第3章二次根式单元测试卷 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2026-2027学年湘教版八上第3章二次根式单元测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥0 B．a≥4 C．a≥﹣4 D．a≤4 3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）等式成立的条件是（　　） A．0≤x＜1 B．x≥0 C．x＜1 D．x≥0或x＜1 6．（3分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 7．（3分）已知x，y为实数，且，则的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 8．（3分）化简的结果为（　　） A． B． C．1 D． 9．（3分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B．﹣a﹣b+1 C．﹣a+b D．a﹣b+3 10．（3分）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　） A． B． C．42cm2 D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）化简：________________ ；____________________ ；_________________ ． 12．（3分）计算： ____________________ ． 13．（3分）若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 _____ ． 14．（3分）已知，则的算术平方根为_____ ． 15．（3分）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：．例：．若x为正实数，且，则x的值为_____ ． 16．（3分）在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为___________________ ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）2． 18．（8分）计算： （1）； （2）． 19．（8分）嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成一个矩形，其中矩形的宽为，长是宽的倍． （1）求这根铁丝的长度； （2）若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，求这个正方形的面积． 20．（8分）已知，． （1）求（x﹣y）2+xy； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 21．（10分）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝_____ ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求m的值． 22．（10分）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从________ 开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ．第三步 23．（10分）【激活经验】 小周在学习有理数运算时，通过具体运算发现： 在学习二次根式运算时，小周根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】（1）____________________ （n≥2，且n为整数）． 【应用规律】 （2）____________________ ． （3）如果的小数部分是0.125，求出它的整数部分． 24．（10分）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）_________________ ； （2）__________________ ； （3）计算：． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当x＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数﹣3＜0不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（3分）若代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≥0 B．a≥4 C．a≥﹣4 D．a≤4 【解答】解：若代数式有意义， 则2a﹣8≥0， 解得a≥4， 故选：B． 3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意， 故选：D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：2和不是同类项，不能进行合并计算，故A选项不符合题意； ，故B选项不能进行合并； ，故C选项不符合题意； 3，故D选项符合题意， 故选：D． 5．（3分）等式成立的条件是（　　） A．0≤x＜1 B．x≥0 C．x＜1 D．x≥0或x＜1 【解答】解：∵等式成立， ∴， 解得：0≤x＜1． 故选：A． 6．（3分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【解答】解：因为， 所以小明没有出现错误． 因为， 所以小丽出现错误． 因为， 所以小红出现错误． 因为， 所以小亮没有出现错误． 故选：B． 7．（3分）已知x，y为实数，且，则的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【解答】解：由题意得， 解得x＝4， ∴ ＝9， ∴ ＝2×3 ＝6． 故选：C． 8．（3分）化简的结果为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：原式＝（2）×（2）98×（2）98 ＝（2）×[（2）（2）]98 ＝（2）×（3﹣4）98 ＝（2）×（﹣1）98 ＝（2）×1 2， 故选：A． 9．（3分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（　　） A．0 B．﹣a﹣b+1 C．﹣a+b D．a﹣b+3 【解答】解：依据实数a，b在数轴上的对应点的位置得：﹣1＜a＜0，2＜b＜3， 则a+1＞0，b﹣2＞0， ∴原式＝a+1﹣（b﹣2） ＝a+1﹣b+2 ＝a﹣b+3． 故选：D． 10．（3分）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为20cm2，相邻两张正方形纸片的边长均相差1cm，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（　　） A． B． C．42cm2 D． 【解答】解：中间正方形的边长为：cm， 根据题意：最小正方形的边长为：（1）cm， 最大正方形的边长为：（1）cm． ∴最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差： （1）2﹣（1）2 ＝20+1+220﹣1+2 ＝4 ＝4×2 ＝8（cm2）． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）化简：　　 ；　　 ；　　 ． 【解答】解：， ， ． 故答案为：；；． 12．（3分）计算： 　　 ． 【解答】解： ， 故答案为：． 13．（3分）若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 　2　 ． 【解答】解：由题意得3m﹣4≥0， 解得m， ∵m为整数， ∴当m＝2时，是最简二次根式； 故答案为：2． 14．（3分）已知，则的算术平方根为　2　 ． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， 解得x＝8 ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：2． 15．（3分）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：．例：．若x为正实数，且，则x的值为　2　 ． 【解答】解：∵， ∴23， ∵， ∴， ∴， ∴x＝2． 故答案为：2． 16．（3分）在一个大正方形中，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为　　 ． 【解答】解：大正方形的边长为：， ∴空白部分的面积为： ． 故答案为：26． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）； （2）2． 【解答】解：（1） ； （2）2 ． 18．（8分）计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式2 ＝42 ＝4； （2）原式＝18﹣3﹣（1﹣25） ＝18﹣3﹣6+2 ＝9+2． 19．（8分）嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成一个矩形，其中矩形的宽为，长是宽的倍． （1）求这根铁丝的长度； （2）若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，求这个正方形的面积． 【解答】解：（1）矩形的宽为，长是宽的倍，则： 宽为，长为22（dm）， ∴这根铁丝的长度为； （2）正方形边长为：， ∴这个正方形的面积为． 20．（8分）已知，． （1）求（x﹣y）2+xy； （2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值． 【解答】解：（1）当，时， （x﹣y）2+xy ＝x2﹣2xy+y2+xy ＝x2﹣xy+y2 ＝（）2（）2 ＝23 ＝5； （2）∵， ∴x、y的整数部分为1， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于c的共轭二次根式，则c＝　9　 ； （2）若a与是关于4的共轭二次根式，求a的值； （3）若与是关于24的共轭二次根式，求m的值． 【解答】解：（1）∵39， ∴3与是关于9的共轭二次根式，即c＝9， 故答案为：9； （2）由共轭二次根式的定义可得， a（）＝4， ∴a22； （3）由共轭二次根式的定义可得， （3）（12m）＝24， 解得m＝﹣4． 22．（10分）甲、乙、丙、丁四名同学利用如下六张卡片进行数学游戏． A B C D E F （1）甲选择A，B两张卡片并将卡片内容求和，乙选择C，D两张卡片并将卡片内容求和，两张卡片内容和较大的同学获胜，请通过计算说明谁获得本次游戏的胜利． （2）丙从六张卡片中选取两张，计算两张卡片内容的乘积，发现结果为整数，判断丙选择的卡片，并计算结果． （3）丁选择卡片E和F，并将两张卡片内容作差，下面是其计算过程，则从　第二步　 开始出现错误，请写出正确的化简过程． 第一步 第二步 ．第三步 【解答】解：（1）乙获得本次游戏的胜利， 甲所选A、B卡片的和：3， 乙所选C、D卡片的和：35， ∵，，， ∴， ∴乙获得本次游戏的胜利； （2）把E，F两张卡片内容化为最简二次根式：，， 其余卡片内容均为最简二次根式， ∵两张卡片内容的乘积，发现结果为整数只有两种情况， 第一种：选B和D，，结果为整数， 第二种，选E和F，，结果为整数， 其余组合的乘积均含无理数部分，不是整数， 综上所述，丙选择的卡片为B和D，结果为30；或选择E和F，结果为﹣4； （3）检查计算步骤， 第一步：将化为，化为，化为，计算正确， 第二步：去括号时，括号前为负号，括号内第二项未变号，应为，原式写为，故从第二步开始出现错误， 故答案为：第二步； 正确化简过程如下： 正确化简过程： ． 23．（10分）【激活经验】 小周在学习有理数运算时，通过具体运算发现： 在学习二次根式运算时，小周根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：， 特例2：， 特例3：． 【发现规律】（1）　　 （n≥2，且n为整数）． 【应用规律】 （2）　2025　 ． （3）如果的小数部分是0.125，求出它的整数部分． 【解答】解：（1）根据题意可得原式＝1 ． 故答案为：． （2）原式＝1+1111⋯+1 ＝1×2026 ＝2026 ＝2025． 故答案为：2025． （3） ＝11⋯+1 ＝1×（n﹣1﹣4+1） ＝n﹣4， ∵的小数部分是0.125， ∴0.125， ∴n＝8， ∴它的整数部分为8﹣4＝4． 24．（10分）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　1　 ； （2）　　 ； （3）计算：． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/21 22:01:55；用户：王俊燕；邮箱：13400470610@xyh.com；学号：23751262 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $