第十六章 一元二次方程（单元自测·提升卷）数学新教材北京版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 4．（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·北京东城·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，则图中勾股形（原直角三角形）的面积为（    ） A．24 B．16 C．20 D．36 7．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 8．（25-26八年级上·北京·月考）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京·月考）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 10．（25-26八年级下·北京通州·阶段练习）若实数x满足，则_____ ． 11．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 12．（25-26八年级下·北京门头沟·阶段练习）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价________________元． 13．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 14．（25-26八年级下·北京海淀·阶段练习）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则n的值为_______． 15．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 16．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京·期末）计算： 18．（5分）（25-26九年级上·北京·月考）已知是方程的一个解，求代数式的值． 19．（6分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 20．（6分）（25-26九年级上·河南南阳·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： (1)①小明同学解方程用到的方法是（　　） A．配方法　B．公式法　C．因式分解法 ②小明解方程的过程从第 步开始出现错误，错误原因是 ； (2)请你用和小明不同的方法解该方程． 21．（6分）（2024·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 22．（8分）（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 23．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 24．（8分）（25-26九年级上·青海西宁·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 25．（10分）（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 26．（10分）（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，空白部分的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 【答案】A 【分析】计算判别式的值判断二次方程根的情况即可，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 4．（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出圈出的数中的数量关系是解题的关键． 设圈出的9个数中最小数为x，则最大数为，根据最大数与最小数的积为192列出方程求解x，再计算9个数的和． 【详解】解：∵最小数为x，最大数为，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴最小数为8，最大数为24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为． 故选：D． 6．（25-26八年级下·北京东城·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，则图中勾股形（原直角三角形）的面积为（    ） A．24 B．16 C．20 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设小正方形的边长为x，则，再结合全等三角形的性质可得，，从而得到，然后在中，利用勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为x，则， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：（不合题意舍去）， ∴， ∴， 故选：A 7．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 8．（25-26八年级上·北京·月考）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京·月考）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 10．（25-26八年级下·北京通州·阶段练习）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 11．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 12．（25-26八年级下·北京门头沟·阶段练习）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价________________元． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，设元列方程是关键．设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个，根据每天盈利4000元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个， 根据题意，得， 化简整理，得， 解得 或 ， 为使顾客花费少，取较小值 ， 每个涨价5元． 故答案为：5． 13．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 14．（25-26八年级下·北京海淀·阶段练习）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则n的值为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 【答案】 或 【分析】本题考查了定义新运算．根据新运算定义，分 和 两种情况讨论，分别求解方程 【详解】当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当 时，， 代入得 ， 整理得 ， 解得 ， 取 （舍去 ）； 当时，， ∵， ∴不成立． 故答案为： 或 ． 16．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京·期末）计算： 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ，． 18．（5分）（25-26九年级上·北京·月考）已知是方程的一个解，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，代数式求值，整式乘法，利用整体代入的思想解决问题是解题关键． 先由一元二次方程根的定义得到，然后化简，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ． 19．（6分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有个人会患流感 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 20．（6分）（25-26九年级上·河南南阳·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： (1)①小明同学解方程用到的方法是（　　） A．配方法　B．公式法　C．因式分解法 ②小明解方程的过程从第 步开始出现错误，错误原因是 ； (2)请你用和小明不同的方法解该方程． 【答案】(1)①A；②二，未给等号右边加1 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤； （1）根据配方法的步骤得到答案即可； （2）运用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：①此题运用了配方法解一元二次方程；故选：A， ②运算的过程中配方时，需要两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，而右边未加； 故答案为：二，未给等号右边加1； （2）解： ， ∴，． 21．（6分）（2024·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：， ∴， 解得． 22．（8分）（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】(1) 二、三这两个月的销售量月平均增长率为； (2) 该商品售价定为元时，商场当月获利元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可得出关于x的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为元． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元． 23．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程． （1）先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值； （2）利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数； （3）由（2）的结论得到，，则即，从而得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， 所以， 故答案为：3； （2）解：， ， ， ， 所以为一次项系数的相反数， 即； 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得到，， 所以， 即， ∴． 故答案为：． 24．（8分）（25-26九年级上·青海西宁·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 【答案】(1)降次 (2)， 【分析】本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． （2）解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 25．（10分）（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 【答案】(1)经过1秒时，长为； (2)经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，解题关键是利用字母表示出待求三角形的边长． （1）设经过x秒，的长为，先求出时间的范围，再利用矩形性质得出，，根据勾股定理得到，再用x表示出 ，，得到关于x的一元二次方程求解； （2）设经t秒，面积等于矩形面积的，先用t表示出，，再利用三角形面积公式列出一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为； （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的． 26．（10分）（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)2或 (3)7 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）由，，将、看作是方程的两实数根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）利用判别式判断方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 4．（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·北京东城·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若，则图中勾股形（原直角三角形）的面积为（    ） A．24 B．16 C．20 D．36 7．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 8．（25-26八年级上·北京·月考）若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26八年级上·北京·月考）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 10．（25-26八年级下·北京通州·阶段练习）若实数x满足，则_____ ． 11．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 12．（25-26八年级下·北京门头沟·阶段练习）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价________________元． 13．（25-26九年级上·江苏常州·月考）关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 14．（25-26八年级下·北京海淀·阶段练习）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则n的值为_______． 15．（25-26八年级下·北京顺义·阶段练习）定义新运算，对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是_________ 16．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（25-26九年级上·北京·期末）计算： 18．（5分）（25-26九年级上·北京·月考）已知是方程的一个解，求代数式的值． 19．（6分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 20．（6分）（25-26九年级上·河南南阳·月考）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：第一步 第二步 第三步 ， 第四步 任务： (1)①小明同学解方程用到的方法是（　　） A．配方法　B．公式法　C．因式分解法 ②小明解方程的过程从第 步开始出现错误，错误原因是 ； (2)请你用和小明不同的方法解该方程． 21．（6分）（2024·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 22．（8分）（25-26九年级上·山东青岛·周测）某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，第一季度销售总量达到244件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率； (2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件，为尽可能让利顾客，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 23．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 24．（8分）（25-26九年级上·青海西宁·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 (1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． (2)请仿照材料的方法，解下列方程： 25．（10分）（25-26九年级上·贵州遵义·月考）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点N到达点A时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形的面积？ 26．（10分）（25-26九年级上·四川内江·月考）阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________． (2)类比探究：已知实数，满足，．________． (3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十六章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A B D A D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．3或5 10．5 11．8 12．5 13．， 14．6 15． 或 16．①③ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】解： ，，， ，．·····························5分 18．（5分） 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ．····························5分 19．（6分） 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人；····························3分 （2）解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感．····························6分 20．（6分） 【详解】（1）解：①此题运用了配方法解一元二次方程；故选：A，····························2分 ②运算的过程中配方时，需要两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，而右边未加； 故答案为：二，未给等号右边加1；····························4分 （2）解： ， ∴，．····························6分 21．（6分） 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根；····························3分 （2）解：由题意得：， ∴， 解得．····························6分 22．（8分） 【详解】（1）解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为；····························3分 （2）解：设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为元，三月的销售量是， 当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽可能让利顾客，赢得市场， ∴， 答：该商品售价定为元时，商场当月获利元．····························8分 23．（8分） 【详解】（1）解：， ， ， 所以， 故答案为：3；····························2分 （2）解：， ， ， ， 所以为一次项系数的相反数， 即； 故答案为：；····························4分 （3）解：由（2）的结论得到，， 所以， 即， ∴． 故答案为：．····························8分 24．（8分） 【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次．····························3分 （2）解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，．····························8分 25．（10分） 【详解】（1）解：设经过x秒，的长为， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动， ∴经过x秒，，， ∴， ∴，（舍去）， 答：经过1秒时，长为；····························4分 （2）解：设经过t秒，面积等于矩形面积的， ∴，， ∵当点N到达点A时，两点同时停止运动， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 答：经过秒或2秒，面积等于矩形面积的．····························10分 26．（10分） 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；；····························2分 （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或；····························6分 （3）解：，， 将、看作是方程的两实数根， ， ， ， 则， ， ， ， ， 的最大值为7．····························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $