第6章 一元一次不等式（单元自测）数学新教材青岛版八年级上册

第6章 一元一次不等式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．若m●4是不等式，则符号“●”可以是（ ） A．+ B．= C．× D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．用符号“，”或“、”表示大小关系的式子，叫做不等式． 如． 像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义即可求解． 【解析】∵若m●4是不等式，则符号“●”可以是． 故选D． 2．，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项合并同类项，不等式两边同除以负数，改变不等号方向，求出的取值． 【解析】移项得，合并同类项得，可得．故选B． 3．用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的定义，代数式表示不等式，根据“平方和不小于积的2倍”即，“不小于”表示大于或等于，表示为，由此即可求解． 【解析】根据题意得到，， 故选B． 4．若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解求参数的取值范围等知识；解不等式得，根据解集只有正整数解1与2，即可求得的取值范围． 【解析】解，得：， ∵关于x的不等式的正整数解只有1和2， ∴， 解得：， 故选B． 5．不等式的非负整数解的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴ 该不等式的非负整数解为，共个．故选A． 6．定义运算“*”：若，则的值为（ ） A． B．6 C．或6 D．或 【答案】C 【分析】此题考查解不等式，解分式方程，根据题意分情况：①当，②当，分别求出x的取值范围，根据公式列分式方程求解即可． 【解析】由题意得， ①当，即时， ∴，即 解得， 经检验，当时，， 是分式方程的解且符合； ②当，即时， ∴， ， 解得， 经检验，当时，， 是分式方程的解且符合， 则的值为或6， 故选C． 7．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 【解析】∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选D． 8．已知关于的不等式有且仅有三个正整数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴． ∵该不等式有且仅有三个正整数解， ∴正整数解为1，2，3， ∴且． 由，得，解得； 由，得，解得， ∴．故选C． 9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再由确定y的范围即可得出答案． 【解析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元， 根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时， ， ， ， ， 当购买C类会员年卡时，消费最低， 最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”的规则即可得到答案． 【解析】∵关于x的不等式组的解集是， ∴， 故答案为． 11．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：________． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集； 先由数轴判断不等式的解集，再根据解集写出一元一次不等式即可． 【解析】由数轴可知解集为， ∴解集是的一元一次不等式为：， 故答案为． 12．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ________． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【解析】解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为3． 13．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与一元一次不等式组，根据流程图结合程序操作进行了两次才停止列出不等式组进行求解即可． 【解析】由题意，得：， 解得：； 故答案为． 14．若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，先根据b的取值范围求出的取值范围，再结合a的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围． 【解析】∵，， ∴， ∴，即， 故答案为． 15．不等式的解集是________． 【答案】且 【分析】本题考查不等式大于零的条件，根据题意得到且，求出x的取值范围即可． 【解析】∵，， ∴， 解得且， 故答案为且． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． （1）求公蟹、母蟹的售价； （2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】（1）公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）购买34个公蟹，66个母蟹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【解析】（1）解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 17．（7分）解下列不等式，并把（1）的解表示在数轴上． （1） （2） 【答案】(1)， 将解集表示在数轴上如下： （2） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式． （1）移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解析】（1）解：， ， （2）解：， ， ， ． 18．（7分）解下列不等式（组） （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：， 解①得， 解②得， ∴． 19．（7分）已知三个实数，，满足，． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【分析】本题主要考查不等式的基本性质： （1）根据和即可求得答案； （2）根据，可变形得到，据此即可求得答案． 【解析】（1）略 （2）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 20．（7分）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 【答案】（1）甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号机器人单价为10万元 （2）购买甲种型号机器人5套、乙种型号机器人5套时所花资金最少，最少资金是115万元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用与一元一次不等式的最值问题，解题关键是根据题意建立方程或不等式模型，结合一次函数单调性求解最优方案． （1）设乙种型号机器人单价为未知数，根据“甲单价比乙多 3 万元”和“100 套甲与 130 套乙费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解得到甲、乙单价． （2）设购买甲种机器人数量为未知数，用总套数表示乙种数量，建立总资金的一次函数；根据“资金不低于 114 万元”列不等式求出甲种数量的取值范围，再结合一次函数单调性，找到使总资金最少的购买套数及最少资金． 【解析】（1）解：设乙种型号机器人的单价为万元，则甲种型号机器人的单价为万元． 根据“购买 100 套甲和 130 套乙费用相同”列方程： 展开得 解得 则甲种型号单价为：（万元）． 答：甲种型号机器人单价为13万元，乙种型号为10万元． （2）设购买甲种机器人套，则购买乙种机器人套（，且为整数）． 总资金． 根据资金不低于 114 万元， 列不等式： 解得： 由于为整数， 故． 因为中，随增大而增大， 所以当时，最小． 此时乙种机器人：（套）， 最少资金：（万元）． 答：购买甲、乙各 5 套时资金最少，最少资金为 115 万元． 21．（8分）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为．求整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ①②，得，解得． 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为 ∵该方程组的解满足为非正数，为负数， ∴ 解得． （2）∵， ∴ ∵不等式的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴． 又∵为整数，∴． 22．（8分）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由如下： 因此， 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项求解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）利用不等式的基本性质，乘以负数不等号方向改变，从而比较大小 【解析】（1） 去括号， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得，， 把它的解集在数轴上表示出来如下： ． （2） 略 23．（8分）解下列不等式（组）： （1）． (2)，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 【答案】（1） (2)， 在数轴上表示如图所示， 整数解为：、、 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式解集，解题的关键在于熟练掌握解一元一次不等式基本步骤． （1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，并确定所有整数解即可． 【解析】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为 它的所有整数解为、、． 24．（8分）（1）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【答案】（1），数轴表示如下所示： （2），数轴表示如下所示： （3）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解析】（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为，最小整数解为． 25．（8分）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于x的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”． （1）若关于x的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”； （2）若关于x的代数式是的“友好代数式”，则m的值是________； （3）若关于x的代数式是的“友好代数式”，求a的最大值和最小值． 【答案】（1）3；0；不是 （2）4 （3）最大值为4，最小值为0 【分析】（1）根据，得出，进而求出的范围为，然后再根据“友好代数式”的定义直接判断即可； （2）根据，而中和3时候，两个绝对值中有一个为零，故把取值范围分为，，，分段来求而的取值范围，然后再根据“友好代数式”的定义，确定取值； （3）关键我们要讨论出的最大值和最小值，并且用含的代数式表示出来． 当，时，有，所以，所以时，的最大值为，或时的最小值为；所以可得不等式组，当，时，有，所以，所以时，的最小值为，或时的最大值为；所以可得不等式组，分别解两个不等式组即可得到答案． 【解析】（1）解：， ∴， ∴， ∴的最大为3最小值为0， 显然的取值范围不在得范围之内，故它不是友好代数式． 故答案为3；0；不是． （2）解：在中， 当时，时有最大值为4，时有最小值为2， ∴， 当时，时有最大值为4，时，有最小值2， ∴， 当时，或4时有最大值为4，时，有最小值2， ∴， 而当时，，但是每增加1，增加2，此时的范围就不在变化的范围之内．也就不一定为的“友好代数式”了； 综上所述对于代数式是的“友好代数式”， ∴的值是4． 故答案为4． （3）解：， ∴， ∴； ①当时，时，有最大值为， 或时有最小值为， ∴可得不等式组，解得：，， ∴； ②时，时，有最小值为， 或时的有大值为， 所以可得不等式组，解得：，，且， ∴无解； 综上分析可得：， ∴的最大值为4，最小值为0． 【点睛】本题考查了代数式取值范围，绝对值的意义，难度较大，考查学生的综合分析能力，同时也考查了一元一次不等式组的解集问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 一元一次不等式 （考试时间：60分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分） 1．若m●4是不等式，则符号“●”可以是（ ） A．+ B．= C．× D． 2．，则（ ） A． B． C． D． 3．用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．不等式的非负整数解的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 6．定义运算“*”：若，则的值为（ ） A． B．6 C．或6 D．或 7．若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式有且仅有三个正整数解，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A类 50 25 B类 200 20 C类 400 15 例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40~50次之间，则最省钱的方式为(   ) A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡 C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 10．关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是________． 11．请写出一个解集在数轴上表示如图所示的一元一次不等式：________． 12．关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ________． 13．按照如下程序，输入的值并计算．若规定从“输入一个值”到“判断结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是________． 14．若，，则的取值范围为________． 15．不等式的解集是________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 75 分） 16．（7分）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． （1）求公蟹、母蟹的售价； （2）赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 17．（7分）解下列不等式，并把（1）的解表示在数轴上． （1） （2） 18．（7分）解下列不等式（组） （1）； （2）． 19．（7分）已知三个实数，，满足，． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 20．（7分）随着deepseek的技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的单价多3万元，经过调研发现购买100套甲种型号的机器人和购买130套乙种型号的机器人所花费用一样． （1）求甲、乙两种型号的机器人的单价各多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么购买甲、乙两种型号的智能机器人各多少套，所花资金最少？最少资金是多少万元？ 21．（8分）已知关于，的方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围． （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为．求整数的值． 22．（8分）（1）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来． （2）若，比较和的大小，并说明理由． 23．（8分）解下列不等式（组）： （1）． (2)，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解． 24．（8分）（1）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 25．（8分）若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于x的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”． （1）若关于x的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”； （2）若关于x的代数式是的“友好代数式”，则m的值是________； （3）若关于x的代数式是的“友好代数式”，求a的最大值和最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $