第十五章 轴对称（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十五章 轴对称（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A C B B C B C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11． 12． 13．40°/40度 14．64 15．2.6 16． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解：（1）如图， 根据题意，分两种情况讨论， 若12是腰长加腰长的一半，即， 则腰长， 底边长， 此时三角形的三条边长为8、8、2，可以构成三角形； 若6是腰长加腰长的一半，即， 则腰长， 底边长， 此时三角形的三条边长为4、4、10，，不可以构成三角形； 故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8，2．...............4分 （2）分两种情况讨论： 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示： 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 综上，这个等腰三角形的底角的度数为或．...............8分 18．（8分）(1)................4分 (2)；；；，................8分 19．（10分）(1)解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；................5分 (2)证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点A、D在线段的垂直平分线上， ∴所在直线是线段的垂直平分线．................10分 20．（10分）(1)．...............5分 (2)解：由（1）可知：，， 把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到， ∴，，， 即，，． ，，................10分 21．(10分) （1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，；................6分 （2） 解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． ................10分 22．(10分)(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形．................5分 (2)是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形．................10分 23．(10分)(1)证明：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ................5分 （2）解：∵是的平分线，，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴，， 上两式相加得， ∴．................10分 24．(10分)【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ， ∵， ∴；................3分 （2），理由如下： 在上取一点K，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ， ∵在和中， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；................6分 （3）解：当取得最小值时，，此时点为中点，当取得最小值时，，，此时点和点重合，点为中点， ∵是等边三角形， ∴，， 同理， ∴， ∴．................10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十五章轴对称 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.中式传统纹样来源于自然，高于自然.是民族智慧的结晶，也是文化的图腾.下列中国传统纹样图案 中，是轴对称图形的是（) B P3,6)关于x轴对称的点P的坐标是（） 2.点 A.P(36) B.P(-36) c.P'(3-6) D.P'(6,-3) 3.如图，在△ABC中，点E是BC边上的点，DE垂直平分AB,若△ABC与△AEC的周长之差为10，则 AB的长为() D A.6 B.10 C.12 D.16 4.泉塘中学英歌队的队旗是等腰三角形，若它的顶角为80°，则它的一个底角为() A.50° B.80 C.60 D.100° 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E,F是AD上的两点，AB=AC,BC=4,AD=3,则 图中阴影部分的面积是() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.12 B.6 C.3 D.4 6.如图，等边△ABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点E,若AD=9,则DE的长为 () 4 B ◇ G 0 A.4 B.2 C.3 D. 7.在△ABC中，如果AB>AC>BC,那么∠A,∠B,∠C的大小关系为() A.∠A>∠B>∠C B.∠C>∠B>∠A C.∠B>∠C>∠A D.∠A>∠C>∠B 8.如图，在△ABC中，∠BAC=15°，AC=BC=10,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠ACB=75°，AD⊥BC于点D,M、N两点分别是线段 AC、AD上的动点，则MN+CN的最小值是() 218 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M D A.3.5 B.4 C.5 D.6 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，,AC=2AD,点D是MC的中点，AE⊥AC,交直 线CD于点E,MF⊥AB于点F,MN⊥AC于点N,则下列结论：①△CBD≌△MFD;② CN-BCD=60P:图E+C=2N:④诺AN:BD=32·则Sa%=)w. 论正确的个数是() M E B A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.一个汽车牌照在水中的倒影为上2ò283，则该汽车牌照号码为， a+b 12.己知点A(2,a)和点B(b,-)关于x轴对称，则2 13.如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，己知∠AOB=120°， ∠CDB=20°，则∠AEF= 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F C D 14.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BE、EF为折痕.∠AEB=53°，∠DEF=69°，则 ∠A'ED'= 度 D A 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=1.3Cm,则 BF= cm F E B D 16.如图，等边△ABC中，AB=8,点D为AC边上一动点，连接BD,点M,N在BD上，连接CM, AN AN,∠AND=60,∠BCM=∠ABD·设AD=m(m<4),则MN—. (用含m的代数式表示) M 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)(1)在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长 (2)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数. 18.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=90° B (I)尺规作图：作AC的垂直平分线，交AC于点E,交BC于点D,连接AD.(保留作图痕迹，不写作法， 不写结论)； (2)在(1)的条件下，若AD平分∠CAB.求证：AC=2AB 证明：DE为AC的垂直平分线， .DE⊥AC ①， ∠ABC=90° ②， AD平分∠CAB, .③， 在△ABD和△AED中， [∠BAD=∠EAD ∠ABC=∠AED AD=AD ∴.AABD≌△AED(AAS) ④， DE为AC的垂直平分线， .AC=2AE, .∴.AC=2AB 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交CB于点D,DE⊥AB于点E,CE与 AD相交于点F. B (I)若∠B=30°，BD=6,求CD的长： (2)求证：AD所在直线是线段CE的垂直平分线. 20.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△MBC的三个顶点都在格点上.点A的坐标为 ,4),请解答 下列问题： -r (I)画出△ABC △ABC A 于x轴对称的 ,并写出点的坐标： ②把△48G先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得 △A4B,C,并写出 4，B2C2 每个顶点的坐 标： 21.(10分)如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然后回到B地.牧民到河边的什么 地方饮马可使所走的路程最短？ A B B A B 图① 图② 图③ 图④ 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线1的对称点B,连接AB与直 线I交于点P,点P就是饮马的位置. 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于点P',在直线1上任取一点P(与点 P'不重合)，连接BP 点B与点B关于直线I对称 ..PB= PB= .AP+PB=AP+PB'≥ 当A,P,B三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就是饮马 的位置。 (1)解决问题：补全证明过程： (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD上建一水厂P,并从 水厂向两村铺设管道以输送自来水.请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短.（保 留作图痕迹，不写作法) 22.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=a, △BOC≌aADC,，∠OCD=60°，连接OD」 110 (I)求证：△OCD是等边三角形； (2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； 23.(I0分)如图，CD是∠ACE的平分线.DP垂直平分AB于点P,DF⊥AC于点F,DE⊥BC于点 E 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AF=BE: (2)若AC=7,BC=3,求CE的长. 24.(10分)如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作 FG⊥BC于点G,并交AB于点E. (1)求证：△AFE为等腰三角形. (2)若E为AB的中点，求证：EF=2EG 25.(10分)在等边△ABC中，D、E分别是边AC、BC上两动点，连接AE、BD交于点P. 图1 图2 图3 (I)如图1，当BE=CD时，求∠APD的度数： ②如图2，在()间的条样下延长D至点p,连接Cr·当F-APD,怀=3B时，探元AP 2 BP的数量关系； B)如图3，在射线E上取一点G,使4G=CD,当，(CG+BD)均取得最小值时，直接写出∠APD的度 数. 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(重庆专用) 第十五章 轴对称 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中式传统纹样来源于自然，高于自然．是民族智慧的结晶，也是文化的图腾．下列中国传统纹样图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点是边上的点，垂直平分，若与的周长之差为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．泉塘中学英歌队的队旗是等腰三角形，若它的顶角为，则它的一个底角为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 6．如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 7．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在等腰中，，，于点D，M、N两点分别是线段上的动点，则的最小值是（     ） A．3.5 B．4 C．5 D．6 10．如图，在中，，，，点是的中点，，交直线于点，于点，于点．则下列结论：①△CBD≌△MFD；②；③；④若，则．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 12．已知点和点关于轴对称，则___________． 13．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 14．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．，，则____________度． 15．如图，在中，平分于点于点，则______． 16．如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）（1）在等腰三角形中，，一腰上的中线将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求这个等腰三角形的底角的度数． 18．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)在（1）的条件下，若平分．求证：． 证明：为的垂直平分线， ， ① ， ， ② ， 平分， ③ ， 在和中， ④ ， 为的垂直平分线， ， ． 19．（10分）如图，在中，，平分交于点D，于点E，与相交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：所在直线是线段的垂直平分线． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．点A的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)把先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到，并写出每个顶点的坐标： 21．（10分）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（10分）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 23．（10分）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（10分）如图，中，，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点． (1)求证：为等腰三角形． (2)若E为的中点，求证：． 25．（10分）在等边中，、分别是边、上两动点，连接、交于点． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，在（1）问的条件下延长至点，连接，当，时，探究、的数量关系； (3)如图3，在射线上取一点，使，当均取得最小值时，直接写出的度数． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十五章轴对称 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.中式传统纹样来源于自然，高于自然.是民族智慧的结晶，也是文化的图腾.下列中国传统纹样图案 中，是轴对称图形的是() B C 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 据此逐一判断即可。 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个图形中只有C选项中的图形是轴对称图形 P(-3,6) 2.点 关于轴对称的点P的坐标是() A P'(3,6) B.P'36) c.P(3,-6) D.P'(6,-3) 【答案】B 【详解】解：，关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， 点P(3,6 关于轴对称的点P的坐标为3) 3.如图，在△ABC中，点E是BC边上的点，DE垂直平分AB,若△ABC与△AEC的周长之差为l0,则 AB的长为() 1/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.6 B.10 C.12 D.16 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE,再根据△ABC与△AEC的周长之差为10列式计算即可. 【详解】解：，DE垂直平分AB, ∴.AE=BE, :△ABC与△AEC的周长之差为10 (AB+BE+CE+AC)-(AE+CE+AC)=10 (B+AE+CE+AC)-(E+CE+AC)-10 AB=10 4.泉塘中学英歌队的队旗是等腰三角形，若它的顶角为80°，则它的一个底角为() A.50° B.80° C.60° D.100° 【答案】A 【详解】解：，等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，顶角为80°， 180°-80°=50° “.一个底角的度数为2 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E,F是AD上的两点，AB=AC,BC=4,AD=3,则 图中阴影部分的面积是() F 2/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.6 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据题意可得△ABC为轴对称图形，AD所在的直线为△ABC的对称轴，根据轴对称的性质可得 =Sm,并求出S.m,然后即可求出结论。 【详解】解：：AB=AC,AD是BC边上的高， ∴.△ABC为轴对称图形，AD所在的直线为△ABC的对称轴， 1 11 ∴.S.EBF=SECF,S。ABD=亏SABc= 2 *2B1D=30m Snw=S.m+Suc+8.m =SABE +SEBF +SFBD S.ABD =3cm2 故选C 【点睛】此题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键， 6.如图，等边△ABC,BG=CF,AG与BF交于点D,AE⊥BF于点E,若AD=9,则DE的长为 () D B G 9 9 7 A.4 B.2 C.3 D.2 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合BG=CF,可以证出△ABG≌△BCF,从而得到∠BAG=∠CBF 利用等量代换和外角的性质，求得∠ADE=60°，根据直角三角形的性质，得到DB=2AD,代入AD的值， 3/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求出答案 【详解】解：：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=∠C=60°， 在△ABG和△BCF中， AB=BC ∠ABG=∠BCF BG=CF ÷41BG2 BCF(SAS) ·.∠BAG=∠CBF, :∠ADE是△ABD的一个外角， ∴∠ADE=∠DBM+∠BAG=∠DBM+∠CBF=∠ABC=60°， ,AE⊥BF, ∠AED=90° .∠EAD=90°-∠ADE=30°， D=9 在R△ABD中，E=号 7.在△ABC中，如果AB>AC>BC,那么∠A,∠B,∠C的大小关系为() A.∠A>∠B>∠C B.∠C>∠B>∠A C.∠B>∠C>∠A D.∠A>∠C>∠B 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键。 先根据三角形概念得到AB、AC、BC的对角分别为∠C、∠B、∠A,再根据AB>AC>BC得出 ∠C>∠B>∠A结论 【详解】解：：在△ABC中，AB>AC>BC, 又，AB、AC、BC的对角分别为∠C、∠B、∠A, ∴.∠C>B>∠A 故选：B 8.如图，在△ABC中，∠BAC=15°，AC=BC=10,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长为 () 4/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】根据AC=BC=10得到∠BAC=∠B=15°，从而得到∠ACD=15°+15°=30°，根据含30度角的直 角三角形的性质，即可得到答案。 【详解】解：，AC=BC=10, .∠BAC=∠B=15°， .∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°. :AD⊥BC, 80-c-5 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=8,∠ACB=75°，AD⊥BC于点D,M、N两点分别是线段 AC、AD上的动点，则MN+CN的最小值是() B D A.3.5 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】利用等腰三角形三线合一性质得出AD垂直平分BC,易得CN=BN,根据垂线段最短确定 MN+CN的最小值为点B到AC的距离，结合含3O°角的直角三角形性质求解即可. 【详解】解：如下图，连接BN, 5/26 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D :AB=AC,AD⊥BC, ∴AD垂直平分BC, ..CN=BN .MN+CN MN+BN. 当B,N,M三点共线且BM⊥AC时，MN+BN取得最小值，最小值为点B到AC的距离，如下图， A M B D :AB=AC=8,∠ACB=75°， :.∠ABC=∠ACB=75°， ∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB)=30° 在Rt△MBM中，BM-)AB=4 10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,AC=2AD,点D是MC的中点，AE⊥AC,交直 线CD于点E,MF⊥AB于点F,MN⊥AC于点N.则下列结论：①△CBD≌△MFD:② 1 ∠CMN-∠BCD=60:③MF+BC=2MN:④若AN:BD=3:2,则Sam-Sar=2S形wr.其中结 6/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 论正确的个数是() M E A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：，点D是MC的中点， ∴.CD=MD ,MF⊥AB,CB⊥AB, ·∠B=∠MFD=90°， 在aCBD和△MFD中， ∠B=∠MFD=90° ∠BDC=∠MDF CD=MD △CBD≌AMFD(AAS), ①的结论正确： :∠ABC=90°，AB=BC, .∠BAC=∠BCA=45°， ·.∠NAF=135°， ,MF⊥AB,MN⊥AC, .∠N+∠MFA=180°. .∠FMN+∠FAN=180°， .∠FMN=45°， 由①知：△CBD≌△MFD, ∴.∠BCD=∠FMD ∴.∠CMN-∠BCD=∠CMN-∠FMD=∠FMN=45°， ∴.②的结论错误； 过点B作BH⊥AC于点H,连接AM,DH,如图， 7/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D H ,∠ABC=90°，AB=BC,BH⊥AC, 1 .AH-CH-7AC. AC=2AD ∴.AH=AD, 片∠4DH=∠ahD-180245°=67.5. 2 ,点D是MC的中点，H为AC的中点， ∴.DH∥AM, .∠NAM=∠AHD=67.5°， .∠NAF=135°， .∠NAM=∠FAM=67.5 在△NAM和△FAM中， ∠NAM=∠FAM ∠N=∠AFM=90° AM=AM :.△NAM≌AFAM(AAS), ∴MN=MF, 由①知：△CBD≌AMFD, .BC=MF, ∴.MF+BC=2MF=2MN ∴③的结论正确： 由①知：△CBD≌△MFD, BD-DF Saw=SrM ,△NAM≌△FAM, 8/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ÷AN=AR,S,w=Sae=2S边Bwr, ,AW:BD=3:2 ·设AN=3k,则BD=DF=2k,AN=AF=3k ..MN MF BC. BD.BC SABDC= BD 2 :SAAMN AN-MN AN 3, 2 D为MC中点， SADC =SAADM .SaAD-=SAADM-SAMDE=SAr=2S边形F. ∴.④的结论正确： 正确结论有：①③④. 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1.一个汽车牌照在水中的倒影为上2∂283，则该汽车牌照号码为 【答案】F59583 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影上2ò283关于水平方向的轴对称图形，如图所示： F59583 上2ò283 ∴.该汽车牌照号码为F59583 故答案是：F59583 a+b 12.己知点A(2)和点B(6,-1)关于x轴对称，则2 9/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2 【详解】解：关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 点2) 和点B(么，-) 关于x轴对称， :b=2.a=-(-1)=1 a+b1+23 222 13.如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°， ∠CDB=20°，则∠AEF= F C D 0 【答案】4040度 【详解】解：依题意，∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF ,∠AOB=120°，∠CDB=20°. ∴.∠CDB=∠EDO=20° 、∠0ED=180-∠0DE-∠A0B=40°， ∴.∠AEF=∠DEO=40° 故答案为：40° 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键. 14.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BE、EF为折痕.∠AEB=53°，∠DEF=69°，则 ∠AED'= 度. 10/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】64 【详解】解：由折叠的性质得∠AEB=∠A'EB=53°、∠DEF=∠D'EF=69°， :∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180° ∴.∠AED'=180°-69°-69°=42° :∠AED'+∠D'EB=∠AEB=53 ∴.∠D'EB=53°-42°=11° :.∠ED'=∠AEB+∠D'EB=53°+11°=64°， 故答案为：64 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=1.3Cm,则 BF=cm. F B D 【答案】2.6 【详解】解：在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, 六4D是△M1BC的中线，则Sm=S@. .SMwe =2Sm2x4BDE 2 .DE =1.3cm. ∴.BF=2DE=2×1.3=2.6cm, 11/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：2.6 16.如图，等边△ABC中，AB=8,点D为AC边上一动点，连接BD,点M,N在BD上，连接CM, AN AN,∠AWD=60°，∠BCM=∠ABD:设AD=m(m<4),则MN 一·（用含m的代数式表示） 【答案】8-2m 【详解】解：：△ABC为等边三角形， :.AB=BC=AC=8,∠BAC=∠BCA∠ABC-60° :∠AND=60°， :∠AWB=180°-∠AWD=120° :∠BAN+∠ABN=∠AND=60°，∠CBM+∠ABN=∠ABC=60°， ∴.∠CBM=∠BAN. 在△ABN和△BCM中， I∠BAN=∠CBM AB=BC ∠ABN=∠BCM' △ABN≌△BCM(ASA) .AN=BM,BN=CM,∠BMC=∠AWB=120°， ∴MN=BN-BM=CM-AW,∠CMD=180°-∠BMC=60°， 如图，作AFI‖CM,交BD的延长线于点F,连接CF, 12/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 则∠AFN=∠CMD=60°，∠FAD=∠MCD. .△ANF为等边三角形， .AN=AF,∠NAF=∠AFN=60° ∴.∠NAF-∠NAC=∠BAC-∠NAC, .∠BAN=∠CAF, ..AB=AC, △BAN≌ACAF(SAS) ∴BN=CF, .CM=CF, .∠CMF=60°， ∴△CMF为等边三角形， :.∠CFM=60°=∠AFN,即DF平分∠AFC, 作DG⊥AF于点G,作DH⊥CF于点H,则DG=DH, 1 SA-AF-DG.S.o=CF.DH, 2 S.ADE=2 1 AF.DG AF S.CDF CF.DH CF, 设点F到边AC的距离为h,则Swr4D:h,S.cw-CD-h, 2 1 AD.h AD S.CDF CD.h CD, 1 2 13/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AD ·CFCD' .AF=AN,CF=CM, AN AD .CM CD' AN m ÷.CM8-m' AN-m CM 8-m M m AN 8-m 8-m m ∴.MN CM-mCM 8-mm8-2m. 8-m 8-m8-m 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 I7.(8分)(1)在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分， 求这个等腰三角形的腰长及底边长. (2)已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数. 【答案】(1)该等腰三角形的腰长和底边长分别为8,2：(2)这个等腰三角形的底角的度数为70°或 20° 【详解】解：(1)如图， 根据题意，分两种情况讨论， 若12是膜长加腰长的一半，即B+40=40+号4B=B=12. 2 则腰长AB=4AC=12x名-8 3 14/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 底边长BC=6-号AC=6- 21 ×8=2 21 此时三角形的三条边长为8、8、2，可以构成三角形： 若6是腰长加腰长的-半，即4B+AD=AB+)AB=多4B=6, 2 2 2 则腰长AB=AC=6×2=4 3 底边长BC=12-)4C=12-x4=10 2 2 此时三角形的三条边长为4、4、10,4+4<10，不可以构成三角形： 故该等腰三角形的腰长和底边长分别为8,2. (2)分两种情况讨论： 当∠A<90°时，如图所示： B BD⊥AC, ∠A+∠ABD=90, ,∠ABD=50°， .∠A=90°-50°=40°， .AB=AC, ÷∠ABc=∠C=080-40r)=70, 当∠A>90°时，如图所示： D B 同理可得：∠DAB=90°-50°=40°， .∠BAC=180°-40°=140°， 15/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC, 、.∠4BC=∠C=(180°-140)=20° 2 综上，这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°」 18.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°」 (I)尺规作图：作AC的垂直平分线，交AC于点E,交BC于点D,连接AD.(保留作图痕迹，不写作法， 不写结论)： (2)在(1)的条件下，若AD平分∠CAB.求证：AC=2AB. 证明：DE为AC的垂直平分线， ∴.DE⊥AC, ①， ∠ABC=90°， ②， :AD平分∠CAB, .③， 在△ABD和△AED中， ∠BAD=∠EAD ∠ABC=∠AED AD=AD ∴AABD2AAED(AAS) ④， :DE为AC的垂直平分线， .AC=2AE ∴.AC=2AB 16/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】(1) D (2)∠AED=90°：∠ABC=∠AED:∠BAD=∠EAD:AB=AE, 19.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交CB于点D,DE⊥AB于点E,CE与 AD相交于点F. E D (1)若∠B=30°，BD=6,求CD的长： (2)求证：AD所在直线是线段CE的垂直平分线， 【答案】(I)CD-3 (2)证明：：AD平分∠BAC, ∠CAD=∠EAD. ,DE⊥AB,∠ACB=90°. ∴.∠ACD=∠AED=90°， AD=AD, :△4CD2aAED(AAS) .AC=AE,CD=DE. ∴点A、D在线段CE的垂直平分线上， ∴.AD所在直线是线段CE的垂直平分线， 【详解】(1)解：：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， .∠BAC=90°-30°=60°， AD平分∠BAC, ÷2CMD=∠BD-BMC=30 17/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD=∠B, ∴.AD=BD=6, :∠ACD=90°，∠CAD=30°， :CD=)4D=3 2 (2)略 20.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上.点A的坐标为 2,4) 请解答 下列问题： (I)画出AAB A. 关于x轴对称 △4BG,并写出点的坐标： (②把△48G先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到 △A4,B,C, 并写 △AB,C每个顶点的坐 标： 【答案】(1) A A(2,-4) (2) 18/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4（-3,2）B2（-4,4)C2(0,3) A,B,C A 【分析】(I)分别作出点A、B、C关于x轴对称的点 ,然后顺次连接，并写出点的坐标 (2)根据平移的规律求解即可。 【详解】(1)解：图略， 4(2,-4) (2)解：由（山）可知： 4(2,-4)B(1,-2）C(5,-3) 把△48G先向左移动5个单位后，再向上移动6个单位，得到 A,BC2 4(2-54+6).B,0-5-2+6)G5-5-3+6) 即4(3,2).B(44)G(0,3) 图略 21.(10分)如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边1处饮马，然后回到B地.牧民到河边的什么 地方饮马可使所走的路程最短？ B B 图① 图② 图③ 图④ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线I的对称点B',连接AB与直 线I交于点P,点P就是饮马的位置， 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 19/26 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明：如图③，作点B关于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于点P,在直线I上任取一点P(与点 P'不重合)，连接BP 点B与点B关于直线I对称 ∴.PB= P'B= .AP+PB=AP+PB'≥ 当A,P,B三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就是饮马 的位置. (1)解决问题：补全证明过程： (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河CD的同侧，现要在河岸CD上建一水厂P,并从 水厂向两村铺设管道以输送自来水.请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短.（保 留作图痕迹，不写作法) 【答案】(I)PB,P'B,AB (2) 如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短 【详解】(1)解：如图③，作点B关于直线I的对称点B,连接AB与直线I交于点P,连接B'P',BP, .PB=PB',P'B=P'B', ∴.AP+PB=AP+PB≥AB', 当A,P,B'三点共线，即点P与点P重合时，AP+BP的值最小，最小值为AB的长，即点P就是饮 马的位置， 故答案为：PB,PB,AB': (2)解：作点A关于CD的对称点A',连接BA'交CD于点P,则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道 的长度最短 22.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=a, △BOC≌△ADC,∠OCD=60°，连接OD 20/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1109 (1)求证：△OCD是等边三角形： (2)当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由： 【答案】(I)证明：，△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， △BOC≌△ADC, ∴∠ACD=∠BCO,CD=CO. :.∠OCD=∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=60°， :aOCD是等边三角形. (2)△AOD是直角三角形，理由如下： :△BOC≌aADC .∠ADC=∠BOC=a=150°， :∠AOB=110°. .∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=100°. :△OCD是等边三角形. ∴.∠COD=∠CD0=60° :.∠AD0=∠ADC-∠CD0=90°，∠AOD=∠AOC-∠COD=40°， ∴.△AOD是直角三角形 23.(I0分)如图，CD是∠ACE的平分线.DP垂直平分AB于点P,DF L AC于点F,DE⊥BC于点 E (I)求证：AF=BE; 21/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC=7,BC=3,求CE的长， 【答案】(I)证明：如图，连接AD、BD, ,DP垂直平分AB, .'AD=BD, ,CD是∠ACE的平分线，DF⊥AC,DE⊥BC, .DF=DE,∠AFD=∠BED=90°， 在Rt△ADF与Rt△BDE中， AD=BD DF =DE, RtAADF≌RtaBDE(HL) ∴AF=BE: 力 Q (2)CE=2 【详解】(1)证明：略； (2)解：CD是∠ACE的平分线，DF⊥AC,DE⊥BC, ∴.DF=DE,∠CFD=∠CED=90°， 在RtACDF与Rt△CDE中， DC=DC DF=DE, RtACDFS≌RtACDE(HL) ..CF=CE: .AF =BE, .CE=BE-BC=AF-3,CF=AC-AF =7-AF, 上两式相加得2CE=7-3, 22/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=2 24.(10分)如图，△ABC中，AB=AC,D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作 FG⊥BC于点G,并交AB于点E. B GD (I)求证：△AFE为等腰三角形. (2)若E为AB的中点，求证：EF=2EG 【详解】(1)证明：：AB=AC,D为BC边的中点， .AD⊥BC,∠CAD=∠BAD, ,FG⊥BC, .AD∥FG. .∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD, .∠AEF=∠F, ∴AE=AF, ∴.△AFE为等腰三角形 (2)证明：过点A作AH⊥FG,如图所示： H B 则∠AHE=90°， AF=AE, 1 EH=FH=2EF ,FG⊥BC 23/26 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BGE=90°， ·.∠AHE=∠BGE, ,点E为AB的中点， ∴AE=BE, ,∠AEH=∠BEG △AEH≌ABEG(AAS) .'EG=EH, :G=那 2 即EF=2EG 25.(10分)在等边△ABC中，D、E分别是边AC、BC上两动点，连接AE、BD交于点P. B E 图1 图2 图3 (I)如图1，当BE=CD时，求∠APD的度数： ②海图2，在()月的条件下延长0至点F:连接C·当2F-4PD,F=30即时，探元AD BP的数量关系； ③)如图3，在射线E上取一点G,使4G=CD,当4，(CG+BD)均取得最小值时，直接写出∠APD的度 数. 【答案】(I)∠APD=60° (2) AP=2BP,理由如下： 在PF上取一点K,使得PK=AP,连接AK、CK, 24/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠APK=60,AP=PK, ∴，△APK为等边三角形， ∴.AP=AK,∠PAK=∠AKP=∠BAC=60°， ∴.∠KAC=∠PAB. :在△ABP和△ACK中， AB=AC ∠BAP=∠CAK AP=AK 片△ABPACK(SAS) .∠AKC=∠APB=180°-∠APK=120°， .∠CKD=∠AKC-∠AKP=120°-60°=60°， :F-AD=30, ∴.∠FCK=∠BKC-∠F=30°， .FK=CK, .'FK=BP, .PF=3BP, .'BF=4BP=BP+PK+FK=2BP+PK, ∴.AP=PK=2BP, ∴.AP=2BP: (3)∠APD=60° 【详解】(I)解：：△ABC为等边三角形， 25/26 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60° ,在△ABE和△BCD中， AB=BC ∠ABE=∠BCD BE=CD △ABE≌ABCD(SAS) .∠BAE=∠CBD :∠ABP+∠CBD=60°， .∠ABP+∠BAE=60° ·∠APD=60°： (2)略 (3)解：当AE取得最小值时，AE⊥BC,此时点E为BC中点，当CG+BD取得最小值时，CG⊥AE, BD⊥AC,此时点E和点G重合，点D为AC中点， 】 E(G分 ,△ABC是等边三角形， ∴.∠BAD=∠ACE=60°，AB=AC, △BAD≌△ACE(SAS) 同理 .∠ABD=∠CAE. :.∠APD=∠BAE+∠ABD=∠BAE+∠CAE=60° 26/26