第三章分式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

第3章 分式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 分式及其基本性质 1.1 分式的定义 如果把 写成 的形式，其中 ， 都是整式，且 中含有字母，那么代数式 就叫作分式。其中 叫作分式的分子， 叫作分式的分母。 由于除数不能为零，所以分式的分母不能为零。 示例：，， 都是分式； 的分母不含字母，是整式，不是分式。 注意：判断一个代数式是不是分式，只看分母是否含有字母，与分子、分母是否含有字母以外的其他数无关。 1.2 分式有意义、值为 0 的条件 分式有意义的条件 分式的分母不能为零。当分母不为 时，分式才有意义。 示例：分式 中，当 时，该分式才有意义。 分式值为 0 的条件 当分式的分子为 ，且分母不为 时，分式的值为 。 示例：分式 ：由 得 ，此时 ，所以当 时，分式的值为 。 注意：分式的值为 必须同时满足”分子 “与”分母 “两个条件，缺一不可；在本书中，若无特别说明，出现的分式均有意义。 1.3 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即 （其中 是不等于零的整式）。 示例：；。 注意：分子与分母必须”都”乘（或除以）同一个不等于零的整式，不能只对分子或只对分母作变形。 1.4 分式的约分 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除 以外的公因式约去，叫作分式的约分。 示例：；。 注意：当分式的分子与分母是多项式时，应当先把多项式进行因式分解，然后再约去它们的公因式。 1.5 最简分式 一个分式的分子与分母，如果除 以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式。 示例：， 是最简分式； 有公因式 ，不是最简分式。 注意：分式约分的结果应当是最简分式或整式。 2. 分式的运算 2.1 分式的乘法法则 两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 示例：。 注意：在分式的乘法运算过程中，如果分子、分母有除 以外的公因式，可先进行约分，再相乘。 2.2 分式的除法法则 两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘，即 示例：。 2.3 分式的乘方 分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方，即 （ 为正整数，其中 ）。 示例：。 注意：分式乘方后幂的符号确定与分数乘方的符号确定方法一致。 2.4 同分母分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，即 示例：。 2.5 分式的通分与最简公分母 这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫作分式的通分。 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母。这样的公分母叫作最简公分母。 示例：，， 的最简公分母是 。 注意：当分母是多项式时，应先将分母分解因式，以便于找出它们的最简公分母。 2.6 异分母分式的加减法 异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减，即 示例：。 注意：分式与整式相加减，可以把整式看作分母为 的分式，参与通分；分式运算的结果要化为最简分式或整式。 3. 分式方程 3.1 分式方程的定义 像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 示例：， 是分式方程； 的分母不含未知数，是整式方程。 3.2 分式方程的增根 在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 示例：解 ，去分母得 ，解得 ；但当 时分母 ，所以 不是原方程的解，是增根，原方程无解。 3.3 解分式方程的一般步骤 解分式方程的一般步骤是： 步骤 做法 去分母 方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程 解整式方程 解这个整式方程，求出未知数的值 检验 把求得的解代入原方程（或最简公分母），检验是否为原方程的解，舍去增根 示例：解 ，两边都乘 得 ，解得 ；检验 使最简公分母不为 ，所以 是原方程的解。 4. 分式与比 4.1 比的定义 两个整式 与 （）相除，叫作 与 的比，记作 或 。其中， 叫作比的前项， 叫作比的后项。 示例：长方形的长为 、宽为 ，则长与宽的比为 。 注意：分式一定是比，比不一定是分式。但比可以利用分式的基本性质来进行化简。 4.2 比例与比例式 表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果 与 的比等于 与 的比，那么就说 ，，， 四个数成比例。可以写成 或 。 示例：因为 ，所以 。 4.3 比例的项、内项、外项与比例中项 在比例中，，，， 叫作组成比例的项，其中 与 叫作比例的外项， 与 叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当 时， 叫作 和 的比例中项。 示例：比例 中，外项是 和 ，内项是 和 ；由 ，知 是 和 的比例中项。 4.4 比例的基本性质 在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果 ，那么 。 示例：由 ，得 ，所以 。 4.5 两条线段的比与成比例线段 在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 如果四条线段 ，，， 的长成比例，我们就把这四条线段 ，，， 称为成比例线段，简称比例线段。 示例：线段 ，，，，因为 ，，所以 ，，， 是成比例线段。 4.6 连比 当前一个比的后项与后一个比的前项相同时，可以将这两个比连起来，得到 的形式，这种形式叫作连比。 示例： 中，，，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身三者中，任意改变其中两个的符号，分式的值不变：，。如 ，两式值相等。 1.2 分式的值为正、为负的条件 分式 （）的值为正，当且仅当 、 同号；值为负，当且仅当 、 异号。如 的值为正，等价于 。 1.3 约分不改变分式的值，但约分前后”有意义的范围”可能不同 约分依据分式的基本性质，值不变；但约分约去的是含字母的因式，若该因式可能为 ，则约分前分式有意义的条件不能丢。如 ，但约分前 的限制仍要保留。 1.4 比例的变形 由 ，可得 ，也可两边取倒数得 ，或交换内项、外项得 等。如由 ，得 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求分式有意义（无意义）的条件 令分母 解出未知数范围，分式有意义；令分母 ，分式无意义。如分式 ，由 得 。 2.2 求分式值为 的条件（两步缺一不可） 先令分子 解出未知数的值，再代入分母检验 ，保留使分母不为 的值。如 ：由 得 ，且 ，故 。 2.3 约分的规范步骤 先把分子、分母分解因式，再约去它们的公因式，结果化为最简分式或整式。如 。 2.4 确定最简公分母的方法 取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积；分母是多项式时先分解因式。如 与 ：，，最简公分母是 。 2.5 分式化简求值 先化简为最简分式或整式，再代入求值，可大幅减少计算。如先化简 ，当 时原式 。 2.6 含参数分式方程：已知增根求参数 把增根（使最简公分母为 的值）代入去分母后的整式方程，解出参数。如关于 的方程 有增根 ，则 满足整式方程 ，代入得 。 【使用提醒】增根产生于”去分母”这一步，必须把增根代入的是去分母后的整式方程，而非原分式方程。 2.7 分式方程”无解”与”有增根”的区分 分式方程无解分两种情况：去分母后的整式方程无解；或整式方程的解全是增根。“有增根”只是”无解”的一种可能，反之”无解”不一定有增根。如 去分母得 ，整式方程无解，故原方程无解。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 先约分再相乘 分式乘法时，分子、分母有公因式先约分，再做乘积，结果最简 分子相减加括号 同分母分式相减，分子是多项式时整体加括号再相减，防止符号错 相反因式提负号 与 互为相反数，通分、约分时提取负号统一 设参数 解连比 可设 ，，，代入等式求值 ，设 等，由周长得 ， 比例中项自乘 是 、 的比例中项，等价于 是 与 的比例中项，则 ， 4. 常见考试模型 4.1 行程问题（含顺流、逆流） 公式：时间 ；静水速度 、水流速度 时，顺流速度 、逆流速度 。 限定：速度、时间为正，负值舍去。 示例：如 ，解得汽车速度 ，则高速列车速度 。 4.2 工程问题 公式：把工作总量看作 ，工作效率 ，或列”甲工作量 乙工作量 总工作量”。 限定：时间、效率为正。 示例：如甲队单独做如期完成、乙队延期 天，列 型方程求解。 4.3 购买、单价问题 公式：单价 ，数量 。 限定：单价、数量为正。 示例：如 与 分别表示甲、乙商店的单价，乙商店每枚更便宜。 4.4 比例分配问题 公式：总量按连比 分配，各部分为 总量、 总量、 总量。 限定：各部分之和等于总量，比例各项为正。 示例：如志愿服务总时长 按 分，两年级分别为 和 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：约分后误以为分式对任意字母都有意义 典例：当 满足什么条件时，分式 有意义？ 错解：，所以对任意实数 ，分式都有意义。 正解：分式有意义的条件是分母不为 ，即 ，所以 。约分所得 与原分式只是值相等，原分式的分母 必须不为 ，因此 。 原因：把”约分后值不变”误当成”分式有意义的条件也不变”。约分约去了含字母的因式 ，而这个因式恰是决定分式是否有意义的分母的一部分，当 时它为零，原分式无意义。约分可以改变分式的”形式”，但不能改变分式”有意义”的范围——判断有意义必须回到约分前的原分母。 易错点 2：约分时把”相同的项”当成”公因式”约掉 典例：判断等式 是否正确。 错解：分子、分母同时约去 ，得 ，所以正确。 正解：不正确。 与 中， 是”项”而不是”因式”，分子、分母没有除 以外的公因式， 已是最简分式，不能约分。 原因：把”约去公因式”误解为”约去相同的字母或项”。约分只能约去分子、分母的”公因式”，即都含有的”相乘的因式”；而 是 与 相加（项）， 不能从中单独约出。同理 不能约成 ，必须先提公因式再约。 易错点 3：分式相减时分子漏加括号，符号出错 典例：计算 。 错解：原式 。 正解：原式 。 原因：忽略”减号后是多项式要加括号”。分子相减时，被减的分式的分子是一个多项式（如 ），作整体相减必须先加括号，再去括号时每一项的符号都要改变；学生直接”照抄”后半部分，漏了变号，导致 未变成 。 易错点 4：解分式方程不检验，把增根当作方程的解 典例：解方程 。 错解：方程两边都乘 ，得 ，解得 。所以原方程的解是 。 正解：两边都乘 ，得 ，解得 。检验：当 时，，，所以 是增根，原方程无解。 原因：分式方程去分母时，方程两边同乘了一个含未知数的整式，可能把使该整式为 的值”带进来”成为整式方程的解，但这个值不满足原方程。因此解分式方程”检验”是必要步骤，不能省略；学生沿用了解整式方程”解完即答”的习惯，缺少验根意识。 易错点 5：求分式值为 0 只令分子为 0，漏验分母 典例：当 取何值时，分式 的值为 ？ 错解：由 ，得 ，所以 。故当 或 时，分式的值为 。 正解：由分子 ，得 。检验分母：当 时，，分式无意义，舍去；当 时，。所以只有当 时，分式的值为 。 原因：分式的值为 需要同时满足”分子 “和”分母 “两个条件，学生只完成了第一步”令分子为 “，忘了第二步”回代验分母”。根源是把”分式的值为 “与”分子为 “划等号，忽略了分式有意义的前提。 易错点 6：比例中项概念不清，位置摆错 典例：已知 是 与 的比例中项，求 的值。 错解：由 ，得 。 正解： 是 与 的比例中项，即 ，利用比例的基本性质得 ，所以 。 原因：没记清”比例中项”的定义——当 时 是 、 的比例中项，即”中间项 自乘等于两端两项的乘积”（）。学生把比例中项误当成”外项”或随意摆放位置，写出 这类式子。记牢 即可避免位置错乱。 学科网（北京）股份有限公司 $