第2章 分式（单元自测）数学新教材湘教版八年级上册

第2章 分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母 即可． 【解析】∵分式无意义当分母为零， ∴令， 解得， ∴当 时，分式无意义． 故选B． 2．下列说法错误的是（ ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 【答案】C 【分析】本题考查了分式的意义、分式有意义时，自变量的取值范围．掌握分式有意义的条件是解题关键．选项A、B、D均正确，选项C错误，因为当时，分式无意义，不能使分式值为 【解析】对于A:当 时，分母 ，分式无意义，选项A正确，不符合题意； 对于B:当 时，分母 ，分子为正，分式值为正，选项B正确，不符合题意； 对于选项C:∵ 分式 ， 需分子为0且分母不为0，即 且 ， ∴ 或 ，但 时， ，分式无意义， ∴ 只有 成立，选项C错误，符合题意； 对于D:分母 ，分子为正，分式值总为正数，选项D正确，不符合题意． 故选C． 3．下列式子运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方）和单项式乘法，解题的关键是熟练掌握幂的运算规则与单项式乘法法则． 根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、单项式乘法法则，分别对每个选项进行运算，判断正误． 【解析】A、根据同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），，运算正确； B、根据同底数幂的除法法则（底数不变，指数相减），，并非，运算错误； C、根据单项式乘法法则（系数相乘，同底数幂相乘），，并非，运算错误； D、根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），，并非，运算错误． 故选A． 4．下列运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则，根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则逐一判断各选项的正误，即可解题． 【解析】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A选项中，，故A错误，不符合题意． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴B选项中，，故B正确，符合题意． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴C选项中，，故C错误，不符合题意． ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴D选项中，，故D错误，不符合题意． 故选B． 5．代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】分母中含有字母的代数式是分式，为常数． 、、的分母均为常数，属于整式； 、、的分母均含有字母，属于分式，共3个．故选B． 6．小明的一次课堂练习如下：则他做对的题有（ ） 判断题，对的打“√”，错的打“” 代数式，都是分式（ ） 当时，分式无意义（√） 若分式的值为0，则（√） 式子从左到右变形正确（√） 分式是最简分式（√） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义、分式无意义的条件、分式值为0的条件、分式的基本性质及最简分式的判定，解题关键是掌握以上相关概念．本题需逐一判断每个小题的正误，再统计小明做对的题目数量即可求解． 【解析】①∵分母不含字母，不是分式， ∴原题说法错误，小明判断“×”正确． ②∵当时，分母，分式无意义， ∴原题说法正确，小明判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0， 由得， 但时分母，不满足条件， 故，原题说法错误，小明判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，此处是加2，不符合分式基本性质，变形错误，小明判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式， ∴该分式是最简分式，原题说法正确，小明判断“√”正确． 综上，小明做对的题目有3个，故选B． 7．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据分式的加法，分式的约分分别判定即可． 【解析】A：左边通分得，右边为，显然，故A不成立； B：左边化简，等于右边，故B成立； C：当时，不成立，故C不成立； D：左边，与右边不相等，故D不成立． 故选B． 8．已知，，那么的值是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】利用幂的运算性质将所求式子转化为含的形式，结合已知条件求出的值，代入计算． 【解析】， ∵，， ∴， ∴， ∴．故选D． 9．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，分式的值以及分式有意义的条件．先化简得到最简分式，再根据整数条件求的取值． 【解析】 ，，． ①正确． ②要使为整数，则为的约数，即，，，得，，，，，． 但，故有种情况，②错误． 故选A． 10．下列说法正确的是（ ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【解析】A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【解析】． 故答案为． 12．计算的结果是________． 【答案】3 【分析】利用同分母加减运算法则计算，再约分即可． 【解析】．故答案为3． 13．如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值________． 【答案】不变 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 依题意把分式中的x，y都扩大3倍，利用分式的基本性质化简即可． 【解析】把分式中的x，y都扩大3倍得， 可见新分式与原分式的值相等． 故答案为不变． 14．________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的整数次幂的运算，根据指数运算法则，分别计算各部分的幂，再将除法转化为乘法并简化． 【解析】原式 = ． 故答案为． 15．计算：________ 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法运算，负整数指数幂，先把负整数指数幂化为分式的形式，再计算分式乘方，最后计算分式乘法即可得到答案． 【解析】 ， 故答案为． 16．若，则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了分式的乘方、积的乘方、求代数式的值等，掌握相关运算法则是解题的关键 先计算积的乘方、幂的乘方运算，再将除法转化为乘法，约分化简可得，再由即可求解． 【解析】， ． 故答案为9． 17．化简：________． 【答案】 【分析】先对原式分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【解析】原式 ．故答案为$\dfrac{2}{a}$． 18．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是________． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【解析】∵， ∴，， ∴ ．故答案为$-1$． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 【答案】（1）真 （2） （3） 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【解析】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为真； （2）解：， 故答案为； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 20．（8分）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． （1）第一批哈密瓜每件进价是多少元？ （2）老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】（1）180元 （2）440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【解析】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 21．（8分）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【分析】本题考查的是分式方程的工程问题，工程问题中三个量的关系为工作量工作效率工作时间，工作全部完成工作量是，理解题意列出方程是问题求解的关键． 先设乙队单独完成这项工程需要天，结合题目已知条件得甲队每天可完成工程的，乙队每天可完成工程的，列方程，求解方程得到，进而完成求解． 【解析】设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意列方程，， 解得：． 答：乙队单独完成这项工程需要天． 22．（8分）已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【解析】 ∵， ∴ ∴， 解得． 23．（8分）年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 【答案】元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元，根据第一次购进的吉祥物比第二次购进吉祥物的数量多个的数量关系列分式方程，化简求解后并检验，最终得出第一次购进的单价． 【解析】设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元． 24．（8分）先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 【答案】 化简结果为，取时，原式 【分析】先分解因式约分，再对括号内部分通分化简，合并得到最简结果，选取使原式分母不为0的代入计算． 【解析】原式 ， 取，满足， 代入得原式． 25．（9分）计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先对分母因式分解，通分后约分化简即可； （2）按照先算乘方，再算乘除的顺序，运用分式运算法则约分化简即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 26．（9分）（1）已知，且，求的值． （2）计算：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式的混合运算，熟知分式的相关运算法则是解题的关键． （1）设，则，据此代入求解即可； （2）先计算分式乘方，再把除法变成乘法后约分化简，最后通分化简即可得到答案． 【解析】（1）设，则， ∵， ∴ ； （2） ． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 分式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．若分式无意义，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（ ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．无论x取何值，的值总为正数 3．下列式子运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 5．代数式，，，，，中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．小明的一次课堂练习如下：则他做对的题有（ ） 判断题，对的打“√”，错的打“” 代数式，都是分式（ ） 当时，分式无意义（√） 若分式的值为0，则（√） 式子从左到右变形正确（√） 分式是最简分式（√） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，那么的值是（ ） A．1 B．3 C．9 D．27 9．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ） ①将化为最简分式为；②同时使得及的值都为整数的共有6种情况． A．只有结论①正确 B．只有结论②正确 C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确 10．下列说法正确的是（ ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：________． 12．计算的结果是________． 13．如果把分式中的x，y都扩大3倍，分式的值________． 14．________． 15．计算：________ 16．若，则的值为________． 17．化简：________． 18．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分） 19．（8分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： （1）分式是________分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式________． （3）当的值为整数时，求整数的值． 20．（8分）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． （1）第一批哈密瓜每件进价是多少元？ （2）老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 21．（8分）（列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 22．（8分）已知，试确定A，B的值 23．（8分）年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 24．（8分）先化简：，再选一个你喜欢的数字求值． 25．（9分）计算： （1）； （2） 26．（9分）（1）已知，且，求的值． （2）计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $