解问题（题13），培养思维严谨性| |解答题|5|新定义“友爱三角形”探究（题22）、全等与平行证明（题19）|以“友爱三角形”（题22）设计分层探究，融合推理与创新，契合中考新定义题型趋势|

冀教版（2024）八年级上 第十七章 特殊三角形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°，AD是△ABC的高线．若AC=4，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3km,则M，C两点间的距离是（　　） A．0.5km B．1km C．1.5km D．2km 4．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=1，AD=2，AB⊥BC，四边形ABCD的面积为（　　） A．12 B．6+ C．2 D．2+6 5．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（　　） A．AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，AC=A′C′ C．AB=A′B′，BC=B′C′ D．∠B=∠B′，AB=A′B′ 6．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．用反证法证明命题“在△ABC中，若AC=BC，则∠A＜90°”时，第一步应假设（　　） A．∠A＜90° B．∠A＞90° C．∠A≤90° D．∠A≥90° 9．将四个完全相同的直角三角形分别拼成如图1和如图2所示的正方形，边长分别为6和2，则一个直角三角形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 10．如图，直角柱ABCDEF的底面为正三角形，图中标示各顶点名称．判断此角柱中的∠ABC、∠BCF的度数分别为何？（　　） A．∠ABC=90°，∠BCF=90° B．∠ABC=60°，∠BCF=60° C．∠ABC=90°，∠BCF=60° D．∠ABC=60°，∠BCF=90° 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，，点D，E分别是AC，BC上的动点，且满足∠ABD=∠EAC，则下列结论错误的是（　　） A．△ABF面积的最大值为 B．CF的最小值为 C．CF的最大值为 D．BD的最小值为6 二．填空题（共5小题） 13．如图，∠AOB=60°，OA=2，P为OB上一点，若△AOP为直角三角形，则OP=______． 14．如图，△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A是______°． 15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，D为线段AB的中点，则CD=______． 16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的中线，点E在边AB上，且AE=AD，连结DE，若∠BDE=15°，则∠CAD的大小为______度． 17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB右下方，∠ADB=∠ACB．过点C作AD的平行线交BD于点F，过A作AE⊥BD，垂足E在线段DF上．若DE=3，EF=1，则CD的长为 ______，BF的长为 ______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接CD． （1）若∠A=40°，求∠BCD的度数； （2）若△ABC与△BCD的周长之差为10，求AE的长． 19．如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，作∠ACE的平分线交AF于点G． （1）求证：AF∥BC； （2）若∠AGC比∠B多30°，求∠B的度数． 20．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连接CD，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交AF的延长线于点E，连接BE． （1）求证：CE=AD； （2）判断四边形CDBE的形状，并说明理由． 21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G． （1）求证：∠G=∠AFG． （2）若CE=EF，∠BAC=80°，求∠B的度数． 22．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△ABC中，如果∠A=80°，∠B=40°，那么∠A与∠B互为“友爱角”，△ABC为“友爱三角形”． （1）如图1，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B），∠ACB=90°． ①∠A= ______°，∠B= ______°； ②若CD是△ABC的高，则△BCD是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°，D是边AB上一点（不与点A，B重合），连接CD，若△ACD是“友爱三角形”，直接写出∠ACD的度数． 冀教版（2024）八年级上 第十七章 特殊三角形 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、C 3、C 4、B 5、C 6、B 7、A 8、D 9、B 10、D 11、B 12、C  二．填空题（共5小题） 13、1或4； 14、50； 15、5； 16、30； 17、4；6；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ACB=∠B=×（180°-40°）=70°， ∵ED垂直平分AC， ∴DA=DC， ∴∠A=∠ACD=40°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=30°； （2）∵AB=AC，DA=DC， ∴△ABC的周长=2AB+BC，△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC， ∵△ABC与△BCD的周长之差为10， ∴AB=AC=10， ∵AC的垂直平分线交AC于点E， ∴AE=AC=5． 19、（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B， ∴， 由角平分线的定义可知，， ∴∠B=∠DAF， ∴AF∥BC； （2）解：∵AF∥BC， ∴∠AGC=∠GCE， ∵GC平分∠ACE， ∴∠ACG=∠GCE=∠AGC， 设∠B的度数为x,则∠ACG=∠GCE=∠AGC=x+30°，∠DAF=∠GAC=∠B=x, 可得：x+x+30°+x+30°=180°， 解得：x=40°， ∴∠B=40°． 20、（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠ECF=∠ADF， ∵F是CD的中点， ∴DF=CF， 在△ECF和△ADF中，， ∴△ECF≌△ADF（ASA）， ∴CE=AD； （2）解：四边形CDBE是菱形， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴CD=AD=BD， 由（1）可知，CE=AD， ∴CE=BD， ∵CE∥AB， ∴四边形CDBE是平行四边形， ∵CD=BD， ∴四边形CDBE是菱形． 21、（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∵EG∥AD， ∴∠BAD=∠G，∠CAD=∠AFG， ∴∠G=∠AFG． （2）解：∵CE=EF， ∴∠CFE=∠C． ∵∠AFG=∠CFE，∠AFG=∠CAD， ∴∠C=∠CAD． ∵∠BAC=80°，AD平分∠BAC， ∴∠C=∠CAD=40°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°． 22、解：（1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A＞∠B）， ∴∠A=2∠B， ∴2∠B+∠B=90°， ∴∠B=30°，∠A=2∠B=60°， 故答案为：60；30； ②△BCD是“友爱三角形”，理由如下： ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， 在Rt△BCD中，∠CDB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， 由①可知：∠B=30°， ∴∠BCD=90°-∠B=60°， ∴∠BCD=2∠B， ∴△BCD是“友爱三角形”； （2）在△ABC中，∠ACB=70°，∠A=66°， ∴∠B=180°-（∠ACB+∠A）=180°-（70°+66°）=44°， 设∠ACD=α，则∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-α， ∵D是边AB上一点（不与点A，B重合）， ∴0°＜α＜70°， ∵∠ADC是△BCD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BCD=44°+70°-α=114°-α， 在△ACD中，∠A=66°，∠ACD=α，∠ADC=114°-α， ∴当△ACD是“友爱三角形”时，有以下六种情况： ①当∠A=2∠ACD时，则66°=2α， 解得：α=33°，符合题意； ②∠ACD=2∠A时，则α=2×66°=132°，不符合题意，舍去； ③当∠A=2∠ADC时，则66°=2（114°-α）， 解得：α=81°，不符合题意，舍去； ④当∠ADC=2∠A时，则114°-α=2×66°， 解得：α=-18°，不符合题意，舍去； ⑤当∠ACD=2∠ADC时，则α=2（114°-α）， 解得：α=76°不符合题意，舍去； ⑥当∠ADC=2∠ACD时，则114°-α=2α， 解得：α=38°，符合题意； 综上所述：若△ACD是“友爱三角形”，∠ACD的度数为33°或38°． 学科网（北京）股份有限公司 $