第21章 一元二次方程（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）八年级上册

第21章 一元二次方程 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】通过计算判别式的值即可判断根的情况，根据判别式与0的大小关系即可得出结论． 【解析】∵对于一元二次方程，其中，，， ∴根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根．故选C． 2．关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【解析】∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选B． 3．下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式．通过计算每个方程的判别式或直接求解，判断实数根的个数，只有选项A的判别式大于0，有两个实数根，即可作答． 【解析】A、方程化为，∴ ，有两个实数根； B、方程，∴ ，无实数根； C、方程化为 ，∴，无实数根； D、方程，得，∵，∴无实数根， 故选A． 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式等知识，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；有两个不相等的实数根需判别式大于零，联立求解． 【解析】∵ 方程为一元二次方程， ∴ ， ∵ 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式 ， ∴ ，即 ， 综上，且． 故选D． 5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【解析】一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选D． 6．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设年平均增长率是，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【解析】设年平均增长率是， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴年平均增长率是， 故选C． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．从开始，个连续自然数的和为45，则为________． 【答案】9 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程求解，并排除负数解即可．用代数式表示出个连续自然数的和是解题的关键． 【解析】依题意，得：①， ∴②， ①②，得：， ∴，即， ∴， 解得：或， ∵为自然数， ∴． 故答案为． 8．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【解析】由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为或． 9．已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．当一元二次方程根的判别式小于零时，方程没有实数根，据此解答即可． 【解析】∵方程 没有实数根， ∴， 即， 解得 ． 故答案为． 10．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________ 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【解析】∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为且． 11．学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【答案】80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设游泳池的宽为x米，则长为米，根据面积公式列出方程，解方程得到宽和长，再计算周长，即可作答． 【解析】设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为80 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．由于一元二次方程有两个实数根，需满足二次项系数不为零，且判别式大于等于零，据此进行列式计算，即可作答． 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， 即，， 解得且， 故答案为且． 13．某厂3月份的产值为50万元，5月份的产值上升到72万元，期间每个月的增长率相同．如果设相同的增长率是x，那么列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设相同的增长率是x，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【解析】设相同的增长率是x，根据题意可得： ， 故答案为． 14．小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 【答案】15 【分析】设未知数，根据面积公式建立等量关系求解即可． 本题主要考查一元二次方程的应用，找出等量关系是解题关键． 【解析】设米，则米， 则 解得或 ∵院墙长15米， 则（舍去） 则遮阳棚垂直于院墙的边长为米． 故答案为15． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况和一元二次方程的概念确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为且． 16．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【解析】设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为． 17．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【解析】∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为． 18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件“二次项系数不为零且判别式大于零”，据此求解即可． 【解析】∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即； ．解得：． 综上，的取值范围为且． 故答案为且． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(“每每”问题)，先设出涨价金额，再分别表示出单个利润和对应的销售量，最后根据总利润为元列方程求解，并结合“让顾客得到实惠”的条件选择较小的涨价金额． 【解析】设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 20．（7分）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【解析】任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 21．（7分）已知、是方程的两个根．求：的值． 【答案】 11 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根， 将一元二次方程的根代入原方程可得，，再根据一元二次方程根与系数的关系得，然后整体代入待求式可得答案． 【解析】∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， 即，． ∵， ∴． 22．（7分）某工程队在小区一边靠墙处（墙长95米），用118米长的栅栏围一个所占地面为长方形的花坛，花坛只围三边，其中在边开一个宽为2米的小门．已知花坛面积为1152平方米，则花坛一边的长多少米？ 【答案】花坛一边的长为48米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设的长为米，得到的长为米，根据长方形的面积公式，列出方程进行求解即可． 【解析】设的长为米，则的长为米，由题意，得： ， 解得或； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 答：花坛一边的长为48米． 23．（7分）解下列方程 （1）（配方法） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）无解 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程． （1）通过配方法求解即可； （2）通过换元法求解即可； （3）将分式方程化为整式方程求解，根据根的判别式可知该分式方程无解． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：设，则原方程为 ∵ ∴或 当时， ∴ ∴ 当时， ∴ ∴ 即 （3）解：∵ ∴ ∴ 两边同乘得 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴方程无实数根 故原方程无解 24．（7分）如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 【答案】3 【分析】本题主要考查了列方程解决几何问题，解题的关键是找出等量关系． 假设后，的面积为，表示出，根据三角形的面积列出方程求解即可． 【解析】假设后，的面积为， 则，根据题意得， ∴， 解得，符合题意，（负值已舍）， ∴3秒后，的面积为． 25．（8分）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． （1）当该挂件降价元，每日售出的数量是________件(用的代数式表示)； （2）当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】（1） （2）当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【解析】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 26．（8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根． 【答案】或，方程的根为：或 【分析】根据题意得：且解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得． 【解析】根据题意，得：，即， ， 解得：或， 当时，方程为， 解得：， 当时，方程为， 解得：， 或，或． 【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是掌的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A． B．且 C． D． 3．下列关于的方程中，有两个实数根的是（ ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 5．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（ ） A． B． C． D． 6．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司年缴税万元，年缴税万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．从开始，个连续自然数的和为45，则为________． 8．若关于的方程是一元二次方程，则________． 9．已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 10．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________ 11．学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________． 13．某厂3月份的产值为50万元，5月份的产值上升到72万元，期间每个月的增长率相同．如果设相同的增长率是x，那么列出方程是________． 14．小明家打算利用一面长15米的院墙，用铝合金靠墙搭建一个矩形遮阳棚辅助区域．如果用40米长的铝合金框架搭建遮阳棚（靠墙一侧无需框架），且要求遮阳棚的面积为150平方米，则遮阳棚垂直于院墙的边长为________米． 15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 16．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是________． 17．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为________． 18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20．（7分）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 21．（7分）已知、是方程的两个根．求：的值． 22．（7分）某工程队在小区一边靠墙处（墙长95米），用118米长的栅栏围一个所占地面为长方形的花坛，花坛只围三边，其中在边开一个宽为2米的小门．已知花坛面积为1152平方米，则花坛一边的长多少米？ 23．（7分）解下列方程 （1）（配方法） （2） （3） 24．（7分）如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 25．（8分）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． （1）当该挂件降价元，每日售出的数量是________件(用的代数式表示)； （2）当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 26．（8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值和此时方程的根． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $