第19章 实数（单元自测）数学新教材沪教版（五四制）八年级上册

第19章 实数 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．360000用科学记数法表示为，则n表示的数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．不知道 2．下列说法正确的是（ ） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是4 C．0没有立方根 D．平方根等于本身的数是0和1 3．如图，面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形（阴影部分），用计算器求得a的值为（结果精确到百分位）（ ） A．2.70 B．2.66 C．2.65 D．2.60 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 5．下列说法正确的是（ ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 6．下列说法正确的是（ ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为________．（取） 8．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有________（精确到1秒）． 9．无理数的小数部分可表示为________． 10．的算术平方根是________；的平方根为________． 11．已知，则的立方根是________． 12．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则________． 13．已知的平方根是，的立方根是3，则的立方根为________． 14．若，，则b的值为________． 15．求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 16．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为________． 17．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 18．面积是23平方米的正方形，估算它的边长约是________米（精确到1米）． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）解方程： （1）； （2） 20．（7分）一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 21．（7分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 22．（7分）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 23．（7分）已知的算术平方根是，的立方根是是的整数部分．求，，的值． 24．（7分）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么________；若，那么________； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 25．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 26．（8分）（1）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足. 填空：________，________，________； （2）如图②，是正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由； （3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 实数 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．360000用科学记数法表示为，则n表示的数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．不知道 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解析】， ， 故选B． 2．下列说法正确的是（ ） A．4的算术平方根是2 B．的平方根是4 C．0没有立方根 D．平方根等于本身的数是0和1 【答案】A 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐个判断选项：算术平方根只有非负的一个值，正数的平方根有两个且互为相反数，0的立方根是0，平方根等于本身的数只有0，由此确定A正确． 【解析】A、，且算术平方根为非负数，故4的算术平方根是2，说法正确，符合题意； B、，的平方根是，说法错误； C、，即0的立方根是0，说法错误； D、1的平方根是，不等于本身，平方根等于本身的数只有0，说法错误．故选A． 3．如图，面积为的正方形的四个角是面积为的小正方形（阴影部分），用计算器求得a的值为（结果精确到百分位）（ ） A．2.70 B．2.66 C．2.65 D．2.60 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，根据正方形的面积和算术平方根的概念求出两个正方形的边长即可． 【解析】由题意得，大正方形的边长为，截取的小正方形的边长为， ∴． 故选C． 4．下列说法正确的是（ ） A．负数没有平方根，也没有立方根 B． C． D．任意实数都有唯一的立方根 【答案】D 【解析】对各选项逐一判断： A. 负数没有平方根，但有立方根，故A错误； B. ，故B错误； C. 表示16的算术平方根，结果为4，故C错误； D. 任意实数都有唯一的立方根，故D正确．故选D． 5．下列说法正确的是（ ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【解析】A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选B． 6．下列说法正确的是（ ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．根据平方根定义和立方根的定义判断各选项． 【解析】A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选C． 二、填空题（本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分） 7．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为________．（取） 【答案】 【分析】已知圆柱体积、高和的取值，利用圆柱体积公式列方程求解底面半径即可． 【解析】设这个升降阻车器的底面半径为， 将，，，代入公式得， 化简得， ， ∵半径为正数， ∴．故答案为$10$． 8．伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系可以近似地表示为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了980米，这段时间大约有________（精确到1秒）． 【答案】14秒 【分析】本题考查实数运算，理解算术平方根的意义是解答关键，将代入进行计算即可． 【解析】当时，， ∴ ∵，解得（秒）， 故答案为14秒． 9．无理数的小数部分可表示为________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，得到的整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分． 【解析】∵ ，， ∴ ∴ ∴ 的整数部分为 ∴ 小数部分为 ．故答案为$\sqrt{6}-2$． 10．的算术平方根是________；的平方根为________． 【答案】 【解析】∵， ∴的算术平方根是； ∵， ∴的平方根是．故答案为① $2$ ② $\pm \sqrt{14}$． 11．已知，则的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为 12．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，推导得到的范围，再根据题目定义求出结果． 【解析】∵， ∴， ∴， ∵表示实数的整数部分， ∴．故答案为$1$． 13．已知的平方根是，的立方根是3，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的意义，求出的值，再代入计算的值，再求出其立方根即可． 【解析】解的平方根是， ， 即， 的立方根是， ， 即， 解得：， ， 则的立方根为．故答案为$\sqrt[3]{23}$． 14．若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【解析】， ． ， ． ． ． 故答案为1000000． 15．求下列各式中x的值 （1），________；（2），________． 【答案】 或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接利用平方根性质求解； （2）先化简方程，再利用立方根性质求解． 【解析】（1）解：， ∴， ∴或； 故答案为或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 16．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根． 根据立方根的定义列方程求出a的值，进而可求m的值． 【解析】∵，， ∴， 即， 则． 故答案为． 17．和分别是的整数部分和小数部分，那么________． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再确定其整数部分和小数部分，最后代入计算并化简即可． 【解析】先化简， ， ， ， ， 可得整数部分，小数部分，代入得： 即．故答案为$6+4\sqrt{3}$ ## $4\sqrt{3}+6$． 18．面积是23平方米的正方形，估算它的边长约是________米（精确到1米）． 【答案】5 【分析】本题考查算术平方根的应用，无理数的估算． 根据题意，得到正方形边长为，然后进行估算即可． 【解析】∵ ∴ 即边长约是5米． 故答案为5． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 58 分） 19．（7分）解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（ ）根据平方根的定义解答即可； （ ）根据立方根的定义解答即可． 【解析】（1）解：移项，得， 两边同除以，得， 开平方，得； （2）解：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 开立方，得， 移项、合并同类项，得． 20．（7分）一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 【答案】16 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可． 【解析】根据题意，得，且， 解得， ∴， ∴这个数是:． 21．（7分）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． （1）如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为________． （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】（1） （2）①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【解析】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 22．（7分）已知正数的两个平方根分别是和，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为． 【分析】由正数的两个平方根互为相反数列方程求a，即可求得m的值，再结合立方根的定义求n的值，最后代入求算术平方根． 【解析】 ∵ 正数m的两个平方根分别是和， ∴， 解得 ， ∴， ∴ ， ∵ 的立方根是2， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 的算术平方根为． 23．（7分）已知的算术平方根是，的立方根是是的整数部分．求，，的值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了算术平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确估算无理数大小是解题的关键．由算术平方根，立方根的定义求出，的值，再估算的大小，求出值． 【解析】∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是 ∴， ∵ ∴， ∵是的整数部分． ∴． 24．（7分）小明想要探究被开方数末尾带“”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则；已知，则； 已知，则；已知，则． （1）根据小明的发现，请填空：若，那么________；若，那么________； （2）现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长； ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】（1）； （2）； 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案； 根据（2）所求可得的值，求出的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【解析】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长为； 由（2）得，新的长方形的周长， ∵， ∴． 25．（8分）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】（1）4， （2） 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【解析】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 26．（8分）（1）如图①，平面直角坐标系中，已知，，且，满足. 填空：________，________，________； （2）如图②，是正半轴上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转至，问点是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由； （3）如图③，当点与点关于轴对称时，在直线上的一点满足，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，； （2）点在的直线上运动；理由如下： 如图，过点作轴于点，则， 又， ， ， 在和中 ， （ ）， ， 即当点在正半轴上运动时，点到轴的距离均为， 点在直线上运动； （3）如图，过点作轴于点，交于点， 则轴， ， ， ， ， 点与点关于轴对称， ， ， ， ， 在和中 ， （ ）， ， ， ， 【分析】（1）根据题意可得，进而根据非负数的性质可得，则是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点作轴于点，则，证明得出，即可得出结论； （3）过点作轴于点，交于点， 证明，得出，根据，可得，即可得出 【解析】∵ ∴ ∴ 解得：， ∴，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为，，； （2） 略 （3） 略 【点睛】本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $