第3章 二次根式（单元自测）数学新教材湘教版八年级上册

第3章 二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，是解题的关键． 【解析】A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选A． 2．计算，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ．故选C． 3．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含有分母，且被开方数不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【解析】A．中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B．中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．中被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选C． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2． 【解析】A、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选D． 5．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【解析】A选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项：的被开方数6不含分母，且6没有能开得尽方的因数，是最简二次根式； D选项：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 故选C． 6．已知，，则a与b的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【解析】∵， 又∵， ∴，即． 故选A． 7．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【解析】、与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 、∵，， ∴与是同类二次根式，该选项符合题意； 、∵，， ∴与不是同类二次根式，该选项不合题意； 故选． 8．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【解析】长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 9．已知．则的值为（ ） A．11 B．19 C．17 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【解析】∵，， ∴，， ∴， 故选B． 10．直角三角形两条边长分别是和，则这个直角三角形的第三边长（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】未明确直角三角形的斜边，需分类讨论结合勾股定理求解． 【解析】分两种情况计算．当长为的边为直角边时，第三边为斜边，第三边长为． 当长为的边为斜边时，第三边为直角边，第三边长为． 故第三边长为或．故选D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．________． 【答案】5 【解析】．故答案为5． 12．计算：的结果是________ ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算法则． 先化简，再计算，最后进行减法运算； 【解析】原式 ． 故答案为． 13．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，然后根据边长乘积两倍列式计算即可求得答案． 【解析】两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 余下部分的面积为：． 故答案为． 14．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根据二次根式的性质化简即可． 【解析】， 故答案为． 15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【解析】由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为5． 16．按照一定规律排列的一串数： ， ， ，2 ，5，···， ． 请写出这一串数中最大的有理数________ 【答案】 【分析】整理数列得到规律：所有数可表示为，，要得到有理数则被开方数需为完全平方数，找出满足条件的最大结果即可． 【解析】先将已知数统一变形：，，，，，最后一项， 可得这串数的规律为：所有数为，其中的取值范围是，即．若为有理数，则必须是完全平方数． ∵ 是质数，完全平方数的所有质因数次数都是偶数， ∴中至少含有个因数， 可设，为正整数，代入得，化简得， ∴ 正整数的最大值为，此时，， 因此这串数中最大的有理数是．故答案为$10$． 17．实数在数轴上对应的点的位置如图所示：化简________． 【答案】 【分析】本题先根据数轴判断实数的大小和正负性，再分别利用二次根式、三次根式、绝对值的化简规则化简原式． 【解析】由数轴上点的位置可得，即 ，，， ．故答案为$a-ab+ac$． 18．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【解析】①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为②． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理确定、的长即可得解． 【解析】由题意可得，， ∴根据勾股定理，得 ∴的周长． 20．（8分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根、负整数指数幂、零次幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先计算算术平方根、负整数指数幂、零次幂，再计算加减即可． 【解析】原式                         ． 21．（8分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ （2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； （1）依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； （2）依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【解析】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 （2） （2） 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 22．（8分）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；； （2） 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【解析】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 23．（8分）已知x，y为实数，．求的值． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后分，和，两种情况讨论，把代入、计算即可． 【解析】． ，y为实数，， ，y同号． 当，时， 原式； 当，时， 原式． 综上所述，的值是． 24．（8分）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】（1） （2）当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【解析】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 25．（9分）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算． （1）根据数轴可得，，进而根据二次根式的化简，即可求解； （2）先计算出的值； ①根据平方差公式进行计算即可求解； ②先通分，再根据完全平方公式变形求值，即可求解． 【解析】（1）解：根据数轴可得，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ①， ②． 26．（9分） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（ ），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． （2）已知有理数、满足，求、的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；； (2)， （3） 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，得到，然后将其代入式子计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ； 故答案为；；； （2）解： ， ， ∴， 解得， ∴，； （3）解：∵， ∴ ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 二次根式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．计算，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 5．下列各式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则a与b的关系是（ ） A． B． C． D． 7．下列各组二次根式中，属同类二次根式的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（ ） A． B． C． D． 9．已知．则的值为（ ） A．11 B．19 C．17 D．20 10．直角三角形两条边长分别是和，则这个直角三角形的第三边长（ ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．________． 12．计算：的结果是________ ． 13．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为________． 14．化简：________． 15．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为________． 16．按照一定规律排列的一串数： ， ， ，2 ，5，···， ． 请写出这一串数中最大的有理数________ 17．实数在数轴上对应的点的位置如图所示：化简________． 18．下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）如图，方格纸中每个小方格的边长为．求的周长．    20．（8分）计算： 21．（8分）如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． （1）该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ （2）若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 22．（8分）已知． （1）求的值； （2）求的值． 23．（8分）已知x，y为实数，．求的值． 24．（8分）已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 25．（9分）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： （1）化简：； （2）若，，求： ①的值； ②的值． 26．（9分） “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（ ），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． （2）已知有理数、满足，求、的值． （3）若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $