第13章 勾股定理（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材华东师大版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，若，，，则下面说法正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 2．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 4．如图，某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻，故采用备用路线，先垂直起飞至点B处，再水平飞行到达收货点C．若路线未受阻，则此次无人机的最短飞行距离是（     ） A． B． C． D． 5．已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 7．一架无人机从地面点起飞，先垂直上升到达点，再水平飞行到达点，则点到点的距离为（     ） A． B． C． D． 8．在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．在中，，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 12．如图，在中，，，垂足为．若 ，，则 的长为_____． 13．小斗想在如图所示的长为10，宽为5的长方形中画一条长为的线段，______完成．（填“能”或“不能”） 14．已知在中，，若，则___________ 15．若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，求的长和的周长． 17．（8分）如图所示的一块草地．已知，，，，且，求这块草地的面积． 18．（8分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，“昨日丈量田地回，记得长步整三十，广斜相并五十步”．其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田地的长为步，宽和对角线的和为步．田地的宽有多少步？ 19．（8分）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 20．（8分）在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 21．（11分）如图，在中，，点是延长线上的点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若平分，，，求的面积． 22．（12分）如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 23．（12分）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理•基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在△ABC中，若AB=2,AC=1.5,BC=2.5,则下面说法正确的是() A.∠A是直角 B.∠B是直角 C.∠C是直角 D.无法确定△ABC是否是直角三角形 2.下列各组数中是勾股数的是() A.0.6,0.8,1B.1,3,10 C.5,13,12 D.3,3,6 3.如图，甲轮船以16 nmile/h的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行， 已知甲、乙两艘轮船离开港口1.5h后分别到达B,A两点，且AB=30 nmile,则乙轮船每小时航行( →东 B A.30nmile B.24nmile C.18nmile D.12nmile 4.如图，某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻，故采用备用路线，先垂直起飞300m至点B处， 再水平飞行400m到达收货点C.若路线未受阻，则此次无人机的最短飞行距离是() B----- A.400m B.450m c.500m D.600m 5.已知直角三角形两直角边长为6,8，则斜边上的高为() A.1.2 B.4.8 c.2.4 D.9.6 6.如图所示，下列三角形中是直角三角形的是() 115 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8 B 12 D 13 7.一架无人机从地面点O起飞，先垂直上升10m到达点A,再水平飞行24m到达点B,则点O到点B的距 离为() A.10m B.24m c.26m D.34m 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=4,若a=3,则b的值是() A.1 B.5 C.7 D.8 9.在△ABC中，∠A=90°，若BC=4,则AB2+AC的值为() A.4 B.8 C.16 D.32 10.公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设a=6,小正方形ABCD的边长是2，则c的长度 是() A.10 B.12 c.16 D.20 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在数轴上点A表示的实数是 1 -4-3-2-101234 12.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.若BC=8,AD=3,则AB的长为 215 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 13.小斗想在如图所示的长为10，宽为5的长方形中画一条长为5V5的线段， 完成.（填“能”或 “不能”) 14.已知在△ABC中，∠C=90°，若AB=10,BC=6,则AC= 15.若直角三角形的两条直角边分别为a、b,且满足V2a-6+b-4=0,则该直角三角形的斜边长为 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9,求AB的长和△ABC的周长. B d C 17.(8分)如图所示的一块草地.已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且 ∠CDA=90°，求这块草地的面积 D B 18.(8分)我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，“昨日丈量田地回，记得长步整三十， 广斜相并五十步”.其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田地的长为30步，宽和对角线的和为50 步，田地的宽有多少步？ 19.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AD=2,BD=1,CD=4,求证：△ABC是 直角三角形 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分)在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90° (1)若a=6,c=10,求b: (2)若a=24,c=25,求b. 21.(11分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC延长线上的点，连接AD (1)若AC=13,AB=12,AD=15,求CD的长： (2)若AC平分∠BAD,BC=9,AD=12,求△ACD的面积. 22.(12分)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=5,E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使 点B落在长方形ABCD内的点F处，连接DF,且DF=3. D E (1)判断△ADF的形状，并说明理由： (2)求BE的长， 23.(12分)已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC 415 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【初步发现】 (I)如图1，若点D在线段AB上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE.连接EB,先由边角边 证明△ACD≌△BCE(SAS),从而得到∠A=∠CBE=45°，AD=BE, ∴.∠DBE=∠DBC+∠CBE=45°+45°=90°，进而得到线段AD、BD、DE之间满足的数量关系是 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段AB延长线上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,则(1)中的结 论是否仍然成立？并说明理由， 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线AB上.连接CD,在CD的左侧作CE⊥CD,当AD=3,AB=9时，求△CDE 的面积. 515可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章勾股定理基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 5 6 8 9 10 A D B D C C A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.-910 12.5 13.能 14.8 15.5 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分) 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=9, .AB=VAC2+BC2=V122+9=V225=15 ∴.△ABC的周长为AC+BC+AB=12+9+15=36, 答：AB的长为15，△ABC的周长为36.(8分) 17.(8分) 【详解】解：如图，连接AC, B .AD=4m,CD=3m,∠CDA=90°， AC-√AD2+CD=5m?(3分) AC2+BC2=52+122=169=AB2, ∴∠ACB=90°， 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 这谈华建积=5，m5,:-2×5×12-号×3×4=24m（8分》 2 18.(8分) 【详解】解：设田地的宽为X步，则对角线的长为50-x步， ,矩形的长、宽与对角线之间满足勾股定理， 六302+X2=50-x,(3分) 解得x=16, 答：田地的宽为16步.(8分) 19.(8分) 【答案】证明：，AD⊥BC,AD=2,BD=1,CD=4 ..A B2=AD2+BD2=5,AC2=AD2+CD2=20,BC=BD+CD=5,(3) .BC2=25, .AB+AC=BC2(7分) .∠BAC=90°，即△ABC是直角三角形.(8分) 20.(8分) 【详解】(1)解：，a=6,c=10,∠C=90°， 根据勾股定理得，b=c2-Q=V102-6=g（4分) (2)解：a=24,c=25,∠C=90°， 根据勾股定理得，b=VC2-Q-V25-24=7°(8分) 21.(11分) 【详解】(1)解：.：∠ABC=90°， .BC=AC2-AB2=5'BD=A D2-A B2=9' ∴.CD=BD-BC=4:(5分) (2)解：过C作CE⊥AD交AD于点E,如图， 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:AC∠BAD∠B=∠AEC=90° E SD 平分 ∴.CE=BC=9, ·5-号CFAD号×9×12=54.1分) 2 22.(12分) 【答案】（①）△ADPF是直角三角形(1分)，理由如下： 连接AF,如图， D E 由折叠的性质可知，△ABE≌△AFE, ..AF=AB AB=4, .AF=4.(3分) 在△ADF中，AF=4,AD=5,DF=3, :AF2+DF2=42+32=25,AD2=25, ..AF2+DF2=AD2 △ADF是直角三角形.(6分) (2)解：设BE=x,连接AF,如图， D B E 由折叠的性质可知，△ABE≌△AFE, .EF=BE=X,∠AFE=∠B=90° 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)可知，∠AFD=90, ∴.∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°+90°=180°， 点E、F、D在同一直线上， ∴.DE=DF+EF=3+X.(8分) 在长方形ABCD中，CD=AB=4,BC=AD=5, .CE=BC-BE=5-X.(10分) 在Rt△DCE中，CE+DC=DE2, 即5-x2+42=3+x 解得X=2. 答：BE的长为2.(12分) 23.(12分) 【答案】(1)AD+BD=DE(2分) (2)(1)中的结论仍然成立(3分)；理由如下： 如图2，连接BE, B 图2 .CE⊥CD,∠ACB=90°， .∠DCE=90°=∠ACB, .∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE ∴，△ACD≌△BCE(SAS), 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=BE,∠CBE=∠A,(5分) ∠ACB=90°，BC=AC, .∠A=∠ABC=45°， ∴∠CBE=45°， .∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°， ∴.∠DBE=90 ..BD2+BE2=DE2, ∴.BD2+AD=DE;(7分) (3)解：连接AE, 分两种情况讨论： 当点D在线段AB上时，如图3， B D 图3 由(1)的结论知，AE2+AD=DE2,AE=BD, ,AD=3,AB=9, ..BD=AE=AB-AD=6, .62+32=DE2, ∴.DE2=45, .CD2+CE2=DE2,CD=CE, :.CD=-DE, .SACDE= CD245 :(9分) 当点D在线段BA的延长线上时，如图4， 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图4 由(2)的结论知，AE+AD=DE2,AE=BD, .AD=3,AB=9, ..BD=AE=AB+AD=12, .122+32=DE2, ∴.DE2=153, .'CD+CE2=DE2,CD=CE, 4CD-DE. ScCD13 4 综上所述，人CDE的面积为或5 41 (12分) 6/6 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第13章 勾股定理·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，若，，，则下面说法正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，解答即可． 【详解】解：∵　，，， ∴　，，； ∵　， ∴　， ∴　是直角三角形，且是直角． 2．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除不是正整数的选项，再验证剩余选项中较小两数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：、不是正整数，不是勾股数; 、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数． 3．如图，甲轮船以的速度离开港口向东南方向航行，乙轮船同时同地出发向西南方向航行，已知甲、乙两艘轮船离开港口后分别到达，两点，且，则乙轮船每小时航行（   　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设乙轮船每小时航行，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设乙轮船每小时航行， 根据题意得，，，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴乙轮船每小时航行． 4．如图，某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻，故采用备用路线，先垂直起飞至点B处，再水平飞行到达收货点C．若路线未受阻，则此次无人机的最短飞行距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，在中， ∴ 即此次无人机的最短飞行距离是． 5．已知直角三角形两直角边长为6，8，则斜边上的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长为6，8， ∴斜边长为， ∴ 解得． 6．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 7．一架无人机从地面点起飞，先垂直上升到达点，再水平飞行到达点，则点到点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图 依题意， ∴ 故选：C． 8．在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在中，， ， ， ，， 9．在中，，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ． 10．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，结合数轴可得答案． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 12．如图，在中，，，垂足为．若 ，，则 的长为_____． 【答案】 【分析】根据三线合一可得，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 在中， 13．小斗想在如图所示的长为10，宽为5的长方形中画一条长为的线段，______完成．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】连接，利用勾股定理求出的长度，然后比较判断即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得，，，， ∴， ∴能完成． 14．已知在中，，若，则___________ 【答案】 【分析】直接利用勾股定理即可计算的长度． 【详解】解：， ， ，， ， 是的边， ． 15．若直角三角形的两条直角边分别为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得该直角三角形的斜边长为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，求的长和的周长． 【答案】的长为，的周长为 【分析】利用勾股定理求出斜边的长度，再将三边相加得到三角形的周长． 【详解】解：在中，，，， ， ∴的周长为， 答：的长为，的周长为．（8分） 17．（8分）如图所示的一块草地．已知，，，，且，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，首先利用勾股定理求出，然后证明，然后求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，（3分） ∴， ∴， ∴这块草地的面积．（8分） 18．（8分）我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，“昨日丈量田地回，记得长步整三十，广斜相并五十步”．其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田地的长为步，宽和对角线的和为步．田地的宽有多少步？ 【答案】 田地的宽为步 【分析】设田地的宽为步，则对角线的长为步，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设田地的宽为步，则对角线的长为步， ∵矩形的长、宽与对角线之间满足勾股定理， ∴，（3分） 解得， 答：田地的宽为步．（8分） 19．（8分）如图，在中，，垂足为D，，，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵，，， ∴，，，（3分） ∴， ∴（7分） ∴，即是直角三角形．（8分） 【分析】根据勾股定理以及逆定理求解即可． 【详解】略 20．（8分）在中，，，，． (1)若，，求b； (2)若，，求b． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，；（4分） （2）解：∵，，， ∴根据勾股定理得，．（8分） 21．（11分）如图，在中，，点是延长线上的点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)4 (2)54 【分析】（1）利用勾股定理求出，，然后求解即可； （2）首先利用角平分线的性质定理得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：， ，， ；（5分） （2）解：过作交于点，如图， 平分，， ， ．（11分） 22．（12分）如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形（1分），理由如下： 连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴．（3分） 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形．（6分） （2）解：设，连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴，． 由（1）可知，， ∴， ∴点E、F、D在同一直线上， ∴．（8分） 在长方形中，，， ∴．（10分） 在中，， 即 解得． 答：的长为2．（12分） 【分析】（1）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，求出的值；在中，已知三边长度，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． （2）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边、对应角相等；根据角度关系证明点E、F、D在同一直线上，根据线段关系表示出、；在中，运用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴，． 由（1）可知，， ∴， ∴点E、F、D在同一直线上， ∴． 在长方形中，，， ∴． 在中，， 即 解得． 答：的长为2． 23．（12分）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 【答案】(1)（2分） (2)（1）中的结论仍然成立（3分）；理由如下： 如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（5分） ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（7分） （3）解：连接， 分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴；（9分） 当点D在线段的延长线上时，如图4， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或．（12分） 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：连接， 分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图4， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $