第22章 直角三角形（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）八年级上册

第22章 直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列各组数中是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理逆定理等知识点，已知三角形的三边满足，且、、为正整数，则三角形是直角三角形，称、、为勾股数． 根据勾股数的定义和勾股定理逆定理逐项分析即可解答． 【解析】A、因为，则A选项不是勾股数，不符合题意； B、因为、、不是整数，则B选项不是勾股数，不符合题意； C、因为，则C选项不是勾股数，不符合题意； D、因为，是勾股数，故符合题意； 故选D． 2．在中，若，，，则下面说法正确的是（ ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，解答即可． 【解析】∵　，，， ∴　，，； ∵　， ∴　， ∴　是直角三角形，且是直角．故选A． 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【解析】A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选C． 4．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明即可． 【解析】由题意，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【解析】如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选A． 6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【解析】如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选B． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【解析】根据题意得到，， ．故答案为30． 8．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【解析】∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为2． 9．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【解析】由题意设，则， 在中，，即， 解得； 故答案为． 10．若中两条直角边分别为1和2，则斜边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【解析】∵中两条直角边分别为1和2， ∴斜边长为， 故答案为． 11．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理算出距离，再与原路线相比即可求解． 【解析】在中，根据勾股定理得， ∴， 又∵ ∴打通隧道后从村到村比原来减少的路程：．故答案为$4$． 12．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出答案即可． 【解析】如图所示：根据题意可知米，米， 根据勾股定理得． 所以树折断前有（米）． 故答案为． 13．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【解析】∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为． 14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【解析】根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为． 15．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，注意隐含的已知条件来解答此类题．根据题意得到，进而求出，根据勾股定理求出． 【解析】风车的外围周长（虚线部分）为76， ． ， ，． 在中，． 故答案为5． 16．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为________m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【解析】由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为． 17．如图，两树相距，一棵树高，另一棵树高．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了________． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解析】如图，过点作于点，连接， ∵两树相距，一棵树高，另一棵树高． ∴，， ． 则小鸟至少飞行了．故答案为10． 18．如图，在中，，，，则边上的高为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握利用勾股定理列方程求解三角形高的方法是解题的关键． 过点作于，设，则在和中，分别用勾股定理表示，列方程求出，再求出的长度． 【解析】过点作于， ∴，， 设，则 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）仅用无刻度直尺分别在图1和图2中作出不同的两个斜边均为的直角三角形． 【答案】 如图所示，答案不唯一 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，可以作出由，，为直角边的直角三角形，即可求解． 【解析】∵ ∴可以由，，为直角边作直角三角形． 20．（7分）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】（1）米 （2）大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【解析】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 21．（7分）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【解析】小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 22．（7分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中， ，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）元 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度，进而根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）求出总面积乘以100即可求得总花费． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， 费用为：（元）； ∴铺满这块空地共需花费3600元． 23．（7分）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】 （1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）如图2所示： 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【解析】（1）略 （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形． 24．（7分）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： （1）点表示的数为________． （2）把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 （3）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）如同： （3） 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， 理由：正方形纸片的面积为，故其边长为． 设长方形的宽为，则长为， 由面积得：，即，解得， ∴长方形的长为． ∵，，且， ∴，即长方形的长超过了正方形的边长． 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、数轴上无理数的表示，解题的关键是结合图形构造的线段长度，确定数轴上点对应的数． （1）根据图2中直角三角形的边长，结合圆弧的圆心与半径，确定点B表示的数； （2）由小正方形总面积确定大正方形边长，进行裁剪拼接； （3）通过计算长方形与正方形的边长，判断能否裁出． 【解析】（1）解：图2中，构造的直角三角形直角边长为1，由勾股定理得斜边长为， 以数轴上表示1的点为圆心，为半径画弧，交原点左侧的数轴于点B， 则点B表示的数为． 故答案为． （2）解：5个小正方形的总面积为，故大正方形的边长为． 裁剪线：在图3中，将右上角小正方形沿对角线裁剪为两个直角三角形，再分割左侧的正方形（裁剪线如下图左所示）； 拼接示意图：将裁剪后的部分拼接成边长为的正方形（如下图右所示）． （3）略 25．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）台风影响该海港持续的时间有小时 【分析】（1）过点作于点，先证明是直角三角形，利用等面积法求出，即可得出结果； （2）当时，海港正好受台风影响，由等腰三角形的性质并结合勾股定理求出，从而即可得出结果． 【解析】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，当时，海港正好受台风影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵台风移动的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有小时． 26．（8分）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（ ），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】 （1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）证明：         即 连接，设 ，， ， 即； （3）480米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【解析】证明：（1）略 （2）略 （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 直角三角形 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列各组数中是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，若，，，则下面说法正确的是（ ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 4．用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放两个含角的三角板，使得短直角边分别在上，长直角边上的刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定方法是（ ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ） A．2026 B．2027 C． D． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 8．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为________． 9．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为________． 10．若中两条直角边分别为1和2，则斜边长为________． 11．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 12．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是________米． 13．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 14．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动________． 15．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则的长为________ 16．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为________m． 17．如图，两树相距，一棵树高，另一棵树高．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了________． 18．如图，在中，，，，则边上的高为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）仅用无刻度直尺分别在图1和图2中作出不同的两个斜边均为的直角三角形． 20．（7分）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． （1）求的距离； （2）通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 21．（7分）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 22．（7分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 23．（7分）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 24．（7分）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： （1）点表示的数为________． （2）把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 （3）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 25．（8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风移动的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 26．（8分）综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（ ），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $