第一章 三角形的证明及其应用（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用·培优卷 【新教材北师大版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，点是上点，且满足，，若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C． D．8 5．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，．现将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到，连接，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，点E为的中点．将沿折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为 ． 13．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴上，若是等边三角形，，则点B的坐标是 ． 14．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为 ． 15．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·辽宁营口·月考），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 19．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 20．（8分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D、E分别是、边上的点，，于点F，于点G，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 21．（10分）（24-25八年级下·山西吕梁·月考）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中， ．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 22．（10分）（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 23．（12分）（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 24．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明及其应用·培优卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 则， 故选：C． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）将一副三角板如图放置，使点D落在上，，如果，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，由平行线的性质可得，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，点是上点，且满足，，若，，则的长为（    ） A．5 B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 根据平行线的性质可得，即，推出，再根据三角形的内角和定理可得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ， 即， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，．现将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到，连接，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 由平移的性质可得，从而得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：将沿着射线CB的方向平移3个单位长度，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴的周长为． 故选：D 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）如图，已知直角，，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线，交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线，分别交于点．依据以上作图，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质、所对的直角边是斜边的一半、等边三角形的判定和性质等，熟练识别角平分线的作法和垂直平分线的作法是解题的关键． 首先由①、②、③判定是角平分线，求出，再根据所对的直角边是斜边的一半求出、的值，最后由④、⑤判定是的垂直平分线，判定为等边三角形，运用性质求解即可． 【详解】解：∵直角，， ∴． ∵由①、②、③判定是角平分线， ∴． ∵直角，，， ∴． ∵， ∴． ∵令与的交点为点， 又∵由④、⑤判定是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在矩形中，，，点E为的中点．将沿折叠，使点C落在矩形内的点F处，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键，根据三角形的面积公式求出，得到，根据三角形内角和得到，根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点G， 由折叠得：，， ∴是的中垂线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴中，由三角形内角和得， 由勾股定理得：， 故选：A． 8．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的判定分类讨论即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 当为三角形的腰时，或均符合题意； 时，， ∴为等边三角形； 当为三角形的底时，作线段的垂直平分线与轴交于，此时， ∵， ∴为等边三角形，此时与重合； 故有两个点符合题意． 故选：B ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中线的性质和三角形面积的计算，利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系是解题的关键． 首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和，再利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系即可得到的面积． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴C为线段的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明，得出当的面积最大时，最大，根据，得出时，的面积最大，求出最大值即可． 【详解】解：延长，交于点G，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，最大， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】  本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的 性质即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，嘉琪想测量一座古塔的高度，在处测得，再往前行进到达处，测得，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔的高度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质和含30度角直角三角形的性质，先根据三角形外角的性质得出，可得，再根据直角三角形中，30度角所对直角边长度等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：30 13．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）如图，平面直角坐标系中，点A在x轴上，若是等边三角形，，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的特征及解含的直角三角形，根据等边三角形的性质得出，，再过点B作交于点C，在中，得出，利用勾股定理得出的长，进而求得点B坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，过点B作交于点C， 在中，， 由勾股定理得，， ∴，， ∴点B坐标为， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川达州·月考）已知三角形的三边长为、、，如果，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质，求出、、的值，再根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，并计算面积，即可求解． 【详解】解：因为，且，，， 所以，，， 解得，，． 因为，， 所以， 因此是以为斜边的直角三角形． 直角边为和，面积． 故答案为：30． 15．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 18．（6分）（25-26八年级上·辽宁营口·月考），直线与交于点． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 19．（8分）（25-26八年级上·湖北·期中）上午8时，一条渔船从港口出发，以每小时10海里的速度向正北方向航行，上午12时到达海岛处．从望海岛，测得，（如图所示）． (1)求海岛到海岛的距离； (2)渔船从海岛按原来的方向继续航行40海里（记为点处）出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时25海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时30海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛到海岛的距离为40海里 (2)海岛派出的救援队先到达渔船处 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，理解题意是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到，即可求解； （2）证明是等边三角形，进而得到的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ，， ， ， （海里）， 海岛到海岛的距离为40海里； （2）解：，， 是等边三角形， ， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， 海岛派出的救援队用的时间为（分钟）， ， 海岛派出的救援队先到达渔船处． 20．（8分）（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D、E分别是、边上的点，，于点F，于点G，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据证明可得，从而可判断是等腰三角形； （2）证明是等边三角形，得，求出，，从而求出． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中，，， ， ， 是等腰三角形． （2）解：，是等腰三角形， 是等边三角形， ． ，， ，，则． ，， ，则 ，则 21．（10分）（24-25八年级下·山西吕梁·月考）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中， ．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 22．（10分）（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：点为的中点； (2)若，的周长为，求的长； (3)若，，（其中）求的周长．（用含有、的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）由垂直平分得到，再证明，最后利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论； （2）由题意得，从而得出，即，由线段垂直平分线的性质可得．可得，再由，，可得，再求解即可； （3）先求得，再由垂直平分线的性质得出，从而得出，再由，，可得，即可得答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点为的中点． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴，， ∴， ∴的周长． 23．（12分）（25-26八年级上·山东菏泽·月考）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 24．（12分）（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 【答案】(1) (2)， (3)或或 (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理得，再运用等面积法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即可作答． （3）理解题意，结合是以或为底的等腰三角形进行分类讨论，且逐个情况作图，运用等腰三角形的性质进行列式计算，即可作答． （4）理解题意，根据动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，且进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， （2）解：由（1）得， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴ ∴当时，点D在线段上； ∴，； 当时，点D在线段上； ∴； （3）解：∵是以或为底的等腰三角形； ∴分四种情况讨论； 当点在上时， ①当是以为底的等腰三角形时，即， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴， 解得； ②当是以为底的等腰三角形时，即时，如图，过点B作于F， ∵， 与（1）同理得， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 当点D在上时， ③∵， ∴不存在是以为底的等腰三角形时； ④当是以为底的等腰三角形时，即时 即， ∵， ∴， 则， 解得， 综上所述，或或时，是以或为底的等腰三角形． （4）解：①当时， 与（1）同理得 ∴在中，， ∴， 解得； ②当时，点D在线段上运动， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $