第7章 图形与坐标（单元自测）数学新教材青岛版八年级上册

第7章 图形与坐标 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A．东偏南方向 B．嘉嘉家距学校 C．电影院第2排 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查确定物体具体位置的要素，确定物体的具体位置需要两个相互独立的定位信息(单一的方向、距离或排数等都无法确定唯一位置)． 【解析】A选项：东偏南方向只有方向信息，没有距离，不能确定物体的具体位置； B选项：仅知道距学校，没有明确方向，以学校为圆心、为半径的圆上的点都满足该条件，无法确定具体位置； C选项：电影院第2排包含多个座位，仅排数无法确定具体的座位位置； D选项：东经，北纬是一组经纬度坐标，两个参数能唯一确定地球上某一点的具体位置； 故选D． 2．关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】抓住有序实数对的顺序性，以及坐标轴上的点不属于任何象限的特点，逐一判断各说法的正误． 【解析】∵平面直角坐标系中每个点对应唯一的有序实数对， ∴点的坐标是唯一确定的，①正确； ∵坐标与的横、纵坐标均不相同， ∴二者表示不同的点，②错误； ∵点的横坐标为0，在轴上，坐标轴上的点不属于任何象限， ∴点不在第三或第四象限，③错误； 综上，正确的说法共1个．故选B． 3．若点在第一象限，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．直接利用第一象限点的坐标特点得出的符号，进而得出答案． 【解析】点在第一象限， ，则， 则点在第二象限． 故选B． 4．在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D． 【解析】∵，， ∴点在第四象限， ∵，， ∴点在第二象限，故A正确； ∵，， ∴点和点关于原点对称，故B正确； 点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误； 由勾股定理可得，，故D正确． 故选C． 5．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点的坐标为．故选A． 6．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系； 根据已知可得图形“凸”的周长为，根据的余数为即可求解． 【解析】∵轴，轴，点，，，在轴上，，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，，，，，， ∴按的方向缠绕一周的总长度为， ∵， ∴细线另一端所在位置为中点处， ∴细线另一端所在位置的坐标为． 故选C． 7．为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和平面直角坐标系中点的特征，利用等边三角形的性质求解点的坐标是解题的关键． 首先作辅助线构造直角三角形，再利用等边三角形的性质求解点B的横坐标，最后利用勾股定理求点B的纵坐标，最后确定点B的坐标即可． 【解析】如图，过点B作于点C， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵点B在第一象限， ∴， 故选D． 8．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，每个点为一个循环，分别位于第三、二、一、四象限，根据是的倍数，确定位于第四象限且属于第个正方形即可求解． 【解析】由图可知，每个点为一组，对应一个正方形，且顺序依次为第三、二、一、四象限， ， 位于第个正方形的第四象限顶点处， 第个正方形的边长为，中心在原点， 第个正方形顶点的横、纵坐标绝对值均为， 第四象限点的符号特征为， 的坐标为．故选C． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 分别过点作轴的垂线，交轴于点，证明，得到，进而根据点的坐标求出，进而可知点的坐标． 【解析】如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点， 所以， 所以． 因为为等腰直角三角形， 所以， 所以， 所以． 在和中，， 所以， 所以． 因为点的坐标为， 所以． 因为点在第一象限， 所以点的坐标为． 故选A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为________ 【答案】2 【分析】本题考查了点的坐标，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离．根据横坐标的绝对值是点到y轴的距离，可得答案． 【解析】在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为2． 故答案为2． 11．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________. 【答案】 【解析】设， P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ，， 点P在第二象限内， ，， 则P点坐标为.故答案为$\left(-4,3\right)$． 12．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据在轴上的点纵坐标为求出的值，进而可求点的坐标． 【解析】∵点的坐标为，且点在轴上， ∴， 即， ∴， 即点的坐标为． 故答案为． 13．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，求点到坐标轴的距离，根据第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，且点到两坐标轴的距离相等，即横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】由点在第二象限，得，， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵，， ∴， 解得， 代入得点坐标为， 故答案为． 14．利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第________象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了新定义下的坐标变换以及平面直角坐标系中象限的坐标特征．根据“加密点”的定义，求出点的坐标，再根据各象限点的坐标符号特征，分析参数的取值范围，判断点可能出现的象限即可解答． 【解析】点的加密点的坐标计算如下： 横坐标为， 纵坐标为， 因此点的坐标为， 象限判断： 若在第一象限，则且，即且，解得； 若在第二象限，则且，即且，解得； 若在第三象限，则且，即且，无解； 若在第四象限，则且，即且，解得； 由以上分析，点可能出现在第一、第二、第四象限，但不可能出现在第三象限． 故答案为三． 15．已知点，则点P到x轴的距离是 ________． 【答案】3 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．根据点到坐标轴的距离求解即可得到答案． 【解析】点， 点P到x轴的距离是． 故答案为． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）已知点， （1）若点A在x轴上，求a的值； （2）若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标特征； （1）根据点在x轴上可知纵坐标为0，进而问题可求解； （2）根据平行于y轴的线上所有的点的横坐标相等可得方程，然后问题可求解． 【解析】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴， ∴a的值为． （2）∵点B的坐标为，且轴， ∴，得． ∴， ∴点A的坐标为． 17．（7分）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握点的坐标是解题的关键； （1）根据点P在y轴上可得，然后问题可求解； （2）由直线轴可知点P、Q的纵坐标相等，即，然后问题可求解． 【解析】（1）解：因为在轴上， 所以，所以， 所以， 所以． （2）解：因为，轴， 所以，所以， 所以， 所以． 18．（7分）已知点． （1）若P点在第二象限，求m的取值范围． （2）点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内点的坐标， 对于（1），根据第二象限内的点，横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组，解之即可； 对于（2），令纵坐标为，求得m的值，代入点P的坐标即可求解． 【解析】（1）解：∵P点在第二象限， ∴，     解得：； （2）令， 解得， ∴， ∴． 19．（7分）在平面直角坐标系中有一点的坐标为． （1）若点在第一象限且到轴的距离为，求点的坐标； （2）若点的坐标为且轴，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，坐标与图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）由点到轴的距离为，则，又点在第一象限，所以，然后求出的值，再代入即可； （ ）由轴且点的坐标为，得，然后求出的值，再代入即可． 【解析】（1）解：∵点到轴的距离为， ∴， 又∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴且点N的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 20．（7分）已知点． （1）若点在轴上，则点的坐标为________； （2）若点的纵坐标比横坐标大6，则点在第几象限？ （3）若点和点都在过点且与轴平行的直线上，，求点和点的坐标． 【答案】（1）； （2）第二象限； （3）点的坐标为，点的坐标为或 【分析】（1）轴上点的坐标特点是纵坐标为，据此求解可得； （2）由题意可列出方程，求出的值，可得到点坐标，即可确定其所在象限； （3）与轴平行的直线上点的特点是纵坐标都相等，根据这个性质即可求解． 【解析】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得，则， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大， ∴， 解得， 则，， ∴点坐标为，在第二象限； （3）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得，则， ∴点坐标为． ∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴点纵坐标为． ∵， ∴当点在点左边时，横坐标为； 当点在点右边时，横坐标为； ∴点坐标为或． 21．（8分）定义：有序数对表示位于第m行第n列的一个数，如有序数对表示位于第2行第1列的数2． （1）有序数对表示的数是________； （2）求数对应的有序数对． 【答案】（1） （2）数对应的有序数对为 【分析】（1）根据图中数据变化规律可推导出表示的数； （2）根据图中数的排列可得出至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，从而即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，如图： 由图可知偶数行第一个数是所在行数，平方后依次减少1，到该行数加1列为止；奇数行第一个数是所在列数，平方后依次减少1， ∴第6列的第一个数是5的平方加上1，再开平方，第6列的第4个数是25加上4的结果再开平方，开方后为． （2）解：根据题意，由（1）图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数；…… ∴至中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始． ∵，， ∴位于第9行，第7列， ∴数的位置为有序数对． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． （2）请画出关于轴的对称图形，的面积为________． （3）在轴上画出点使最小． 【答案】（1） 如图，即为所求，，，； （2） 如图，即为所求， （3） 如图，连接交轴于点，点即为所求． 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，直角坐标系，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键． （1）先根据对称的性质作图，再根据所作图形写出，，的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式求解即可； （3）由于点、关于轴对称，所以，则，当、、共线时，最小，所以连接交轴于点，点即为所求． 【解析】（1）略 （2）解：的面积为：， 故答案为； （3）略 23．（8分）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． （1）求的度数； （2）若，写出小华家相对学校的位置． 【答案】（1）； （2）小华家C在学校的南偏东方向处． 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【解析】（1）解：∵点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东， ∴． 答：的度数为． （2）设点D为点O正南方向上的一个点，如图 ∵， ∴， ∴小华家C在学校的南偏东方向处． 24．（8分）在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若M在x轴上，求M点的坐标； （2）若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标； （3）若轴，且，则n的值为 ． 【答案】（1） （2）点N的坐标为或 （3）5或1 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质． （1）根据x轴上点的坐标纵坐标为0，列方程求解即可解决问题； （2）根据点到y轴的距离是其横坐标的绝对值即可解决问题； （3）根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等求解即可． 【解析】（1）解：∵点M在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：∵点N到y轴的距离等于5，则， ∴， ∴点N的坐标为或； （3）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， 解得或3， 当时，； 当时，． 综上所述，n的值为5或1． 故答案为5或1． 25．（8分）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． （1）已知点，， ①线段的“轴距”________； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”________； （2）已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①4；②1 （2）①或5；②或 【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可 （2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可； ②分和讨论即可． 【解析】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大，∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ， ∵线段上点C到x轴的距离最大，∴； （2）解：①∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5； ②∵，， I. 当时，，， ∴，， ∴， ， ∴当时，的值总不变； II. 当时，，， ∴， ∴， III. 当时，，，即， ∴，， ∴， ∴当时，的值总不变； 综上，当或时，的值总不变． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 图形与坐标 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．下列数据能确定物体具体位置的是（ ） A．东偏南方向 B．嘉嘉家距学校 C．电影院第2排 D．东经，北纬 2．关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若点在第一象限，则点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（ ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 5．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴的距离是4，到轴的距离是3，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．为等边三角形，如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为________ 11．在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点坐标为________. 12．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为________． 13．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是________． 14．利用数学公式处理原始数据是数据加密的一种有效方式． 【定义】将点变换得到点，则称点是点的“加密点”． 【示例】点的“加密点”是点． 【问题】点的“加密点”不在第________象限． 15．已知点，则点P到x轴的距离是 ________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）已知点， （1）若点A在x轴上，求a的值； （2）若点B的坐标为，且轴，求点A的坐标． 17．（7分）在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）若点在轴上，求出点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标． 18．（7分）已知点． （1）若P点在第二象限，求m的取值范围． （2）点P在过点，且与x轴平行的直线上，求P点的坐标． 19．（7分）在平面直角坐标系中有一点的坐标为． （1）若点在第一象限且到轴的距离为，求点的坐标； （2）若点的坐标为且轴，求点的坐标． 20．（7分）已知点． （1）若点在轴上，则点的坐标为________； （2）若点的纵坐标比横坐标大6，则点在第几象限？ （3）若点和点都在过点且与轴平行的直线上，，求点和点的坐标． 21．（8分）定义：有序数对表示位于第m行第n列的一个数，如有序数对表示位于第2行第1列的数2． （1）有序数对表示的数是________； （2）求数对应的有序数对． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴的对称图形，并分别写出，，的坐标． （2）请画出关于轴的对称图形，的面积为________． （3）在轴上画出点使最小． 23．（8分）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点A位于点O的北偏西，点B位于点O的北偏东．其中． （1）求的度数； （2）若，写出小华家相对学校的位置． 24．（8分）在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若M在x轴上，求M点的坐标； （2）若点N到y轴的距离等于5，求N的坐标； （3）若轴，且，则n的值为 ． 25．（8分）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． （1）已知点，， ①线段的“轴距”________； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”________； （2）已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $